甘肃省靖远二中2025年数学高二第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

甘肃省靖远二中2025年数学高二第一学期期末学业质量监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为（）
A.1 B.2
C. D.
2．下列导数运算正确的是（）
A. B.
C. D.
3．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（ ）

A. B.
C. D.
4．对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是（ ）
A.若，则 B.，则
C.若，，则， D.若，则
5．若直线与直线垂直，则（ ）
A.6 B.4
C. D.
6．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．函数，的值域为（）
A. B.
C. D.
8．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. B.
C. D.
9．若，则（）
A.1 B.2
C.4 D.8
10．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）
A. B.
C. D.
11．已知向量，若，则（）
A. B.5
C.4 D.
12．若两条直线与互相垂直，则的值为（　　）
A.4 B.-4
C.1 D.-1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知直线l1：（1）x+y﹣2=0与l2：（1）x+ay﹣4=0平行，则a=_____.
14．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________
15．沈阳市某高中有高一学生600人，高二学生500人，高三学生550人，现对学生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查，若抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，则n的值等于________.
16．已知曲线，
①若，则是椭圆，其焦点在轴上；
②若，则是圆，其半径为；
③若，则是双曲线，其渐近线方程为；
④若，，则是两条直线.
以上四个命题，其中正确的序号为_________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点，，离心率，短轴长为2
1求椭圆的方程；
2如图，点A为椭圆上一动点非长轴端点，的延长线与椭圆交于B点，AO的延长线与椭圆交于C点，求面积的最大值

18．（12分）在平面直角坐标系中，点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线
（1）求曲线的方程；
（2）设直线与交于两点，为何值时？
19．（12分）已知椭圆C：的右顶点为A，上顶点为B．离心率为，
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于D，E两点，直线：与x轴相交于点H，过点D作，垂足为
①求四边形ODHE（O为坐标原点）面积的取值范围；
②证明：直线过定点G，并求点G的坐标
20．（12分）已知椭圆的长轴长是，以其短轴为直径的圆过椭圆的左右焦点，.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E左焦点作不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于M，N两点，线段MN的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值是，求面积的取值范围.
21．（12分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”.
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
22．（10分）已知各项为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】写出圆的圆心和半径，求出距离的最小值，
再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法即可求解.
【详解】由圆：，得圆，半径为，
所以
，
所以点到圆上点的最小距离为.
故选：C.
2、B
【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数，依次分析即得解
【详解】选项A，，错误；
选项B，，正确；
选项C，，错误；
选项D，，错误
故选：B
3、D
【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.
【详解】

.
故选：D
4、C
【解析】对于选项A，可以举反例判断；对于选项BCD可以利用作差法判断得解.
【详解】解：A.若，则不一定成立.如：.所以该选项错误；
B.，所以，所以该选项错误；
C.，所以该选项正确；
D.，所以该选项错误.
故选：C
5、A
【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.
【详解】由题意可知，即
故选：A.
6、B
【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.
【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.
由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.
故选：B
【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.
7、D
【解析】求出函数的导数，根据导数在函数最值上的应用，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
令，又，所以或；
所以当时，；当时，；
所以在单调递增，在上单调递减；
所以；
又，，所以；
所以函数的值域为.
故选：D.
8、B
【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
9、D
【解析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以.
故选：D.
10、D
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，，
抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：D.
11、B
【解析】根据向量垂直列方程，化简求得.
【详解】由于，所以.
故选：B
12、A
【解析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.
【详解】由两直线垂直，可知：，即.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】根据两直线平行的充要条件求解
【详解】因为已知两直线平行，所以，解得
故答案为：
【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线平行的充要条件是，或，在均不为0时，用表示容易理解与记忆
14、##0.4
【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.
【详解】设，则，从而，解得：，所以
故答案为：
15、33
【解析】根据分层抽样的性质进行求解即可.
【详解】因为抽取了一个容量为n的样本，其中高三学生有11人，
所以有，
故答案为：33
16、①③④
【解析】通过m，n的取值判断焦点坐标所在轴，判断①，求出圆的半径判断②；通过求解双曲线的渐近线方程，判断③；利用，，判断曲线是否是两条直线判断④
【详解】解：①若，则，
因为方程化为：，焦点坐标在y轴，所以①正确；
②若，则C是圆，其半径为：，不一定是，所以②不正确；
③若，则C是双曲线，其渐近线方程为，化简可得，所以③正确；
④若，，方程化为，则C是两条直线,所以④正确；
故答案为：①③④

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）椭圆的标准方程为 （2）面积的最大值为
【解析】（1） 由题意得，再由，标准方程为；（2）①当的斜率不存在时，不妨取
；②当的斜率存在时，设的方程为，联立方程组
，又直线的距离点到直线的距离为面积的最大值为.
试题解析：（1） 由题意得，解得，
∵，∴，，
故椭圆的标准方程为
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取
，
故；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，
联立方程组，
化简得，
设

点到直线的距离

因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，
∴

综上，面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识，涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想，并考查运算求解能力和逻辑推理能力，属于较难题型.第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为；（2）利用分类与整合思想分当的斜率不存在与存在两种情况求解，在斜率存在时，由舍而不求法求得，再求得点到直线的距离为面积的最大值为.

18、（1）；（2）.
【解析】（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，则，，，解出可得椭圆的标准方程
（2）设，，直线方程与椭圆联立，化为：，恒成立，由，可得，把根与系数的关系代入解得
【详解】解：（1）由题意可得：点的轨迹为椭圆，设标准方程为：，
则，，，可得椭圆的标准方程为：
（2）设，，联立，化为：，
恒成立，
，，
，，
，
解得．满足
当时，能使
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题
19、（1）；
（2）①；②详见解析；.
【解析】（1）由题得，即求；
（2）①由题可设，利用韦达定理法可得，进而可得四边形ODHE面积，再利用对勾函数的性质可求范围；②由题可得，令，通过计算可得，即得.
【小问1详解】
由题可得，
解得，
∴椭圆C的标准方程.
【小问2详解】
①由题可知，可设直线，，
由，可得，
∴，，
∴，
∴四边形ODHE面积，
令，则，
因为，所以，当时，取等号，
∴，
∴四边形ODHE面积取值范围为；
②由上可得，直线，
令，得，
由，可得，
∴，
∴直线过定点G.
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件结合列式计算即可作答.
(2)设出直线MN的方程，与椭圆方程联立并结合已知求出m的范围，
再借助韦达定理求出面积函数，利用函数单调性计算作答.
【小问1详解】
令椭圆半焦距为c，依题意，，解得，
所以椭圆E的方程为.
【小问2详解】
由(1)知，椭圆E左焦点为，设过椭圆E左焦点的直线为(存在且不为0)，
由消去x得，，设，
则，线段的中点为，
因此线段的垂直平分线为，由得的纵坐标为，
依题意，且，解得，由(1)知，，
，
令，在上单调递减，
当，即时，，当，即时，，
所以面积的取值范围.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据方程为焦点在轴上的椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
（2）求得为真命题时的取值范围，结合是的必要不充分条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】（1）若是真命题，所以，解得，
所以的取值范围是.
（2）由（1）得，是真命题时，的取值范围是，
为真命题时，，
所以的取值范围是
因为是的必要不充分条件，
所以，所以，等号不同时取得，
所以
【点睛】本小题主要考查椭圆、双曲线，考查必要不充分条件求参数.
22、（1）；（2）
【解析】（1）根据条件求出即可；
（2），然后利用等差数列的求和公式求出答案即可.
【详解】（1）且，，

（2）