2025年陕西省白水中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析.doc

2025年陕西省白水中学高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（）
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
2．下列命题正确的是（）
A.经过三点确定一个平面
B.经过一条直线和一个点确定一个平面
C.四边形确定一个平面
D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3．如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为M，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）

A. B.
C. D.
4．焦点坐标为（1，0）抛物线的标准方程是（　　）
A.y2=-4x B.y2=4x
C.x2=-4y D.x2=4y
5．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）
A B.
C. D.
6．设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（）
A. B.
C. D.
7．设等比数列的前项和为，且，则（）
A. B.
C. D.
8．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）

A. B.
C. D.
9．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10．曲线在点处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
11．如图给出的是一道典型的数学无字证明问题：各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（ ）

A.由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为
B.前七个矩形块中所填写的数字之和等于
C.矩形块中所填数字构成的是以1为首项，为公比的等比数列
D.按照这个规律继续下去，第n-1个矩形块中所填数字是
12．已知数列的前项和为，当时，（　　）
A.11 B.20
C.33 D.35
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数
（1）若时函数有三个互不相同的零点，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围
14．在等差数列中，，公差，则_________
15．直线过点，且原点到直线l的距离为，则直线方程是______
16．已知球面上的三点A，B，C满足，，，球心到平面ABC的距离为，则球的表面积为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知二次函数，令，解得.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于的不等式恒成立时，求实数的范围.
18．（12分）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程
19．（12分）如图，四边形为矩形，，，为的中点，与交于点，平面.

（1）若，求与所成角的余弦值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20．（12分）已知抛物线与直线相切.
（1）求该抛物线的方程；
（2）在轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线与抛物线C交于A,B两点，使得为定值.如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面ABCD，

（1）求证：平面ACM；
（2）求平面MBC与平面DBC的夹角的大小
22．（10分）如图1，在中，，，，分别是，边上的中点，将沿折起到的位置，使，如图2

（1）求点到平面的距离；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求出长；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】由韦达定理可得方程的两根之积为，从而可知直线、的斜率之积为，进而可判断两直线的位置关系
【详解】设方程的两根为、，则
直线、的斜率，故与相交但不垂直
故选：C
2、D
【解析】由平面的基本性质结合公理即可判断.
【详解】对于A，过不在一条直线上三点才能确定一个平面，故A不正确；
对于B，经过一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B不正确；
对于C，空间四边形不能确定一个平面，故C不正确；
对于D，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故D正确.
故选：D
3、B
【解析】根据向量加法和减法法则即可用、、表示出.
【详解】

故选：B.
4、B
【解析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p＞0），结合焦点坐标求得p，则答案可求
【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），
由焦点坐标为（1，0），得，即p=2
∴抛物的标准方程是y2=4x
故选B
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
5、B
【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.
6、D
【解析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果.
【详解】双曲线的实轴长为8，即，，
渐近线方程为，进而得到双曲线方程为.
故选：D.
7、C
【解析】根据给定条件求出等比数列公比q的关系，再利用前n项和公式计算得解.
【详解】设等比数列的的公比为q，由得：，解得，
所以.
故选：C
8、A
【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.
【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，
由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，
故选：A
9、B
【解析】当直线斜率存在时，设直线方程，联立方程组，结合根与系数关系可得，进而求得取值范围，当斜率不存在是，可得，两点坐标，进而可得的值.
【详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
联立方程，得，恒成立，
则，，
，，
，
所以，
当直线斜率不存在时，直线方程为，
所以，，
，
综上所述：，
故选：B.
10、A
【解析】利用切点和斜率求得切线方程.
【详解】由，有
曲线在点处的切线方程为，整理为
故选：A
11、B
【解析】根据题意可得矩形块中的数字从大到小形成等比数列，根据等比数列的通项公式可求.
【详解】设每个矩形块中的数字从大到小形成数列，则可得是首项为，公比为的等比数列，，
所以由大到小的第八个矩形块中应填写的数字为，故A错误；
前七个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；
矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列，故C错误；
按照这个规律继续下去，第个矩形块中所填数字是，故D错误.
故选：B.
12、B
【解析】由数列的性质可得，计算可得到答案.
【详解】由题意，.
故答案为B.
【点睛】本题考查了数列的前n项和的性质，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1）
（2）
【解析】（1）将函数有三个互不相同的零点转化为有三个互不相等的实数根，令，求导确定单调性求出极值即可求解；
（2）求导确定单调性，结合以及得，由得，结合二次函数单调性求出最小值即可求解.
【小问1详解】
当时，．函数有三个互不相同的零点，即有三个互不相等的实数根
令，则，令得或，
在和上均减函数，在上为增函数，极小值为，极大值为，
的取值范围是；
【小问2详解】
，且，当或时，；当时，
函数的单调递增区间为和，单调递减区间为当时，，
又，，又，
又在上恒成立，即，即当时，恒成立
在上单减，故最小值为，的取值范围是

14、15
【解析】由等差数列通项公式直接可得.
【详解】.
故答案为：15
15、
【解析】直线斜率不存在不满足题意，即设直线的点斜式方程，再利用点到直线的距离公式，求出的值，即可求出直线方程.
【详解】①当直线斜率不存在时，显然不满足题意.
②当直线斜率存在时，设直线为.原点到直线l的距离为，即直线方程为.
故答案为：.
16、
【解析】由题意可知为直角三角形，求出外接圆的半径，可求出球的半径，然后求球的表面积.
【详解】由题意，，，，则，可知，
所以外接圆的半径为，
因为球心到平面的距离为，
所以球的半径为：，
所以球的表面积为：.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）利用一元二次不等式的解集是，得到-3，2是方程的两个根，根据根与系数之间的关系，即可求，；
（2）根据题意，得出不等式恒成立，则，解不等式即可求出实数的范围.
详解】解：（1）由题可知，，解得：，
则-3，2是方程的两个根，且，
所以由根与系数之间的关系得，解得，
所以二次函数的解析式为：；
（2）由于不等式恒成立，即恒成立，
则，解得：，
所以实数的范围为.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求函数解析式，以及不等式恒成立问题求参数范围，考查根与系数的关系和一元二次函数的图象和性质，考查化简运算能力
18、（1）1；（2）y＝x＋7
【解析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；
（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.
【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1
（2）由y＝，得y′＝
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2
从而|AB|＝|x1－x2|＝
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，
解得m＝7
所以直线AB的方程为y＝x＋7
19、（1）
（2）
【解析】（1）以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与所成角的余弦值；
（2）计算出平面的法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【小问1详解】
解：如图，以为原点，、所在的直线为、轴，以过点垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，，

，则，则，故，
因为平面，平面，则，
若，则，
故、、、，
则，，.
因此，若，则与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
解：若，则、，
，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20、 (1) ；(2) .
【解析】（1）直线与抛物线相切，所以有，可解得，得抛物线方程.
(2)联立直线与抛物线有，把目标式坐标化可得与无关，可得.
试题解析：(1) 联立方程有，，有，由于直线与抛物线相切，得，所以.
(2) 假设存在满足条件的点，直线，有，，设，有，，，，当时，为定值，所以.
21、（1）证明见解析
（2）30°
【解析】（1）连接BD，借助三角形中位线可证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法直接可求.
【小问1详解】
连接BD，与AC交于点O，
在中，因为O，M分别为BD，PD的中点，则，
又平面ACM，平面ACM，所以平面ACM.
【小问2详解】
设E是AB的中点，连接PE，因为为正三角形，则，
又因为平面底面ABCD，平面平面，
则平面ABCD，过点E作EF平行于CB，与CD交于点F，
以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，

所以，，
设平面CBM的法向量为，则，
令，则，因为平面ABCD，则平面ABCD的一个法向量为，
所以，
所以平面MBC与平面DBC所成角大小为30°
22、（1）
（2）存在，
【解析】（1）根据题意分别由已知条件计算出的面积和的面积，利用求解，
（2）如图建立空间直角坐标系，设，然后求出平面与平面的法向量，利用向量平夹角公式列方程可求得结果
小问1详解】
在中，，因为，分别是，边上的中点，
所以∥，，
所以，
所以，
因为，所以平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为，所以，
因为，所以是等边三角形，
取的中点，连接，则，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
中，，
所以边上的高为，
所以，
在梯形中，，
设点到平面的距离为，
因，所以，
所以，得，
所以点到平面的距离为
【小问2详解】
由（1）可知平面，，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
,
设，则
，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设平面的法向量为，则
，令，则，
则平面与平面夹角的余弦值为
，
两边平方得，，
解得或（舍去），
所以，所以