河北省唐山市丰南区第二中学2025-2026学年数学高二第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

河北省唐山市丰南区第二中学2025-2026学年数学高二第一学期期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设是等比数列，且，，则（ ）
A.12 B.24
C.30 D.32
2．已知P是直线上的动点，PA，PB是圆的切线，A，B为切点，C为圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是（ ）
A 2 B.
C.3 D.
3．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
4．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5． “”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
6．已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：–y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A.m＞n且e1e2＞1 B.m＞n且e1e2＜1
C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1
7．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A 1 B.2
C.4 D.8
8．设数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，则（ ）
A.255 B.257
C.127 D.129
9．在正项等比数列中，和为方程的两根，则等于（ ）
A.8 B.10
C.16 D.32
10．双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（ ）
A. B.
C.2 D.4
11．设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
12．过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若p：存在，使是真命题，则实数a的取值范围是______
14．已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距离为__________.
15．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________
16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是函数的一个极值点.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
18．（12分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
19．（12分）如图，在梯形中，，，平面，四边形为矩形，点为线段的中点，且

（1）求证：平面平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则三棱锥F-ABC的体积为多少？
20．（12分）已知，
（1）当时，求函数的单调递减区间；
（2）当时，，求实数a的取值范围
21．（12分）两个顶点、的坐标分别是、，边、所在直线的斜率之积等于，顶点的轨迹记为.
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若过点作直线与轨迹相交于、两点，点恰为弦中点，求直线的方程；
（3）已知点为轨迹的下顶点，若动点在轨迹上，求的最大值.
22．（10分）记为等差数列的前n项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）求的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题
2、D
【解析】由圆C的标准方程可得圆心为（1，1），半径为1，根据切线的性质可得四边形PACB面积等于，，故求解最小时即可确定四边形PACB面积的最小值.
【详解】圆C：x2+y2-2x-2y+1=0 即，
表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆，
由于四边形PACB面积等于2×××=，而，
故当最小时，四边形PACB面积最小，
又的最小值等于圆心C到直线l：的距离d，而，
故四边形PACB面积的最小值为，
故选：D

3、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
4、B
【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由得或，
由得，
因为或推不出，但能推出或成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
5、B
【解析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
【详解】解：由，得，反之不成立，如，，满足，但是不满足，
故“”是“”的充分不必要条件
故选：B
6、A
【解析】详解】试题分析：由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质
【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注意．否则很容易出现错误
7、C
【解析】根据焦点弦的性质即可求出
【详解】依题可知，，所以
故选：C
8、C
【解析】由题设可得，再由即可求值.
【详解】由数列是公比为2的等比数列，且，
∴，即，
∴.
故选：C.
9、C
【解析】根据和为方程两根，得到，然后再利用等比数列的性质求解.
【详解】因为和为方程的两根，
所以，
又因为数列是等比数列，
所以，
故选：C
10、C
【解析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，
又其中一条渐近线的倾斜角为，
所以，则，
所以该双曲线离心率为.
故选：C.
11、D
【解析】连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒
【详解】设椭圆右焦点为，连接Q，

∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，
则，
由，
∵Q在椭圆上，∴，又，解得，
∴离心率
故选：D
12、A
【解析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率
【详解】：
由题意设相应的渐近线：，
则根据直线的斜率为，则的方程为 ，
联立双曲线渐近线方程求出，
则，，则的中点，
把中点坐标代入双曲线方程中，即，
整理得 ，即 ，求得，即离心率为，
故答案为：

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】将问题分离参数得到存在，使成立，可得结论.
【详解】存在，使，即存在，使，所以
故答案为：
14、或10.
【解析】对参数a进行讨论，考虑曲线是椭圆和双曲线的情况，进而结合椭圆与双曲线的定义和性质求得答案.
【详解】由题意，曲线的半焦距为5，若曲线是焦点在x轴上的椭圆，则a>16，所以，而椭圆上的点到一个焦点距离是2，则点到另一个焦点的距离为；
若曲线是焦点在y轴上的椭圆，则0<a<16，所以，舍去；
若曲线是双曲线，则a<0，容易判断双曲线的焦点在y轴，所以，不妨设点P在双曲线的上半支，上下焦点分别为，因为实半轴长为4，容易判断点P到下焦点的距离的最小值为4+5=9>2，不合题意，所以点P到上焦点的距离为2，则它到下焦点的距离.
故答案为：或10.
15、
【解析】由已知中前项和，结合 ，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式
【详解】∵数列前项和，
∴当时，，
又∵当时， ，
故，
故答案为.
【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键
16、－.
【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以
考点：数列的递推关系式及等差数列的通项公式
【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3（2），
【解析】（1）先求出函数的导数，根据极值点可得导数的零点，从而可求实数的值；
（2）由（1）可得函数的单调性，从而可求最值.
【小问1详解】
，
是的一个极值点,.
，，
此时，
令，解剧或，
令，解得，
故为的极值点，故.
【小问2详解】
由（1）可得在上单调递增，在上单调递减，
故在上为增函数，在上为减函数，
.
又
18、（1）
（2）
【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
【小问1详解】
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
【小问2详解】
如下图，将直线平移到下底面上为

由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为
19、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）先证线面垂直，再证面面垂直即可解决；
（2）建立空间直角坐标系，以向量法去求平面与平面所成锐二面角的余弦值，列方程解得的长度，即可求得三棱锥F-ABC的体积.
【小问1详解】
在梯形中，，，，
所以，，
又，所以，
所以，又
所以，即
又平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，即平面
又平面，则平面平面
【小问2详解】
由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系
因为，，所以，令
则，，，所以，
设为平面的一个法向量，
由，得解得，
取，则，又是平面的一个法向量.
设平面与平面所成锐二面角为，
则，即
解之得，又，故即

20、（1）
（2）
【解析】（1）求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；
（2）依题意可得当时，当时，显然成立，当时只需，参变分离得到，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；
【小问1详解】
解：当时定义域为，
所以，
令，解得或，
令，解得，
所以的单调递减区间为；
【小问2详解】
解：由，即，即，
当时显然成立，
当时，只需，即，
令，，则，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）先表示出边、所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；
（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；
（3）先表示出，然后利用椭圆的性质，进而确定的最大值.
【小问1详解】
设点，则由可得：

化简得：
故顶点的轨迹的方程：
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
联立方程组
消去可得：
设直线与轨迹的交点，的坐标分别为
由韦达定理得：
点为、两点的中点，可得：，即
则有：
解得：
故求直线的方程为：
【小问3详解】
由（1）可知，设
则有：
又点满足，即

由椭圆的性质得：
所以当时，
22、（1）
（2）
【解析】（1）设数列的公差为d，由，利用等差数列的前n项和公式求解；
（2）利用等差数列的前n项和公式结合二次函数的性质求解.
【小问1详解】
解：设数列的公差为d，
∵，
∴，
解得2，
∴.
【小问2详解】
由（1）知2，
∴，
，
，
∴当时，取得最小值-16.