山西省长治县第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

山西省长治县第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2．曲线在点处的切线方程是
A. B.
C. D.
3．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）
A.为锐角三角形 B.为钝角三角形
C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形
4．在空间四边形中，，，，且，则（）
A. B.
C. D.
5．我国古代数学典籍《四元玉鉴》中有如下一段话：“河有汛，预差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日转多七人，今有三日连差三百人，问已差人几天，差人几何？”其大意为“官府陆续派遣1880人前往修筑堤坝，第一天派出65人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，则目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）
A.6天 495人 B.7天 602人
C.8天 716人 D.9天 795人
6．为了调查全国人口的寿命，抽查了11个省（市）的2500 名城镇居民，这2500名城镇居民的寿命的全体是（ ）
A.总体 B.个体
C.样本 D.样本容量
7．甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（）
A. B.
C. D.
8．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（）

A. B.1
C.2 D.
9．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为
A. B.
C. D.
10．若构成空间向量的一组基底，则下列向量不共面的是（）
A.，， B.，，
C.，， D.，，
11．某校开学“迎新”活动中要把3名男生，2名女生安排在5个岗位，每人安排一个岗位，每个岗位安排一人，其中甲岗位不能安排女生，则安排方法的种数为（ ）
A.72 B.56
C.48 D.36
12．过点且斜率为的直线方程为（ ）
A. B.
C D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______
14．已知函数f（x）=ex-2x+a有零点，则a的取值范围是___________
15．设是数列的前项和，且，则_____________.
16．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直
（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C方程
18．（12分）已知抛物线过点.
（1）求抛物线方程；
（2）若直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，且，求证：过定点.
19．（12分）某校高二年级共有男生490人和女生510人，现采用分层随机抽样的方法从该校高二年级中抽取100名学生，测得他们的身高数据
（1）男生和女生应各抽取多少人？
（2）若样本中男生和女生的平均身高分别为173.6、162.2厘米，请估计该校高二年级学生的平均身高
20．（12分）已知数列为等差数列，为其前n项和，若，
（1）求数列的首项和公差；
（2）求的最小值.
21．（12分）已知函数.
（1）若与在处有相同的切线，求实数的取值；
（2）若时，方程在上有两个不同的根，求实数的取值范围.
22．（10分）命题p：关于x的不等式对一切恒成立； 命题q：函数在上递增，若为真，而为假，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
，，即圆与相交，直线AB方程为：，
圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，
所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.
故选：A
2、D
【解析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.
【详解】，选D.
点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.
3、A
【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.
【详解】解：由椭圆：，得，
则，
则，
所以且为锐角，
因为，
所以锐角，
所以为锐角三角形.
故选：A.
4、A
【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】.
.
故选:A.

5、B
【解析】根据题意，设每天派出的人数组成数列，可得数列是首项，公差数7的等差数列，解方程可得所求值
【详解】解：设第天派出的人数为，则是以65为首项、7为公差的等差数列，且，，
∴，，
∴天
则目前派出的人数为人，
故选：B
6、C
【解析】由样本的概念即知.
【详解】由题意可知，这2500名城镇居民的寿命的全体是样本.
7、D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式直接求解.
【详解】甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为.
故选：D
8、C
【解析】由题设写出双曲线的方程,对比系数,求出即可获解
【详解】
由题知
所以双曲线的方程为
又由题设的方程为,所以,即
设AB的中点为,则
由.所以,即圆的半径为2
故选：C
9、B
【解析】设， 解集为 所以二次函数图像开口向下，且与 交点为，由韦达定理得 所以 的解集为 ，故选B.
10、C
【解析】根据空间向量共面的条件即可解答.
【详解】对于A，由，所以，，共面；
对于B，由，所以，，共面；
对于D，，所以，，共面，
故选：C.
11、A
【解析】以位置优先法去安排即可解决.
【详解】第一步：安排甲岗位，由3名男生中任选1人，有3种方法;
第二步：安排余下的4个岗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有种方法
故安排方法的种数为
故选：A
12、B
【解析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知所求直线的方程为，即.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、69
【解析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.
【详解】解：由图可知，第行有个数，
第行最后一个数为，
因为，
所以第行的最后一个数为2016，
所以2021位第行，即，
又，
所以2021位第行第5列，即，
所以.
故答案为：69.
14、
【解析】根据零点定义，分离出 ，构造函数，通过研究的值域来确定 的取值范围
【详解】根据零点定义，则
所以
令
则，令
解得
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增
所以当时取得最小值，最小值为
所以由零点的条件为
所以，即的取值范围为
【点睛】本题考查了函数零点的意义，通过导数求函数的值域，分离参数法的应用，属于中档题
15、
【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
16、2
【解析】由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）3x+4y+5＝0
（2）x2+y2＝17
【解析】（1）由垂直关系得过直线l的斜率，由点斜式化简即可求解l的一般式方程；
（2）结合勾股定理建立弦心距（由点到直线距离公式求解），半弦长，圆半径的基本关系，解出，即可求解圆C的方程
【小问1详解】
因为直线l与直线4x﹣3y+t＝0垂直，所以直线l的斜率为，
故直线l的方程为，即3x+4y+5＝0，
因此直线l的一般式方程为3x+4y+5＝0；
【小问2详解】
圆C：x2+y2＝m的圆心为（0，0），半径为，
圆心（0，0）到直线l的距离为，
则半径满足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圆C：x2+y2＝17
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）运用代入法直接求解即可；
（2）设出直线的方程与抛物线方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【小问1详解】
由已知可得：；
【小问2详解】
的斜率不为设，
，
或，
因为直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，
所以，即过定点.
【点睛】关键点睛：运用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.
19、（1）应抽取男生49人，女生51人；
（2）.
【解析】（1）利用分层抽样计算男生和女生应抽取的人数；
（2）利用平均数的计算公式计算求解.
【小问1详解】
解：应抽取男生人，女生应抽取100-49=51人.
【小问2详解】
解：估计该校高二年级学生的平均身高为.
20、（1）首项为-2，公差为1；
（2）.
【解析】(1)设出等差数列的公差，再结合前n项和公式列式计算作答.
(2)由(1)的结论，探求数列的性质即可推理计算作答.
【小问1详解】
设等差数列首项为，公差为，而为其前n项和，，，
于是得：，解得，，
所以，.
【小问2详解】
由(1)知，，，，数列是递增数列，前3项均为非正数，从第4项起为正数，
而，于是得的前2项和与前3项和相等并且最小，
所以当或时，.
21、（1）
（2）
【解析】（1）根据导数的几何意义求得函数在处的切线方程，再由有相同的切线这一条件即可求解；
（2）先分离，再研究函数的单调性，最后运用数形结合的思想求解即可.
【小问1详解】
设公切线与的图像切于点，
在处的切线为，
由题意得：；
【小问2详解】
当时，，①
，①式可化为为，
令
令，，
在上单调递增，在上单调递减.
，当时，
由题意知：
22、
【解析】依题意，可分别求得p真、q真时m的取值范围，再由p∨q为真，而p∧q为假求得实数a的取值范围即可
【详解】命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立；
①若命题p正确，则△＝（2a）2﹣42＜0，即﹣2＜a＜2；
②命题q：函数f（x）＝logax在（0，+∞）上递增⇒a＞1，
∵p∨q为真，而p∧q为假，
∴p、q一真一假，
当p真q假时，有，
∴﹣2＜a≤1；
当p假q真时，有，
∴a≥2
∴综上所述，﹣2＜a≤1或a≥2
即实数a的取值范围为（﹣2，1]∪[2，+∞）
【点睛】本题考查复合命题的真假，分别求得p真、q真时m的取值范围是关键，考查理解与运算能力，属于中档题