2025年伊春市重点中学数学高二上期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年伊春市重点中学数学高二上期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆截直线所得弦的最短长度为（）
A.2 B.
C. D.4
2．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
3．已知，，若，则实数（）
A. B.
C.2 D.
4．在数列中，，，则（）
A.985 B.1035
C.2020 D.2070
5．已知随机变量服从正态分布，，则（）
A. B.
C. D.
6．已知点B是A（3，4，5）在坐标平面xOy内的射影，则||＝（　　）
A. B.
C.5 D.5
7．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）
A.1 B.6
C.10 D.13
8．已知圆与抛物线的准线相切，则实数p的值为（）
A.2 B.6
C.3或8 D.2或6
9．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()
A. B.
C.或 D.或
10．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
11．已知数列满足，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
12．设双曲线C： 的左、右焦点分别为，点P在双曲线C上，若线段的中点在y轴上，且为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B.2
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为______.
14．以点为圆心，为半径的圆的标准方程是_____________.
15．若实数、满足，则的取值范围为___________.
16．函数，则函数在处切线的斜率为_______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率等于，点，且的面积等于
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线与椭圆交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点在直线PB上时，直线是否过定点?若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由
18．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.
（1）求直线l的方程；
（2）求的面积.
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.

（1）证明：AB1//面BC1D；
（2）若AA1 =AB，求二面角B1 -AC-C1的余弦值.
20．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程
21．（12分）为了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：

（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间内的概率；
（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；
22．（10分）2020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其一分
一分钟跳绳个数

成绩(分)
16
17
18
19
20
频率

（1）若每分钟跳绳成绩不足18分，则认为该学生跳绳成绩不及格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格的人数为多少？
（2）该学校决定由这次跳绳测试一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生组成“小小教练员"团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中选派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】由题知直线过定点，且在圆内，进而求解最值即可.
【详解】解：将直线化为，
所以联立方程得
所以直线过定点
将化为标准方程得，即圆心为，半径为，
由于，
所以点在圆内，
所以点与圆圆心间的距离为，
所以圆截直线所得弦的最短长度为
故选：A
2、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
3、D
【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.
【详解】因，，又，则，解得，
所以实数.
故选：D
4、A
【解析】根据累加法得，，进而得.
【详解】解：因为
所以，当时，，，……，，
所以，将以上式子相加得，
所以，，.
当时，，满足；
所以，.
所以.
故选：A
5、B
【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果
【详解】根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，
由于，所以，
所以，
则，
所以
故选：B.
【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题
6、C
【解析】先求出B（3，4，0），由此能求出||
【详解】解：∵点B是点A（3，4，5）在坐标平面Oxy内的射影，∴B（3，4，0），
则||＝＝5
故选：C
7、C
【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.
【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：

又，即，
要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，
由，得，
则.
故选：C.
8、D
【解析】由抛物线准线与圆相切，结合抛物线方程，令求切线方程且抛物线准线方程为，即可求参数p.
【详解】圆的标准方程为：，故当时，有或，
所以或，得或6
故选：D
9、D
【解析】分截距为零和不为零两种情况讨论即可﹒
【详解】当直线过原点时，满足题意，方程为，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为，
∵直线过(1，2)，∴，∴，∴方程为，
故选：D﹒
10、C
【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.
【详解】设，则，
由双曲线的定义可得：，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，即，解得：，
在中，，，，
由可得，即，
所以双曲线离心率为，
故选：C.

第II卷（非选择题
11、C
【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.
【详解】因为，所以，，，，式相加可得，
所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.
故选：C
12、A
【解析】根据是等腰直角三角形，再表示出的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.
【详解】线段的中点在y轴上,设的中点为M，

因为O为的中点，所以,
而,则，
为等腰三角形，故，
由，得，
又为等腰直角三角形，故，
即 ，解得 ，即，
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、210
【解析】依题意，、、成等差数列，从而可求得答案
【详解】∵等差数列{an}的前3项和为30，前6项和为100，即S3＝30，S6＝100，
又S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）＝（S9﹣S6）+S3，即140＝S9﹣100+30，
解得S9＝210.
故答案：210
【点睛】本题考查等差数列的性质，熟练利用、、成等差数列是关键，属于中档题
14、
【解析】直接根据已知写出圆的标准方程得解.
【详解】解：由题得圆的标准方程为.
故答案为：
15、
【解析】直接利用换元法以及基本不等式，求出结果
【详解】解：设，
由于，
所以，
由于，(当且仅当时取等号)
所以(当且仅当时取等号)，(当且仅当时取等号)，
故，
，
所以，
整理得：
故的取值范围为的取值范围
故答案为：
16、
【解析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】解：因为，所以，
所以，
所以函数在处切线的斜率为
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）用待定系数法求出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为,设，用“设而不求法”表示出和.表示出直线PB，把A关于y轴的对称点为带入后整理化简，即可得到，从而可以判断出直线恒过定点.
【小问1详解】
由题意可得：，解得：，所以椭圆的标准方程为：.
【小问2详解】
由题意可知,直线的斜率存在且不为0,设直线的方程为,设设点A关于y轴的对称点为.
联立方程组，消去y可得：,
所以.
因为直线PB的方程为,且点D在直线PB上,所以则，所以，
则,故，因为k≠0,所以，则直线l的方程为，所以直线恒过定点.
18、（1）
（2）
【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；
（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.
【小问1详解】
解：设，
因为的中点坐标为，所以，
则，
两式相减得，
即，
即，所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为，即；
【小问2详解】
在直线中，当时，，
由椭圆：，得，
则直线过点，
联立，消整理得，
则，
.
19、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【小问1详解】
证明：记，连接，
由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.
因为D是的中点，所以，
又平面平面，所以平面；
【小问2详解】
因为底面是等边三角形，D是的中点，
所以，
由直棱柱的性质可知平面平面，
平面平面，面，
所以平面，
取的中点F，连接，
则两两垂直，
故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
从而，
设平面的法向量为，
则，令x=2，
得，
同理平面的一个法向量为，
则，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角B1 -AC-C1的余弦值为.

20、（1）
（2）或
【解析】(1)把点的坐标代入方程即可；
(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.
【小问1详解】
因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为
又因为点在抛物线C上，所以，解得，
所以抛物线的方程为；
【小问2详解】
抛物线C的焦点为，
当直线l的斜率不存在时，，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，
设直线l交抛物线的两点坐标为，，
由得，，，，
由抛物线得定义可知，
所以，解得，即，
所以直线l的方程为或
21、（1）
（2）平均数为；中位数为.
【解析】（1）直接根据概率和为1计算得到答案.
（2）根据平均数和中位数的定义直接计算得到答案.
【小问1详解】
该居民收入在区间内的概率为：

【小问2详解】
居民月收入的平均数为：
.
第一组概率为，第二组概率为，第三组概率为，
设居民月收入的中位数为，则，解得.
22、（1）14人；（2）.
【解析】（1）根据频率直方表区间成绩及其对应的频率，即可求每分钟跳绳成绩不足18分的人数.
（2）由表格数据求出一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生共6人，列举出六人中选两人参加比赛的所有情况、小明和小华至少有一个被选派的情况，由古典概型的概率求法即可得小明和小华至少有一人被选派的概率.
【详解】（1）由表可知，每分钟跳绳成绩不足18分，即为成绩是16分或17分，
在进行测试的100名学生中跳绳成绩不及格人数为：人)
（2）一分钟跳绳个数在205以上(包括205)的学生频率为，其人数为：(人)，
记小明为，小华为，其余四人为，则在这六人中选两人参加比赛的所有情况为：，共15种，
其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：，共9种，
小明和小华至少有一人被选派的概率为：.