2026届福建省福州市闽侯第六中学数学高二第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2026届福建省福州市闽侯第六中学数学高二第一学期期末统考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数在R上存在导数，对任意的有，若，则k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：

甲
乙
丙
丁
甲获胜概率

乙获胜概率

丙获胜概率

丁获胜概率

则甲最终获得冠军的概率是（ ）

A.0.165 B.0.24
C.0.275 D.0.36
3．已知数列中，，()，则等于（ ）
A. B.
C. D.2
4．抛物线的焦点到直线的距离（ ）
A. B.
C.1 D.2
5．函数的图象的大致形状是（）
A. B.
C. D.
6．的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（）项.
A.6 B.5
C.4和6 D.5和7
7．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（）
A. B.
C. D.
8．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（ ）
A.7 B.9
C.13 D.14
9．数列满足，且，则的值为（）
A.2 B.1
C. D.-1
10．已知双曲线的右焦点为F，则点F到其一条渐近线的距离为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
11．若动点在方程所表示的曲线上，则以下结论正确的是（）
①曲线关于原点成中心对称图形；
②动点到坐标原点的距离的取值范围为；
③动点与点的最小距离为；
④动点与点的连线斜率的取值范围是.
A.①② B.①②③
C.③④ D.①②④
12．设太阳光线垂直于平面，在阳光下任意转动棱长为一个单位的立方体，则它在平面上的投影面积的最大值是（）
A.1 B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在平面几何中有如下结论：若正三角形的内切圆周长为，外接圆周长为，则.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体的内切球表面积为，外接球表面积为，则__________
14．椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，，则的取值范围是___________.
15．直线l过点P(1，3)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________.
16．已知数列满足：，，，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某小学调查学生跳绳的情况，在五年级随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图如下，且规定积分规则如下表：

每分钟跳绳个数

得分
17
18
19
20
（1）求频率分布直方图中，跳绳个数在区间的小矩形的高；
（2）依据频率分布直方图，把第40百分位数划为合格线，低于合格分数线的学生需补考，试确定本次测试的合格分数线；
（3）依据积分规则，求100名学生的平均得分.
18．（12分）数列{}的首项为，且
（1）证明数列为等比数列，并求数列{}的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和
19．（12分）已知函数，且在处取得极值.
（1）求的值；
（2）当，求的最小值.
20．（12分）函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.
21．（12分）已知满足，.
（1）求证：是等差数列，求的通项公式；
（2）若，的前项和是，求证：.
22．（10分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2

（1）求圆C的方程；
（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】构造函数，求导后利用单调性，对题干条件变形后得到不等关系，求出答案.
【详解】令，则恒成立，故单调递增，变形为，即，从而，解得：，故k的取值范围是
故选：C
2、B
【解析】先求出甲第一轮胜出的概率，再求出甲第二轮胜出的概率，即可得出结果.
【详解】甲最终获得冠军的概率，
故选：B.
3、D
【解析】由已知条件可得，，…，即是周期为3的数列，即可求.
【详解】由题设，知：，，，…，
∴是周期为3的数列，而的余数为1，
∴.
故选：D.
4、B
【解析】由抛物线可得焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由抛物线可得焦点坐标为，
根据点到直线的距离公式，可得，
即抛物线的焦点到直线的距离为.
故选：B.
5、B
【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.
【详解】解：对A，当时，，故A错误；
对B，的定义域为，
且，
故为奇函数；
，
当时，当时，，
即，
又，
，
故存在，
故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；
对C，为奇函数，故C错误；
对D，函数在上不单调，故D错误.
故选：B.
6、A
【解析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.
【详解】因为二项式展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，
易知当r＝5时，最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.
故选：A
7、B
【解析】联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
8、B
【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解
【详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示：

当目标函数经过时，纵截距最大，最大.
故选：B
9、D
【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.
【详解】解：由题意，数列满足，且，
可得，
可得数列是以三项为周期的周期数列，
所以.
故选：D.
10、A
【解析】由双曲线方程可写出右焦点坐标，再写一渐近线方程，根据点到直线的距离公式可得答案.
【详解】双曲线的右焦点F坐标为，
根据双曲线的对称性，不妨取一条渐近线为，
故点F到渐近线的距离为 ，
故选：A
11、A
【解析】将原方程等价变形为，将方程中的换为，换为，方程不变，可判断①；利用两点间的距离公式，结合二次函数知识可判断②和③；取特殊点可判断④.
【详解】因为等价于，即，
对于①，将方程中的换为，换为，方程不变，所以曲线关于原点成中心对称图形，故①正确；
对于②，设，则动点到坐标原点的距离
，
因为，所以，故②正确；
对于③，设，动点与点的距离为，
因为函数在上递减，所以当时，函数取得最小值，从而取得最小值，故③不正确；
对于④，当时，因为，所以，故④不正确.
综上所述：结论正确的是：①②.
故选：A
12、C
【解析】确定正方体投影面积最大时,是投影面与平面AB' C平行，从而求出投影面积的最大值.
【详解】设正方体投影最大时，是投影面与平面AB' C平行，
三个面的投影为两个全等的菱形，其对角线为，即投影面上三条对角线构成边长为的等边三角形，如图所示，

所以投影面积为
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是，，故答案为.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
14、
【解析】根据椭圆和双曲线得定义求得，再根据，可得，从而有，求出的范围，根据，结合基本不等式即可得出答案.
【详解】解：设，
则有，
所以，即，
又因为，所以，
所以，即，则，
由，得，所以，所以，
则，
由，得，
因为，
当且仅当，即时，取等号，
因为，所以，所以，
即，
所以的取值范围是.
故答案为：.

15、
【解析】根据直线方向向量求出直线斜率即可得直线方程.
【详解】因为直线l的一个方向向量为(2，1)，所以其斜率，
所以l方程为：，即其一般式方程为：.
故答案为：.
16、.
【解析】运用累和法，结合等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】因为，，
所以当时，有，
因此有：，
即，
当时，适合上式，
所以，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）分
【解析】（1）根据频率之和为列方程来求得跳绳个数在区间的小矩形的高.
（2）根据百分位数的计算方法计算出合格分数线.
（3）根据平均数的求法求得名学生的平均得分.
【小问1详解】
设跳绳个数在区间的小矩形的高为，
则，
解得.
【小问2详解】
第一组的频率为，第二组的频率为，
第三组的频率为，第四组的频率为，
第五组的频率为，第六组的频率为，
所以第百分位数为.
也即合格分数线为.
【小问3详解】
名学生的平均得分为分.
18、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】(1)利用给定的递推公式变形，再利用等比数列定义直接判断并求出通项得解.
(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法计算作答.
【小问1详解】
数列{}中，，则，由得：，
所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
则有，即，
所以数列{}的通项公式是.
【小问2详解】
由(1)知，，，
则，
所以数列{}的前n项和.
19、（1）；
（2）.
【解析】（1）对函数求导，则极值点为导函数的零点，进而建立方程组解出a,b，然后讨论函数的单调区间进行验证，最后确定答案；
（2）根据（1）得到函数在上的单调区间，进而求出最小值.
【小问1详解】
，因为在处取得极值，所以，则，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，故为函数的极值点.
于是.
【小问2详解】
结合（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，在单调递减，而，所以.
因为，所以.
综上：的最小值为.
20、（1）；（2）.
【解析】（1）由题设，原不等式等价于，分类讨论即可得出结论；
（2）不等式对任意恒成立，即，即可求实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，原不等式等价于，
当时，，解得，即；
当时，恒成立，即；
当时，，解得，即；
综上，不等式的解集为；
（2），
，即或，解得，
∴a取值范围是.
21、（1）证明见解析，
（2）证明见解析
【解析】（1）在等式两边同时除以，结合等差数列的定义可证得数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得的表达式；
（2）求得，利用裂项相消法求得，即可证得原不等式成立.
【小问1详解】
解：在等式两边同时除以可得且，
所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，
因此，.
【小问2详解】
证明：，
所以，.
故原不等式得证.
22、（1）.
（2）.
【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；
（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.
小问1详解】
解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，
设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，
所以，圆心C的坐标为(2,1)，
所以圆C的方程为；
【小问2详解】
解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，
假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，
检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，
所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.