山西省忻州市静乐一中2025年数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

山西省忻州市静乐一中2025年数学高二上期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）
A.或 B.或
C.或 D.或
2．在数列中，若，则称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（ ）
A.若是等方差数列，则是等差数列 B.若是等方差数列，则是等方差数列
C.是等方差数列 D.若是等方差数列，则是等方差数列
3．已知点，，则经过点且经过线段AB的中点的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4．已知命题，，则p的否定是（）
A. B.
C. D.
5．甲、乙、丙、丁四位同学一起去找老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）
A.乙、丁可以知道自己的成绩 B.乙、丁可以知道对方的成绩
C.乙可以知道四人的成绩 D.丁可以知道四人的成绩
6．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（　　）
A. B.
C. D.
8．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为(　　)
A. B.
C. D.
9．设实数x，y满足约束条件则的最小值（ ）
A.5 B.
C. D.8
10．已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
11．已知p：，q：，那么p是q的（）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
12．在等比数列中，，，则等于（ ）
A.90 B.30
C.70 D.40
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列，则数列的前2022项的和为________.
14．已知茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．
甲组

乙组

15．已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线：的距离为，则的最小值为__________
16．设函数为奇函数，当时，，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，，，，N为PD的中点.

（1）求证：平面PBC；
（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
18．（12分）在△中，内角 所对的边分别为，已知
（1）求角的大小；
（2）若的面积 ，求的值
19．（12分）已知等比数列前3项和为
（1）求的通项公式；
（2）若对任意恒成立，求m的取值范围
20．（12分）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
(1)求{an}的通项an；
(2)求{an}前n项和Sn的最大值
21．（12分）如图在四棱锥中，底面是菱形，，平面平面，，，为的中点，是棱上的一点，且.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
22．（10分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.
【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，
，
∴的垂直平分线方程为，即，
∵点在直线上，
∴，
又点到直线：的距离为，
∴，即，
联立可得、或、，
∴所求点的坐标为或，
故选：C
2、B
【解析】根据等方差数列的定义逐一进行判断即可
【详解】选项A中，符合等差数列的定义，所以是等差数列，A正确；选项B中，不是常数，所以不是等方差数列，选项B错误；选项C中，，所以是等方差数列，C正确；选项D中
，所以是等方差数列，D正确
故选：B
3、C
【解析】求AB的中点坐标，根据直线所过的两点坐标求直线方程即可.
【详解】由已知，AB中点为，又，
∴所求直线斜率为，故直线方程为，即
故选：C.
4、A
【解析】直接根据全称命题的否定写出结论.
【详解】命题，为全称命题，故p的否定是：.
故选：A
【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题
5、A
【解析】分析可知乙、丙的成绩中必有位优秀、位良好，结合题意进行推导，可得出结论.
【详解】由于个人中的成绩中有位优秀，位良好，
甲知道乙、丙的成绩，还是不知道自己的成绩，则乙、丙的成绩必有位优秀、位良好，
甲、丁的成绩中必有位优秀、位良好，
因为给乙看丙的成绩，则乙必然知道自己的成绩，丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩.
故选：A.
6、B
【解析】由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围
【详解】设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，
，
∴，
易知数列是递增数列，且，
∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或
故选：B
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立
7、A
【解析】与已知直线平行，与椭圆相切的直线有二条，一条距离最短，一条距离最长，利用相切，求出直线的常数项，再计算平行线间的距离即可.
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为，则

所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为
故选：A
8、A
【解析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.
【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；
从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，
所以，所有的共有个，
由向量与向量垂直,可得，即,
故满足向量与向量垂直的共有2个：，
所以向量与向量垂直的概率为，故选A.
【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.
9、B
【解析】做出，满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.
【详解】做出，满足约束条件可行域如图，
化为，平移直线，
当直线经过点时有最小值，
由得，所以的最小值为.
故选：B.

10、D
【解析】由椭圆的定义可以直接求得点到另一焦点的距离.
【详解】设椭圆的左、右焦点分别为、, 由已知条件得，
由椭圆定义得,其中，则.
故选：.
11、C
【解析】若p成立则q成立且若q成立不能得到p一定成立, p是q充分不必要条件.
【详解】因为>0,<1,
所以若p：成立，一定成立,
但q：成立，p：不一定成立,
所以p是q的充分不必要条件.
故选：C.
12、D
【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.
【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由数列各项除以3的余数，可得为，知是周期为8的数列，即可求出数列的前2022项的和.
【详解】由数列各项除以3的余数，可得为，是周期为8的数列，一个周期中八项和为，又，数列的前2022项的和.
故答案为：.
14、
【解析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可.
【详解】根据茎叶图可知：
甲组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别；
乙组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别，
因为甲组数据的中位数为，所以有，
又因为乙组数据的平均数为，所以有，
所以，
故答案为：
15、3
【解析】根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
如图所示，根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，
过焦点F作直线：的垂线，此时取得最小值，
由点到直线的距离公式可得，
即的最小值为3.

【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，以及抛物线的最值问题，其中解答中根据抛物线的定义可知，点P到抛物线准线的距离等于点P到焦点F的距离，利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于中档试题.
16、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）设，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，化简求得.
【小问1详解】
设是的中点，连接，由于，
所以四边形是矩形，所以，
由于平面，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
，且平面，所以平面.
【小问2详解】
，设，
则，，
，
设直线与平面所成角为，
则，，
两边平方并化简得，解得或（舍去）.
所以存在，使直线与平面所成角的正弦值是，且.

18、（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理，将条件中的边化成角，可得，进而可得的值；（2）由三角形面积公式可得，再由余弦定理可得，得最后结论
试题解析：（1），又∴
又 得
（2）由， ∴
又
得， ∴ 得
考点：正弦定理；余弦定理
【易错点睛】解三角形问题的两重性：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口
19、（1）
（2）
【解析】（1）由等比数列的基本量，列式，即可求得首项和公比，再求通项公式；
（2）由题意转化为求数列的前项和的最大值，即可求参数的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，则，①
，
即，
得，即，
代入①得，解得：，
所以；
【小问2详解】
由（1）可知，数列是首项为2，公比为的等比数列，
，
若对任意恒成立，即，
数列，,单调递增,的最大值无限趋近于4，
所以
20、（1）an＝－2n＋5.（2）4
【解析】（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，解出a1＝3，d＝－2
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5
（Ⅱ）Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4
21、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）推导出PQ⊥AD，从而PQ⊥平面ABCD，连接AC，交BQ于N，连接MN，则AQ∥BC，推导出MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ
（2）连结BD，以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值
【详解】
（1）由已知PA＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PQ⊂面PAD，
∴PQ⊥平面ABCD，
连接AC，交BQ于N，连接MN，
∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，
∴△ANQ∽△BCN，，
又，∴，∴MN∥PA，
又MN⊂平面BMQ，PA⊄平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ
（2）连结BD，∵底面底面是菱形，
∴△ABD是正三角形，∴
由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，
以Q为坐标原点，以QA、QB、QP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），
设平面BMQ的法向量＝（x，y，z），
∴，由（1）知MN∥PA，∴，
∴，取z＝1，得，
平面BQP的法向量，
设二面角M﹣BQ﹣P的平面角为θ，
则cosθ＝，
∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值为
22、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4