江苏省苏州大学附属中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

江苏省苏州大学附属中学2025-2026学年数学高二第一学期期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知向量，且，则的值为（ ）
A.4 B.2
C.3 D.1
3．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为（）
A B.
C. D.
4．已知空间向量，，若，则实数的值是（）
A. B.0
C.1 D.2
5．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A. B.
C. D.
6．数列中，，，．当时，则n等于（）
A.2016 B.2017
C.2018 D.2019
7．下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是
A. B.
C. D.
8．已知直线和直线互相垂直，则等于（ ）
A.2 B.
C.0 D.
9．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（）

A. B.
C. D.
10．设函数，则（ ）
A.1 B.5
C. D.0
11．高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆活动的概率为（ ）
A. B.
C. D.
12．直线在y轴上的截距为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若“”是“”必要不充分条件，则实数的最大值为_______
14．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.
15．设是数列的前项和，且，则_____________.
16．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系

（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
18．（12分）已知椭圆：（）的焦点坐标为，长轴长是短轴长的2倍
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线不过点且与椭圆交于两点，从下面①②中选取一个作为条件，证明另一个成立.
①直线的斜率分别为，则；②直线过定点.
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且.请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的大小.
20．（12分）已知；.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.
21．（12分）有三个条件：①数列的任意相邻两项均不相等，，且数列为常数列，②，③，，中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题
已知数列的前n项和为，______，求数列的通项公式和前n项和
22．（10分）已知过抛物线的焦点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，且
（1）求抛物线C的方程；
（2）求以C的准线与x轴的交点D为圆心且与直线l相切的圆的方程
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.
【详解】对函数求导得：，
，，
则，，而，当且仅当，即时“=”，
于是得，解得，
所以a的取值范围为.
故选：C
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.
2、A
【解析】由题意可得，利用空间向量数量积的坐标表示列方程，解方程即可求解.
【详解】因为，所以，
因为向量，，
所以，解得，
所以的值为，
故选：A.
3、B
【解析】由几何概型公式求解即可.
【详解】红灯持续时间为40秒，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为，
故选：B
4、C
【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，因此有.
故选：C
5、A
【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则

所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
6、B
【解析】根据已知条件用逐差法求得的通项公式，再根据裂项求和法求得，代值计算即可.
【详解】因为，，则,
即，则，
故，又，即，
解得.
故选：B.
7、A
【解析】由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.
考点：不等式性质、充分必要性.
8、D
【解析】利用直线垂直系数之间的关系即可得出.
【详解】解：直线和直线互相垂直，则，解得：.
故选：D.
9、C
【解析】根据向量线性运算法则计算即可.
【详解】

故选：C
10、B
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.
11、D
【解析】对4个单位分别编号，利用列举法求出概率作答.
【详解】记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D，
从4个单位中任选两个的试验有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个基本事件，它们等可能，
其中有参加图书馆活动的事件有AC，BC，CD，共3个基本事件，
所以参加图书馆活动的概率.
故选：D
12、D
【解析】将代入直线方程求y值即可.
【详解】令，则，得.
所以直线在y轴上的截距为.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设的解集为集合，由题意可得是的真子集，即可求解.
【详解】由得或，
因为“”是“”的必要不充分条件，
设或，，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以
故答案为：
【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；
（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含
14、
【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.
15、
【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16、
【解析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.
【详解】因为，故可得，
其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；
因为，即，
其表示过点，且斜率为的直线.
在同一坐标系下作图如下：

不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为
数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，
只需即可.
容易知：；
不妨设过点与相切的直线方程为，
则由直线与圆相切可得：，解得，
故.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得，∴；
【小问2详解】
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.
18、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）由条件可得，解出即可；
（2）选①证②，当直线的斜率存在时，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后由可算出，即可证明，选②证①，设：，，然后联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得，，然后可算出.
【小问1详解】
由条件可得，解得
所以椭圆方程为
【小问2详解】
选①证②：当直线的斜率存在时，设：，
由得，则，
由得
即，即
所以
代入
所以
所以
解得：（舍去），
所以直线过定点
当直线斜率不存在时，设：
所以，由得
所以，即，解得
所以直线（不符合题意，舍去）
综上：直线过定点
选②证①：由题意直线的斜率存在，设：
由得
则，
所以
.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的大小.
【小问1详解】
证明：底面，，故以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
所以，，，，
则，，即，，
又，所以，平面.
【小问2详解】
解：知，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，可得，
设平面的法向量为，由，，
即，令，可得，
，
因此，平面与平面夹角的大小为.
20、（1）；
（2）.
【解析】解不等式求得为真、为真分别对应的解集；
（1）由为真可得全真，两解集取交集可得结果；
（2）由和的真假性可得一真一假，则分为真假和假真两种情况求得解集.
【小问1详解】
若为真，则，即，
即，所以或，
若为真，则，所以，
因为为真命题，所以均为真命题.
所以实数的取值范围是.
【小问2详解】
若为假命题，为真命题，则一真一假，
若真假，则，解得或，
若假真，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
21、；
【解析】选①，由数列为常数列可得，由此可求，根据任意相邻两项均不相等可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选②由取可求，再取与原式相减可得，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，选③由取与原式相减可得，取可求，由此可得，故，由此证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式，利用分组求和法求数列的前n项和为，
【详解】解：选①：因为，数列为常数列，
所以，解得或，
又因为数列的任意相邻两项均不相等，且，
所以数列为2，-1，2，-1，2，-1……，所以，
即，所以，
又，所以是以为首项，公比为-1的等比数列，
所以，即；
所以
选②：因为，易知，，
所以两式相减可得，即，以下过程与①相同；
选③：由，可得，又，
时，，所以，因为，
所以也满足上式，所以，
即，以下过程与①相同
22、（1）；（2）
【解析】（1）首先表示出直线l的方程，再联立直线与抛物线方程，消去，列出韦达定理，再根据焦点弦公式计算可得；
（2）由（1）可得，再利用点到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
【详解】解析：（1）由已知得点，
∴直线l的方程为，
联立去，消去整理得
设，，则，
，
∴抛物线C的方程为
（2）由（1）可得，直线l的方程为，
∴圆D的半径，
∴圆D的方程为
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于中档题.