2025年河南省十所名校数学高二上期末统考试题含解析.doc

2025年河南省十所名校数学高二上期末统考试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数，，则下列不等式恒成立的是（）
A. B.
C. D.
2．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3．圆关于直线对称圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
4．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（）
A. B.4
C.3 D.2
5．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知直线与直线垂直，则（ ）
A. B.
C. D.
7．命题若，且，则，命题在中，若，则.下列命题中为真命题的是（）
A. B.
C. D.
8．长方体中，，，，为侧面内（含边界）的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A.若，则存在无数条直线，使得
B.若，则存在无数条直线，使得
C.若存在无数条直线，使得，则
D.若存在无数条直线，使得，则
10．已知，若，则（）
A. B.2
C. D.e
11．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）

A.2 B.6
C.14 D.30
12．命题 ，， 则是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《算法九章·商功》中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层（从上往下）球数构成一个数列，则___________，___________.

14．已知向量，，，若，则____________.
15．数列的前项和为，则该数列的通项公式___________
16．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，从下列两个条件中选择一个使得数列{an}成等比数列.
条件1：数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；
条件2：数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为
（1）求a；
（2）若D为BC边上一点，且∠BAD=，求∠ADC的正弦值
19．（12分）某校从高三年级学生中随机抽取名学生的某次数学考试成绩，将其成绩分成，，，，的组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值；
（2）估计这组数据的平均数；
（3）若成绩在内的学生中男生占.现从成绩在内的学生中随机抽取人进行分析，求人中恰有名女生的概率.
20．（12分）已知圆C1圆心为坐标原点，且与直线相切
（1）求圆C1的标准方程；
（2）若直线l过点M（1，2），直线l被圆C1所截得的弦长为，求直线l的方程
21．（12分）在平面直角坐标系中，已知，动点M满足
（1）求M的轨迹方程；
（2）设，点N是的中点，求点N的轨迹方程；
（3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求
22．（10分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，

（1）证明：
（2）求直线与平面所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.
【详解】当时，不等式不成立，错误；
，故错误正确；
当时，不等式不成立，错误；
故选：.
【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.
2、C
【解析】设直线l的倾斜角为，
由题意可得直线l的斜率，即，
∵，∴直线l的倾斜角为，
故选：.
3、D
【解析】先根据圆的标准方程得到圆的圆心和半径，求出圆心关于直线的对称点，进而写出圆的标准方程.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，
且关于直线对称的点为，
所以所求圆的圆心为、半径为，
即所求圆的标准方程为.
故选：D.
4、C
【解析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.
【详解】由纯虚数，
∴，解得：，则，
故选：C
5、D
【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故选：D
6、D
【解析】根据互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可.
【详解】由，所以直线的斜率为，
由，所以直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，
所以，
故选：D
7、A
【解析】根据不等式性质及对数函数的单调性判断命题的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
【详解】解：若，且，则，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上命题为假命题，则为真命题，
在中，若，则，
由正弦定理得，
所以命题为真命题，为假命题，
所以为真命题，，，为假命题.
故选：A.
8、D
【解析】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点为椭圆与棱或的交点时，点到平面的距离取最小值，由此可求得四棱锥体积的最小值.
【详解】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，其中，，则、，

因为平面，平面，则，
所以，，同理可得，
所以，，
所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，
则，，，
所以，点的轨迹方程为，
点到平面的距离为，当点为曲线与棱或棱的交点时，点到平面的距离取最小值，
将代入方程得，
因此，四棱锥体积的最小值为.
故选：D.
9、D
【解析】根据直线和直线，直线和平面的位置关系依次判断每一个选项得到答案.
【详解】若，则平行于过的平面与的交线，当时，，则存在无数条直线，使得，A正确；
若，垂直于平面中的所有直线，则存在无数条直线，使得，B正确；
若存在无数条直线，使得，，，则，C正确；
当时，存在无数条直线，使得，D错误.
故选：D.
10、B
【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.
【详解】,
.
,解得：.
故选：B
11、C
【解析】模拟运行程序，直到得出输出的S的值.
【详解】运行程序框图，，，；，，；，，；，输出.
故选：C
12、D
【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.
【详解】因为命题 ，，
所以，.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】根据，，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.
【详解】因为，，，，，
以上个式子累加，得，
则；
因为，
所以
.
故答案为：，.
14、
【解析】首先求出的坐标，再根据向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；
【详解】解：因为向量，，，所以向量，因为，所以，即，解得
故答案为：
15、
【解析】根据与关系求解即可.
【详解】当时，，
当时，，
检验：，
所以.
故答案为：
16、12
【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.
【详解】由得，
设，，
由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，
，，，
所以，
所以该光线经过的路程为12.
故答案为：12.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据所给的条件分别计算后即可判断，再通过满足题意的求出通项；
（2）由（1）可得，再通过错位相减法求和即可.
【小问1详解】
若选择条件1，则有，可得，不满足题意；
若选择条件2，则有，可得，满足题意，故.
【小问2详解】
由（1）可得，
所以………①
因此有……….②
①②可得，即，
化简得.
18、（1）
（2）
【解析】（1）利用面积公式及余弦定理可求解；
（2）由正弦定理得到，再运用同角函数的关系得到，最后运用正弦的两角和公式求解即可.
【小问1详解】
∵，，，
∴
由余弦定理：，∴
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，∴，
易知B为锐角，∴，
∴
19、（1）
（2）77（3）
【解析】(1)根据给定条件结合频率分布直方图中各小矩形面积和为1的特点列式计算即得.
(2)利用频率分布直方图求平均数的方法直接列式计算即得.
(3)求出成绩在内的学生及男女生人数，再用列举法即可求出概率.
【小问1详解】
由频率分布直方图得，解得，
所以图中值是0.020.
【小问2详解】
由频率分布直方图得这组数据的平均数：
，
所以这组数据的平均数为77.
【小问3详解】
数学成绩在内的人数为(人)，其中男生人数为(人)，则女生人数为人，
记名男生分别为，，名女生分别为，，，从数学成绩在内的人中随机抽取人进行分析的基本事件为：
，共个不同结果，它们等可能，
其中人中恰有名女生的基本事件为，共种结果，
所以人中恰有名女生的概率为为.
20、（1）
（2）或
【解析】（1）由圆心到直线的距离求得半径，可得圆C1的标准方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求得直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设出直线方程，由已知弦长可得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求k，则直线方程可求
【小问1详解】
∵原点O到直线的距离为，
∴圆C1的标准方程为；
【小问2详解】
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入，
得，即直线l被圆C1所截得的弦长为，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，即
∵直线l被圆C1所截得的弦长为，圆的半径为2，
则圆心到直线l的距离，解得
∴直线l的方程为，即
综上，直线l的方程为或
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案；
（2）设，，进而根据相关点法求解即可；
（3）根据题意得弦由两圆相交得，进而根据几何法弦长即可得答案.
【小问1详解】
解：设，则，
所以，即
所以M的轨迹方程为.
【小问2详解】
解：设，，
因为点N是的中点，
所以，即，
又因为在上，
所以，即.
所以点N的轨迹方程为.
【小问3详解】
解：因为M的轨迹与N的轨迹分别为，，是两个圆.
所以两个方程作差得直线所在的方程，
所以圆到：的距离为，
所以
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；
（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
不妨令，则，
，
因为，所以
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成的角，
则.