2025年豫南九校高二数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2025年豫南九校高二数学第一学期期末检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列的公比为q，且，则“”是“是递增数列”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2．若实数x，y满足不等式组，则的最小值为（）
A. B.0
C. D.2
3．已知函数，则（）
A.函数在上单调递增
B.函数上有两个零点
C.函数有极大值16
D.函数有最小值
4．双曲线 的渐近线方程为
A. B.
C. D.
5．已知抛物线，，点在抛物线上，记点到直线的距离为，则的最小值是（）
A.5 B.6
C.7 D.8
6．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）

A. B.
C. D.
7．已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A.2 B.
C.1 D.
8．椭圆的长轴长是（）
A.3 B.6
C.9 D.4
9．已知数列通项公式，则（ ）
A.6 B.13
C.21 D.31
10．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可表示为，则在时的瞬时降雨强度为（）mm/min.
A. B.
C.20 D.400
12．在长方体中，，，点分别在棱上，，，则（ ）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______
14．若直线与平行，则实数________.
15．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.
16．设等差数列，前项和分别为，，若对任意自然数都有，则的值为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.
19．（12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.

（1）证明：无论取何值，总有；
（2）是否存在点，使得平面与平面所成角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
20．（12分）如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点

（1）求圆锥的表面积；
（2）求点B到直线CD的距离
21．（12分）已知直线和的交点为P，求：
（1）过点P且与直线垂直的直线l的方程；
（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为12的圆的方程；
（3）从下面①②两个问题中选一个作答，
①若直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，求直线l的方程
②求圆心在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长的圆的方程
注：如果选择两个问题分别作答，按第一个计分
22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若焦距为4，点P是椭圆上与左、右顶点不重合的点，且的面积最大值.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于点、，且满足（为坐标原点），求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质分析判断
【详解】当时，则，则数列为递减数列，
当是递增数列时，，因为，所以，则可得，
所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
2、A
【解析】画出可行域，令，则，结合图形求出最小值，即可得解；
【详解】解：画出不等式组，表示的平面区域如图阴影部分所示，由，解得，即，

令，则．结合图形可知当过点时，取得最小值，且，即
故选：A
3、C
【解析】对求导，研究的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.
【详解】，由，得或，由，得，
所以在上递增，在上递减，在上递增，
所以极大值为，极小值为，所以有3个零点，且无最小值.
故选：C
4、A
【解析】根据双曲线的渐近线方程知，，故选A.
5、D
【解析】先求出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义将转化为的距离，即可求解.
【详解】由已知得抛物线的焦点为，准线方程为，
设点到准线的距离为，则，
则由抛物线的定义可知
∵，当点、、三点共线时等号成立，
∴，
故选：.
6、A
【解析】根据原函数图象判断出函数单调性，由此判断导函数的图象.
【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.
所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.
所以A选项符合.
故选：A
7、B
【解析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
8、B
【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.
故选：B
9、C
【解析】令即得解.
【详解】解：令得.
故选：C
10、A
【解析】由题意，在上恒成立，只需满足即可求解.
【详解】解：因为，所以，
因为函数在上单调递减，
所以在上恒成立，
只需满足，即，解得
故选：A.
11、B
【解析】对题设函数求导，再求时对应的导数值，即可得答案.
【详解】由题设，，则，
所以在时的瞬时降雨强度为 mm/min.
故选：B
12、D
【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；
【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、69
【解析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.
【详解】解：由图可知，第行有个数，
第行最后一个数为，
因为，
所以第行的最后一个数为2016，
所以2021位第行，即，
又，
所以2021位第行第5列，即，
所以.
故答案为：69.
14、
【解析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为，则，解得.
故答案为：.
15、
【解析】根据公式求解即可.
【详解】解：当时，
当时，
因为也适合此等式，所以.
故答案为：
16、
【解析】由等差数列的性质可得：．再利用已知即可得出
【详解】由等差数列的性质可得：
对于任意的都有，
则
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列的性质，求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】设圆心坐标为，根据两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值．从而求出圆的圆心和半径，可得圆的方程
【详解】解：∵ 圆心在直线，
∴设圆心坐标为，
根据点和在圆上，可得
解之得.
∴圆心坐标为，半径.
因此，此圆的标准方程是
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据双曲线的定义可得答案；
（2）设，过点的的切线方程为，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可证明.
【小问1详解】
因为，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
所以，，所以，
所以的方程为
【小问2详解】
设，则，
设过点的切线方程为，
联立可得
由可得
，所以
所以
19、（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算得出，即可得出结论；
（2）计算出平面的一个法向量，利用空间向量法可得出关于的方程，即可得出结论.
【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，，，
所以，，则，
因此，无论取何值，总有；
（2），设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得，，此方程无解，
因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.
20、（1）
（2）
【解析】（1）直接运用圆锥的表面积公式计算即可；
（2）建立空间直角坐标，然后运用向量法计算可求得答案.
【小问1详解】

【小问2详解】
如图，建立直角坐标系
，，，

，
∴B在CD上投影的长度
∴B到CD的距离

解法2：设直线CD上一点E满足
令，则
∴，
∴，∴
∴，故B到CD距离为.
21、（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】（1）联立方程组求得交点的坐标，结合直线与直线垂直，求得直线的斜率为，利用直线的点斜式，即可求解；
（2）先求得点到直线的距离为，由圆的的垂径定理列出方程求得圆的半径，即可求解；
（3）若选①：设直线l的的斜率为，得到，结合题意列出方程，求得的值，即可求解；
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，得到，利用圆的垂径定理列出方程求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线和的交点为P，
联立方程组，解得，即，
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程为，即.
【小问2详解】
解：因为点到直线的距离为，
设所求圆的半径为，
由圆的的垂径定理得，弦长，解得，
所以所求圆的方程为.
【小问3详解】
解：若选①：直线l过点，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为，
设直线l的的斜率为，
可得直线的方程为，即，
则直线与坐标轴的交点分别为，
由，解得或，
所以所求直线的方程为或.
若选②，设所求圆的圆心为，半径为，
因为圆与x轴相切，可得，
又由圆心到直线的距离为，
利用圆的垂径定理可得，即，
解得，即圆心坐标为或，
所以所求圆的方程为或.
22、（1）
（2）或
【解析】（1）根据焦距求出，利用面积最大值，得到求出，从而得到，求出椭圆方程；（2）分直线斜率存在和斜率不存在，结合题干条件得到，进而求出直线方程.
【小问1详解】
∵
∴，
又的面积最大值，则，所以，
从而，，故椭圆的方程为：；
【小问2详解】
①当直线的斜率存在时，设，
代入③整理得，
设、，则，
所以，
点到直线的距离
因为，即，
又由，得，所以，.
而，，即，
解得：，此时；
②当直线的斜率不存在时，，直线交椭圆于点、.
也有，经检验，上述直线均满足，
综上：直线的方程为或.
【点睛】圆锥曲线中，有关向量的题目，要结合条件选择不同的方法，一般思路有转化为三角形面积，或者线段的比，或者由向量得到共线等.