2025年云南省昆明黄冈实验学校数学高二第一学期期末达标测试试题含解析.doc

2025年云南省昆明黄冈实验学校数学高二第一学期期末达标测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）
A. B.
C. D.
2．若球的半径为，一个截面圆的面积是，则球心到截面圆心的距离是（）
A. B.
C. D.
3．已知直线方程为，则其倾斜角为（）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
4．早在古希腊时期，亚历山大的科学家赫伦就发现:光从一点直接传播到另一点选择最短路径，即这两点间的线段.若光从一点不是直接传播到另一点，而是经由一面镜子(即便镜面是曲面)反射到另一点，仍然选择最短路径.已知曲线，且将假设为能起完全反射作用的曲面镜，若光从点射出，经由上一点反射到点，则（　　）
A. B.
C. D.
5．在等差数列中，为其前项和，若．则（ ）
A. B.
C. D.
6．命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
7．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（）

A. B.
C.轴，且 D.四边形的一个内角为
8．当圆的圆心到直线的距离最大时，（）
A B.
C. D.
9．（ ）
A.-2 B.0
C.2 D.3
10．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（）

A. B.
C. D.
11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角终边上有一点，为锐角，且，则（）
A. B.
C. D.
12．已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角是（）
A.30° B.60°
C.120° D.150°
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________
14．已知数列的前项和为，，则___________，___________.
15．直线的倾斜角为______
16．一条直线过点，且与抛物线交于，两点．若，则弦中点到直线的距离等于__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知直三棱柱中，， ，E、F分别是、的中点，D为棱上的点.

（1）证明：；
（2）当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值.
18．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.点E在PC上.

（1）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
19．（12分）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直
（1）求直线的一般式方程；
（2）若圆的圆心为点，直线被该圆所截得的弦长为，求圆的标准方程
20．（12分）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线在第一象限的交点为，且
（1）求抛物线的方程；
（2）经过焦点作互相垂直的两条直线，，与抛物线相交于，两点，与抛物线相交于，两点．若，分别是线段，的中点，求的最小值
21．（12分）在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值
22．（10分）进入11月份，大学强基计划开始报名，某“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图2所示的成绩频率分布直方图：

（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值和中位数；(每组数据用该组的区间中点值表示)
（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加强基计划考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这3人中含文科生的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为，可得圆的半径为，写出圆的标准方程，利用点在圆上，求得实数的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.
【详解】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为，则圆的半径为，
圆的标准方程为.
由题意可得，
可得，解得或，
所以圆心的坐标为或，
圆心到直线的距离均为；
圆心到直线的距离均为
圆心到直线的距离均为；
所以，圆心到直线的距离为.
故选：B.
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
2、C
【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离
【详解】由截面圆的面积为可知，截面圆的半径为，则球心到截面圆心的距离为
故选：C
【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面
3、D
【解析】由直线方程可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.
【详解】由题设，直线斜率，若直线的倾斜角为，则，
∵，
∴.
故选：D
4、B
【解析】记椭圆的右焦点为，根据椭圆定义，得到，由题中条件，确定本题的本质即是求的最小值，结合题中数据，即可求出结果.
【详解】记椭圆的右焦点为，
根据椭圆的定义可得，，
所以，
因为，当且仅当三点共线时，，即；
由题意可得，求的值，即是求最短路径，即求的最小值，
所以的最小值为，
因此.

故选：B.
【点睛】思路点睛：
求解椭圆上动点到一焦点和一定点距离和的最小值或差的最大值时，一般需要利用椭圆的定义，将问题转化为动点与另一焦点以及该定点距离和的最值问题来求解即可.
5、C
【解析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值.
【详解】由等差数列的性质和求和公式可得.
故选：C.
6、C
【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，
故命题的否定是“”.
本题选择C选项.
7、B
【解析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D.
【详解】∵椭圆
∴
对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；
对于B，，∴
∴，∴
∴，解得或（舍去），故B符合条件；
对于C，轴，且，∴
∵
∴，解得
∵，∴
∴，不满足题意，故C不符合条件；
对于D，四边形的一个内角为,即
即三角形是等边三角形，∴
∴，解得∴，故D不符合条件
故选：B
【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，充分利用建立的等式是解题关键.
8、C
【解析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
9、C
【解析】根据定积分公式直接计算即可求得结果
【详解】由
故选：C
10、A
【解析】以C为坐标原点，分别以，，方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.

11、C
【解析】根据角终边上有一点，得到，再根据为锐角，且，求得，再利用两角差的正切函数求解.
【详解】因为角终边上有一点，
所以，
又因为为锐角，且，
所以，
所以，
故选：C
12、C
【解析】设直线l的倾斜角为，
由题意可得直线l的斜率，即，
∵，∴直线l的倾斜角为，
故选：.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
14、 ①. ②.
【解析】第一空：由，代入已知条件，即可解得结果；
第二空：由与关系可推导出之间的关系，再由递推公式即可求出通项公式.
【详解】，可得
由，可知时，
故时
即可化为
又故数列是首项为公比为2的等比数列，

故数列的通项公式
故答案为：①；②
15、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是
16、
【解析】求出弦的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦的中点到直线的距离
【详解】解：如图，抛物线的焦点为，，
弦的中点到准线的距离为，
则弦的中点到直线的距离等于
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由题意建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面DEF的法向量，利用空间向量求解
【小问1详解】
证明：因为三棱柱是直三棱柱，且，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则
，，
设，则，
所以，所以，
所以
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
设直线BF与平面DEF所成角为，则
，
所以直线BF与平面DEF所成角的正弦值为

18、（1）证明见解析；
（2）
【解析】（1）根据题意可判断出ABCD是正方形，从而可得，再根据，由线面垂直的判定定理可得平面PAC，然后由面面垂直的判定定理即可证出；
（2）由、、两两垂直可建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥底面ABCD，PA=2AD=4，PC=，所以，，即ABCD是正方形，所以，而PA⊥底面ABCD，所以，又，所以平面PAC，而平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC
【小问2详解】
由题可知、、两两垂直，建系如图，

，0，，，2，，，0，，，2，，，1，，
，，，，1，，，2，，
设平面的一个法向量为，则，，
即，取，0，，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线的方程；
（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程
【小问1详解】
解：由题意知，解得，
直线和的交点为；
设直线的斜率为，与直线垂直，；
直线的方程为，化为一般形式为；
【小问2详解】
解：设圆的半径为，则圆心为到直线的距离为
，由垂径定理得，
解得，
圆的标准方程为
20、（1）；
（2）8.
【解析】(1)写出抛物线E的准线，利用抛物线定义求出p即可作答.
(2)由(1)求出焦点坐标，设出直线的方程，并与抛物线E的方程联立，由此求出C点坐标，同理可得D点坐标，列式计算作答.
小问1详解】
抛物线：的准线方程为：，
由抛物线定义得：，解得，
所以抛物线的方程为：.
【小问2详解】
由(1)知，点，显然直线，的斜率都存在且不为0，设直线斜率为，则的斜率为，
直线的方程为：，由消去y并整理得，
设，则，于得线段PQ中点，同理得，
则，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是8.
【点睛】结论点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离
21、（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程.
（2）
【解析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用中点坐标公式和一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果
【小问1详解】
解：过点的直线的参数方程为为参数），转换为普通方程为，即直线的普通方程为；
曲线的极坐标方程为，即，即，根据，转换为直角坐标方程为，即曲线的直角坐标方程
【小问2详解】
解：把代入，整理得，
所以，设，，；
故，代入，解得，
故中点坐标为；
把直线的参数方程为为参数）代入，设和对应的参数为和，
得到，
整理得，
所以
22、（1）平均值为74.6分，中位数为75分；
（2）.
【解析】(1)利用频率分布直方图平均数和中位数算法直接计算即可；
(2)将学生编号，用枚举法求解即可.
【小问1详解】
依题意可知：
∴综合素质成绩的平均值为74.6分.
由图易知∵分数在50~60、60~70、70~80的频率分别为0.12、0.18、0.40，
∴中位数在70~80之间，
设为，则，解得，
∴综合素质成绩的中位数为75分.
【小问2详解】
设这6名同学分别为，，，，1，2，其中设1，2为文科生，
从6人中选出3人，所有的可能的结果为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，
其中含有文科学生的有，，，，，，，，，，，，，，，，共16种，
∴含文科生的概率为.