辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学2026届数学高二上期末检测试题含解析.doc

辽宁省本溪市高级中学、盘锦市高级中学2026届数学高二上期末检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
3．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4．设为实数，则曲线：不可能是（ ）
A.抛物线 B.双曲线
C.圆 D.椭圆
5．若抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为
A. B.
C. D.
6．等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（）
A.若有最大值，则数列的公差小于0
B.若，则使的最大的n为18
C.若，，则中最大
D.若，，则数列中的最小项是第9项
7．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．若数列满足，则数列的通项公式为（）
A. B.
C. D.
10．已知命题：，；命题：，使，若“”为假命题，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
12．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若数列的前n项和，则其通项公式________
14．将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第行从左向右的第2个数为____________.
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为，为双曲线上一点，且，线段的垂直平分线恰好经过点，则双曲线的离心率为_______
16．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在空间直角坐标系中有长方体，且，，点E在棱AB上移动.

（1）证明：；
（2）当E为AB的中点时，求直线AC与平面所成角的正弦值.
18．（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，.
（1）求B的大小
（2）若，，求b.
19．（12分）如图长方体中，，，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
21．（12分）求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：
（1）已知椭圆的焦点在x轴上且一个顶点为，离心率为；
（2）求一个焦点为，渐近线方程为的双曲线的标准方程；
（3）抛物线，过其焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2.
22．（10分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由已知条件得基本事件总数为种，符合条件的事件数为3中，由古典概型公式直接计算即可.
【详解】从四类比赛中选两类参赛，共有种选择，其中“诵读中国”被选中的情况有3种，即
“诵读中国”和 “诗教中国” ，“诵读中国”和“笔墨中国”， “诵读中国”和“印记中国” ，由古典概型公式可得，
故选：.
2、C
【解析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
3、B
【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.
【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，
于是得，解得，
所以直线l的倾斜角为.
故选：B
4、A
【解析】根据圆的方程、椭圆的方程、双曲线的方程和抛物线的方程特征即可判断.
【详解】解：对A：因为曲线C的方程中都是二次项，所以根据抛物线标准方程的特征曲线C不可能是抛物线，故选项A正确；
对B：当时，曲线C为双曲线，故选项B错误；
对C：当时，曲线C为圆，故选项C错误；
对D：当且时，曲线C为椭圆，故选项D错误；
故选：A.
5、D
【解析】解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，故选D
6、B
【解析】由有最大值可判断A；由，可得，，利用可判断BC；，得，，
可判断D.
【详解】对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
7、B
【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.
【详解】由题意，，所以，，
所以双曲线的渐近线的斜率为.
故选：B.
【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
8、A
【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.
【详解】解：由椭圆方程得，即，
因为由椭圆的定义得，，
所以，
因为是的中点，是的中点，
所以.
故选：A
9、D
【解析】由，分两步，当求出，当时得到，两式作差即可求出数列的通项公式；
【详解】解：因为①，当时，，当时②，
①②得，所以，当时也成立，所以；
故选：D
10、D
【解析】根据题意，判断命题和的真假性，结合判别式与二次函数恒成立问题，即可求解.
【详解】根据题意，由为假命题可得“”为真命题，即p、q都为真命题，
故，解得
故选：D
11、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
12、A
【解析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建立等量关系，结合计算作答.
【详解】设双曲线半焦距为c，则，而轴，由得，从而有，
而是正三角形，即有，则，整理得，
因此有，而，解得，
所以C的离心率为.
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由和计算
【详解】由题意，
时，，
所以
故答案为：
14、
【解析】通过观察、分析、归纳，找出规律运算求解即可
【详解】前行共有正整数个，即个，
因此第行第个数是全体正整数中第个，即为
故答案为：
15、
【解析】在中求出，再在中求出，即可得到的齐次式，化简即可求出离心率
【详解】设双曲线：，，不妨设为双曲线右支上一点
因为线段的垂直平分线恰好经过点，且，所以，
在中，，所以，，
在中，，所以，，
因此，，化简得，，即，而，解得
故答案为：
16、 ①. ②.
【解析】求出P(,)关于直线x+2y4=0对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果.
【详解】设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n),
则解得
因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点,
联立得y=(42y),解得y=.
所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，.
【点睛】本题主要考查对称问题以及圆的几何性质，属于中档题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设，求出，，利用向量法能求出；
（2）求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
证明：设，，
，
，
；
【小问2详解】
当为的中点时，，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：

18、（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理，可得，进而可求出和角；
（2）利用余弦定理，可得，即可求出.
【详解】（1）由，得，
因为，所以，
又因为B为锐角，所以
（2）由余弦定理，可得，解得
【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
19、（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】（1）作辅助线，由中位线定理证明，再由线面平行的判定定理证明即可；
（2）连接，由勾股定理证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角的余弦值即可.
【详解】（1）连接交与点，连接
四边形为正方形，点为的中点
又点为的中点，
平面，平面
平面

（2）连接
由勾股定理可知，
，则

同理可证，
平面
平面

（3）建立如下图所示的空间直角坐标系

显然平面的法向量即为平面的法向量，不妨设为
由（2）可知平面，即平面的法向量为

又二面角是钝角
二面角的余弦值为

【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是利用中位线定理找到线线平行，再由定义证明线面平行；在第二问中，关键是利用勾股定理证明线线垂直，从而得出线面垂直；在第三问中，关键是建立坐标系，利用向量法求面面角的余弦值.
20、（1）；
（2）x＝1或y＝1.
【解析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
【小问1详解】
设线段中点为，点，
，，
，，

，
即点C的轨迹方程为.
【小问2详解】
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，进而结合求解即可得答案；
（2）设双曲线的方程为，进而结合题意得，，再结合解方程即可得答案；、
（3）根据题意设直线的方程为，进而与抛物线联立方程并消去得，再结合韦达定理得，进而得答案.
【小问1详解】
解：根据题意，设椭圆的标准方程为，
因为顶点为，离心率为，
所以，
所以，
所以椭圆的方程为
【小问2详解】
解：因为双曲线的一个焦点为，
设双曲线的方程为，
因为渐近线方程为，
所以，因为
所以，
所以双曲线的标准方程为
【小问3详解】
解：由题知抛物线的焦点为，
因为过抛物线焦点斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，
所以直线的方程为，
所以联立方程，消去得，
设，
所以，
因为线段AB的中点的纵坐标为2，
所以，解得.
所以抛物线的标准方程为.
22、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)利用抛物线点，n)到焦点的距离等于到x轴的距离求出，从而得到抛物线的标准方程
(2)联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解
【小问1详解】
由题意可得，故抛物线方程为；
【小问2详解】
设，，，，直线的方程为，
联立方程中，消去得，，
则，
又，
解得或(舍去)，直线方程为，直线过定点