安徽省安庆市达标名校2026届高二数学第一学期期末调研试题含解析.doc

安徽省安庆市达标名校2026届高二数学第一学期期末调研试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据：，，，，，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（）

其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式：，，）

A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
2．2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f（p），当p=p0时，f（p）最大，则p0=（）
A. B.
C. D.
3．刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）
A. B.
C. D.
4．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A. B.
C D.
5．若函数在上为单调减函数，则的取值范围（）
A. B.
C. D.
6．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）

A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分
B.该同学次测试成绩的众数是分
C.该同学次测试成绩的中位数是分
D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关
7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种
A.54 B.72
C.96 D.120
8．若双曲线一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
9．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值
A.至多等于3 B.至多等于4
C.等于5 D.大于5
10．已知向量，，则等于（）
A. B.
C. D.
11．在正方体中，AC与BD的交点为M.设则下列向量与相等的向量是 （ ）
A. B.
C. D.
12．若圆与圆外切，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，，则双曲线的离心率为___________.
14．点到直线的距离为_______.
15．已知命题“，”为假命题，则实数m的取值范围为______
16．抛物线焦点坐标是，则______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆，直线.
（1）若直线与椭圆相切，求实数的值；
（2）若直线与椭圆相交于A、两点，为线段的中点，为坐标原点，且，求实数的值.
18．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒，、在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设

（1）求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）当为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？
19．（12分）设椭圆的左、右焦点分别为，.点满足.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆相交于，两点，若直线与圆相交于，两点，且，求椭圆的方程.
20．（12分）如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点
求证：（1）共面；
（2）求证：

21．（12分）设椭圆：的左顶点为，右顶点为.已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆交于点，且点在第一象限，点关于轴对称点为点，直线与直线交于点，若直线斜率大于，求直线的斜率的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】根据几何体可分割为圆柱和曲边圆锥，利用圆柱和圆锥的体积公式对几何体的体积进行估计即可.
【详解】可将几何体看作一个以为半径，高为的圆柱，
再加上两个曲边圆锥，其中底面半径分别为，，高分别为,,
,
,
所以花瓶的容积，
故最接近的是丁同学的估算，
故选：D
2、A
【解析】解设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，则，再利用基本不等式法求解.
【详解】解：设事件A为：检测了5人确定为“感染高危户”，
设事件B为：检测了6人确定为“感染高危户”，
则，，
所以，
令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，
故选：A
3、B
【解析】此点取自该圆内接正六边形的概率是正六边形面积除以圆的面积，分别求出即可.
【详解】如图，在单位圆中作其内接正六边形，

该正六边形是六个边长等于半径的正三角形，
其面积，圆的面积为
则所求概率.
故选：B
【点睛】此题考查几何概率模型求解，关键在于准确求出正六边形的面积和圆的面积.
4、B
【解析】构造函数，可知函数为奇函数，利用导数分析出函数在上的单调性，并得出，然后分别在和解不等式，由此可得出不等式的解集.
【详解】构造函数，该函数的定义域为，
由于函数为上的奇函数，则，
所以，函数为上的奇函数，且，，.
当时，，
此时，函数单调递增，由，可得，解得；
当时，则函数单调递增，由，可得，解得.
综上所述，使得成立的的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5、A
【解析】分析可知对任意的恒成立，利用参变量分离法结合二次函数的基本性质可求得实数的取值范围.
【详解】因为，则，
由题意可知，对任意的恒成立，则，
当时，在上单调递减，在上单调递减，
所以，，故.
故选：A.
6、C
【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；
对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；
对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；
对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.
故选：C
7、A
【解析】根据题意，分2种情况讨论：
①、甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，
②、甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案
【详解】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，
分2种情况讨论：
①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有种情况，
剩下的三人安排在其他三个名次，有种情况，
此时有种名次排列情况；
则一共有种不同的名次情况，
故选：A
8、A
【解析】根据（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），求解出的关系式，结合求解出离心率的值.
【详解】取的一条渐近线，
因为（为弦长，为圆半径，为圆心到直线的距离），
其中，
所以，所以，所以，
所以，所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用几何法表示出圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系.
9、B
【解析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断
解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；
4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；
n大于4，也不成立；
空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；
若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，
第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，
由三角形的两边之和大于三边，故不成立；
同理n＞5，不成立
故选B
点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题
10、C
【解析】根据题意，结合空间向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由，，得，因此.
故选：C.
11、C
【解析】根据空间向量的运算法则，推出的向量表示，可得答案.
【详解】，
故选：C.
12、C
【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，圆与圆
可得，，
因为两圆相外切，可得，解得
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】可得四边形为矩形，运用三角函数的定义可得，，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式求解即可.
【详解】、为双曲线的左、右焦点，
可得四边形为矩形，
在中，，∴，
在中，，可得，，

∴，
∴，
∵，∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：得出四边形为矩形，利用双曲线的定义解决焦点三角形问题.
14、
【解析】应用点线距离公式求点线距离.
【详解】由题设，点到距离为.
故答案为：
15、
【解析】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到，为真命题，则，从而求出参数的取值范围；
【详解】解：因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，所以，解得；
故答案：
16、2
【解析】根据抛物线的几何性质直接求解可得.
【详解】的焦点坐标为
，即.
故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）m值为或.
【解析】（1）利用判别式直接求解；
（2）用“设而不求法”表示出，即可求出m.
【小问1详解】
联立,消去y可得.
因为直线与椭圆相切，所以，
解得：.
【小问2详解】
设.
联立,消去y可得.
所以, ，所以.
又由,可得.
所以.
因为,所以，解得，
所以实数m的值为或.
18、（1），定义域为；
（2）当时，包装盒的容积最大是.
【解析】（1）设出包装盒的高和底面边长，利用长方体的表面积得到等量关系，再利用长方体的体积公式求出表达式，再利用实际意义得到函数的定义域；
（2）求导，利用导函数的符号变化得到函数的极值，即最值.
小问1详解】
解：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，
所以=
其定义域为；
【小问2详解】
解：由（1）得：，，
因为，
所以当时，；
当时，；
所以当时，取得极大值，
即当时，包装盒的容积最大是
19、（1）；（2）
【解析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要两个根的的要舍去;
（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，代入，可解得c，从而得到椭圆的方程.
【详解】（1）设，，
因为，所以，
整理得，得（舍），或，
所以；
（2）由（1）知，，可得椭圆方程为，
直线的方程为，
A，B两点的坐标满足方程组为，
消去y并整理，得，解得：，，
得方程组的解和,
不妨设：，，
所以，于是，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
整理得：，得（舍），或，
所以椭圆方程为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.
20、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】（1）以为原点,为轴,为轴，为轴,建立空间直角坐标系，设,,，求出，，，， 0 ，，，，，从而，由此能证明共面
（2） 求出， 0 ，，，，，由，能证明
【详解】证明：如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
设，，，
则0，，0，，2b，，
2b，，0，，
为AB的中点，F为PC的中点，
0，，b，，
b，，，2b，，

共面.

（2），

【点睛】本题考查三个向量共面的证明,考查两直线垂直的证明,是基础题
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据直线被圆截得的弦长为，由解得，再由离心率结合求解。
（2）设，则，得到直线：；直线：，联立求得，再根据线斜率大于，求得，然后由求解.
【详解】（1）以线段为直径的圆的圆心为：，半径，
圆心到直线的距离，
直线被圆截得的弦长为，
解得：，又椭圆离心率，
∴，，
椭圆的标准方程为：.
（2）设，其中，，则，
∴，，
则直线为：；直线为：，
由得：，
∴，
∴，
∴，
令，，则，
∴，
∵∴，
∴，
即.
【点睛】本题主要考查椭圆方程和几何性质以及直线与圆，椭圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
22、（1）当时，上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）
【解析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；
（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
易知函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
当时，成立，所以符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
要使恒成立，则，
解得.
综上所述，实数的取值范围是.