武汉外国语学校2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题含解析.doc

武汉外国语学校2025-2026学年高二数学第一学期期末检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（ ）
A.5 B.
C. D.
2．已知命题，，则（）
A.， B.，
C.， D.，
3．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）
A. B.
C. D.
4．抛物线的准线方程是
A. B.
C. D.
5．集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
6．某高中学校高二和高三年级共有学生人，为了解该校学生的视力情况，现采用分层抽样的方法从三个年级中抽取一个容量为的样本，其中高一年级抽取人，则高一年级学生人数为（）
A. B.
C. D.
7．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（）
A.2 B.4
C.6 D.8
8．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A.0.16 B.0.32
C.0.68 D.0.84
9．两圆和的位置关系是（ ）
A.内切 B.外离
C.外切 D.相交
10．积分（ ）
A. B.
C. D.
11．设命题甲：，命题乙：直线与直线平行，则（）
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件
12．如图，已知多面体，其中是边长为4的等边三角形，四边形是矩形，，平面平面，则点到平面的距离是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．直线被圆所截得的弦的长为_____
14．在的展开式中，含项的系数为______（结果用数值表示）
15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.

16．曲线在点处的切线方程为_____________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图甲，平面图形中，，沿将折起，使点到点的位置，如图乙，使.

（1）求证：平面平面；
（2）若点满足，求点到直线的距离.
18．（12分）如图，在棱长为的正方体中，为中点

（1）求二面角的大小；
（2）探究线段上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由
19．（12分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为
（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；
（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论
20．（12分）已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和.
21．（12分）双曲线的离心率为，虚轴的长为4.
（1）求的值及双曲线的渐近线方程；
（2）直线与双曲线相交于互异两点，求的取值范围.
22．（10分）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先求的平方后再求解即可.
【详解】
，
故，
故选：C
2、C
【解析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，.
故选：C.
3、C
【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离
【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为
故选：C
【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面
4、C
【解析】根据抛物线的概念，可得准线方程为
5、A
【解析】先解不等式求得集合再求交集.
【详解】解不等式得：，则有，
解不等式，解得或，则有或，
所以为.
故选：A.
6、B
【解析】先得到从高二和高三年级抽取人，再利用分层抽样进行求解.
【详解】设高一年级学生人数为，
因为从三个年级中抽取一个容量为的样本，且高一年级抽取人，
所以从高二和高三年级抽取人，
则，解得，
即高一年级学生人数为.
故选：B
7、B
【解析】根据，，三点共线，结合点到准线的距离为2，得到，再利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：

∵，，三点共线，
∴是圆的直径，
∴，轴，
又为的中点，且点到准线的距离为2，
∴，
由抛物线的定义可得，
故选：B.
8、C
【解析】根据对称性以及概率之和等于1求出，再由即可得出答案.
【详解】∵随机变量服从正态分布，

∴

故选：C.
9、A
【解析】计算出圆心距，利用几何法可判断两圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆的圆心坐标为，半径为，
两圆圆心距为，则，
因此，两圆和内切.
故选：A.
10、B
【解析】根据定积分的几何意义求值即可.
【详解】由题设，定积分表示圆在x轴的上半部分，
所以.
故选：B
11、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.
【详解】当时，直线的方程为，直线方程为，此时，直线与直线平行，即甲乙；
直线和直线平行，则，解得或，
即乙甲；则甲是乙的充分不必要条件.
故选：.
12、C
【解析】利用面面垂直性质结合已知寻找两两垂直的三条直线建立空间直角坐标系，用向量法可解.
【详解】取的中点O，连接OB，过O在平面ACDE面内作交DE于F
∵平面平面ABC，平面 ACDE平面ABC=AC，平面 ACDE，
∴平面ABC
∴
∵是边长为4的等边三角形，四边形ACDE是矩形，
∴
以O为原点，OA，OB，OF分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系

则，，，
设平面ABD的单位法向量
，，
由解得
取，则
∴点C到平面ABD的距离.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】圆转化为标准式方程，圆心到直线的距离为，圆的半径为，因此所求弦长为
考点：1．圆的方程；2．直线被圆截得的弦长的求法；
14、12
【解析】通过二次展开式就可以得到.
【详解】的展开式中含
含项的系数为
故答案为：12
15、
【解析】设圆柱的底面半径为，由题意知，，椭圆的长轴长，短轴长为，可以求出的值，即可得离心率.
【详解】设圆柱的底面半径为，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示

从而
因此在椭圆中长轴长，
短轴长，

，
故答案为：

16、
【解析】首先判定点在曲线上，然后利用导数的几何意义求得答案.
【详解】由题意可知点在曲线上，
而，故曲线在点处的切线斜率为 ，
所以切线方程：，即，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】(1)利用给定条件可得平面，再证即可证得平面推理作答.
(2)由(1)得EA，EB，EG两两垂直，建立空间直角坐标系，先求出向量在向量上的投影的长，然后由勾股定理可得答案.
【小问1详解】
因为，则，且，又，平面，
因此，平面，即有平面，平面，则，
而，则四边形为等腰梯形，又，则有，
于是有，则，即，，平面，
因此，平面，而平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
由(1)知，EA，EB，EG两两垂直，以点E为原点，射线EA，EB，EG分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
因，四边形是矩形，则，即，，，
由，则
则
则向量在向量上的投影的长为
又,所以点到直线的距离

18、（1）
（2）点为线段上靠近点的三等分点
【解析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出点的坐标，求出两个平面的法向量代入公式求解即可；
（2）假设存在，设，利用相等向量求出坐标，利用线面平行的向量法代入公式计算即可.
【小问1详解】
如下图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．所以，
设平面的法向量，所以，即，
令，则，，所以，
连接，因为，，，平面，
平面，平面，所以平面，
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图知，二面角为锐二面角，
所以二面角的大小为
【小问2详解】
假设在线段上存在点，使得平面，
设，，
，
因为平面，所以，即
所以，即解得
所以在线段上存在点，使得平面，
此时点为线段上靠近点的三等分点
19、（1）椭圆，
（2），证明见解析
【解析】（1）结合椭圆第一定义直接判断即可求出的轨迹为；
（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，写出韦达定理；由中点公式求出点，进而得出直线方程，联立椭圆方程求出，结合弦长公式可求，可转化为，结合韦达定理可化简，进而得证.
【小问1详解】
设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；
【小问2详解】
可以判断出，
下面进行证明：
设直线的方程为，，，
由方程组，得①，
方程①判别式为，由，即，解得且
由①得，，
所以点坐标为，直线方程为，
由方程组，得，，
所以
又

所以.
20、（1）证明见解析；
（2）当为偶数时，；
当为奇数时，.
【解析】（1）根据等比数列的定义进行证明即可；
（2）利用分组求和法，结合错位相减法进行求解即可.
【小问1详解】
由题知：
所以
又因为
所以
所以数列为以－1为首项，－1为公比的等比数列；
【小问2详解】
由（1）知：，
所以，，
记，
所以，当为偶数时，；
当为奇数时，；
记

两式相减得：，
所以，
所以，当偶数时，；
当为奇数时，.
21、（1），，双曲线的渐近线方程为和；
（2）.
【解析】（1）根据双曲线的离心率公式，结合虚轴长的定义进行求解即可；
（2）将直线方程与双曲线方程联立，利用方程解的个数进行求解即可.
【小问1详解】
因为双曲线的离心率为，
所以有，
而该双曲线的虚轴的长为4，所以，所以，
因此双曲线的浙近线方程为：或；
【小问2详解】
由（1）可知：，，
所以该双曲线的标准方程为：，与直线联立得：
，因为直线与双曲线相交于互异两点，
所以有：且，
所以的取值范围为：.
22、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.
(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，
所以数列的通项公式是：.
【小问2详解】
由(1)知，，，

，
所以数列的前n项和.