2026届河北省唐县第一中学数学高二第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2026届河北省唐县第一中学数学高二第一学期期末调研模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的虚轴长为（ ）
A. B.
C.3 D.6
2．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则椭圆C的离心率为（）
A. B.
C. D.
3．设是周期为2的奇函数，当时，，则　（　）
A. B.
C. D.
4．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A. B.
C. D.
5．曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA，FB，O为坐标原点，若四边形OAFB是菱形，则双曲线C的离心率等于（）
A. B.
C.2 D.
6．设函数，则（）
A.4 B.5
C.6 D.7
7．已知等差数列的前n项和为，公差，若（，），则（ ）
A.2023 B.2022
C.2021 D.2020
8．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A.2 B.6
C.4 D.12
9．若圆C：上有到的距离为1的点，则实数m的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（）
A. B.2
C. D.3
11．直线过椭圆内一点，若点为弦的中点，设为直线的斜率，为直线的斜率，则的值为（）
A. B.
C. D.
12．经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

14．已知直线与垂直，则m的值为______
15．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______
16．双曲线的离心率为__________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值
18．（12分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
19．（12分）已知命题：方程有实数解，命题：，.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围.
20．（12分）已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
21．（12分）已知的展开式中二项式系数和为16
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求
22．（10分）已知中心在坐标原点O的椭圆，左右焦点分别为，，离心率为，M，N分别为椭圆的上下顶点，且满足.
（1）求椭圆方程；
（2）已知点C满足，点T在椭圆上（T异于椭圆的顶点），直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，若P为线段NT的中点，求直线NT的方程；
（3）过椭圆内的一点D（0，t），作斜率为k的直线l，与椭圆交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别是，，若对于任意实数k，存在实数m，使得，求实数m的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案
【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.
故选：D.
2、B
【解析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a,b之间的关系.
【详解】如图：

依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：
，解得：，代入得，
故P点坐标为，由题意，OP的斜率为，
即，化简得：，，，；
故选：B.
3、A
【解析】由周期函数得，再由奇函数的性质通过得结论
【详解】∵函数是周期为2的周期函数，∴，而，
又函数为奇函数，∴．故选A
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．此类题型，求函数值时，一般先用周期性化自变量到已知区间关于原点对称的区间，然后再由奇函数性质求得函数值
4、D
【解析】设正方形的边长为，计算出阴影部分区域的面积和正方形区域的面积，然后利用几何概型的概率公式计算出所求事件的概率.
【详解】设大正方形的边长为，则面积为，阴影部分由一个大等腰直角三角形和一个梯形组成
大等腰直角三角形的面积为，
梯形的上底为，下底为，高为，面积为，
故所求概率
故选：D.
5、A
【解析】依题意可得为正方形，即可得到，从而得到双曲线的渐近线为，即可求出双曲线的离心率；
【详解】解：依题意，，且四边形为菱形，所以为正方形，所以，即双曲线的渐近线为，即，所以；

故选：A
6、D
【解析】求出函数的导数，将x=1代入即可求得答案.
【详解】,
故，
故选：D.
7、C
【解析】根据题意令可得，结合等差数列前n项和公式写出，进而得到关于的方程，解方程即可.
【详解】因为，令，得，
又，，
所以，有，
解得.
故选：C
8、C
【解析】根据题设条件求出椭圆的长半轴，再借助椭圆定义即可作答.
【详解】由椭圆＋y2＝1知，该椭圆的长半轴，
A是椭圆一个焦点，设另一焦点为，而点在BC边上，点B，C又在椭圆上，
由椭圆定义得，
所以的周长
故选：C
9、C
【解析】利用圆与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】将圆C的方程化为标准方程得，
所以．因为圆C上有到的距离为1的点，
所以圆C与圆：有公共点，所以
因为，所以，
解得，
故选：C
10、D
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到韦达定理，求得，利用抛物线定义，将目标式转化为关于的代数式，消元后，利用基本不等式即可求得结果.
【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，
显然要满足题意，直线的斜率存在，设直线的方程为
联立可得，其，
设坐标为，显然，
则，，
根据抛物线定义，，
故
，
令，
故，
当且仅当，即时取得最小值.
故选：D.
【点睛】本题考察抛物线中的最值问题，涉及到韦达定理的使用，基本不等式的使用；其中利用的关系，以及抛物线的定义转化目标式，是解决问题的关键.
11、A
【解析】设点与的坐标，进而可表示与，再结合两点在椭圆上，可得的值.
【详解】设点与，
则，，
所以，，
又点与在椭圆上，
所以，，
作差可得，
即，
所以，
故选：A.
12、C
【解析】共渐近线的双曲线方程，设，把点代入方程解得参数即可.
【详解】设，把点代入方程解得参数，所以化简得方程
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①. ②.
【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】过点分别作，，垂足分别为，，

则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.
14、0或-9##-9或0
【解析】根据给定条件利用两直线互相垂直的性质列式计算即得.
【详解】因直线与垂直，则有，解得或，
所以m的值为0或-9.
故答案为：0或-9
15、
【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：
令，此时，，于是直线过定点
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：
16、
【解析】根据双曲线方程确定a,b,c的值，求出离心率.
【详解】由双曲线可得：，
故，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）128
【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.
（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.
【小问1详解】
设抛物线上任一点为，则，
所以当时，，
又∵，∴，即
所以抛物线C的方程为
【小问2详解】
设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，
由题意可知，的斜率k存在且不为0
设的方程为由，得
，
同理可得，

，
当且仅当时，即时，等号成立
∴四边形AMBN面积的最小值为128
18、（1）当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【解析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，成立，所以符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
19、（1）或；（2）
【解析】（1）由方程有实数根则，可求出实数的取值范围.
(2) 为真命题,即从而得出的取值范围,由（1）可得出为假命题时实数的取值范围.即可得出答案.
【详解】解：（1）方程有实数解得，，解之得或；
（2）为假命题，则，
为真命题时，，，则
故.
故为假命题且为真命题时，.
【点睛】本题考查命题为真时求参数的范围和两个命题同时满足条件时，求参数的范围，属于基础题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据△恰为等边三角形由题意知：得到，再利用抛物线的定义求解；
（2）联立，结合韦达定理，根据的夹角为，由求解.
【小问1详解】
解：由题意知：，
由抛物线的定义知：，
由，解得，
所以抛物线方程为；
【小问2详解】
设，
由，得，
则，，
则，，
因为向量的夹角为，
所以，
，
则，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围.
21、（1）
（2）
【解析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解
【小问1详解】
由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；
【小问2详解】
，其展开式的通项为
，令，得
∴常数项
令，可得展开式中所有项系数的和为，∴
22、（1）1
（2）或
（3）
【解析】（1）由已知可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程，
（2）设直线，代入椭圆方程中消去，解方程可求出点的坐标，从而可得NT中点的坐标，而，可得解方程可求出的值，即可得到直线NT的方程，
（3）设直线，代入椭圆方程中消去，利用根与系数的关系结合直线的斜率公式可得，再由，可求出m的取值范围
【小问1详解】
设（c，0），M（0，b），N（0，b），
①，
又②，③，
由①②③得，
所以椭圆方程为1.
【小问2详解】
由题C，0），设直线
联立得
，那么，N（0，）
NT中点.
所以，
因为直线NT与以C为圆心的圆相切于点P，所以
所以
所以得，解得或
所以直线NT为：或.
【小问3详解】
设直线，联立方程得

设A（，），B，），则
…
由对任意k成立，得
点D在椭圆内，所以，所以，
所以m的取值范围为.