贵州省凯里一中2025年高二上数学期末联考试题含解析.doc

贵州省凯里一中2025年高二上数学期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前n项和为，且，，若（，且），则i的取值集合是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知曲线，则“”是“C为双曲线”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）
A. B.
C. D.
4．已知空间四边形，其对角线、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量，表示向量 是　　
A. B.
C. D.
5．青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）

A. B.
C. D.
6．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
7．若某群体中成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）
A. B.
C. D.
8．已知命题：，命题：，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9．下列说法或运算正确的是（ ）
A.
B.用反证法证明“一个三角形至少有两个锐角”时需设“一个三角形没有锐角”
C.“，”的否定形式为“，”
D.直线不可能与圆相切
10．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为（）
A.20 B.25
C.40 D.50
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为
A.2 B.1
C. D.4
12．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知等差数列的公差，等比数列的公比q为正整数，若，，且是正整数，则______
14．如图，在等腰直角△ABC中，，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则___________.

15．某天上午只排语文、数学、体育三节课，则体育不排在第一节课的概率为_________
16．设，，若将函数的图像向左平移个单位能使其图像与原图像重合，则正实数的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）浙江省新高考采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，另外考生根据自己实际需要在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术 7 门科目中自选 3 门参加考试．下面是某校高一 200 名学生在一次检测中的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距 20 分成 7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如下图所示

（1）求频率分布直方图中的值；
（2）由频率分布直方图，求物理、化学、生物三科总分成绩的第 60 百分位数；
（3）若小明决定从“物理、化学、生物、政治、技术”五门学科中选择三门作为自己的选考科目， 求小明选中“技术”的概率
18．（12分）已知圆，点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知曲线上一点，动圆，且点在圆外，过点作圆的两条切线分别交曲线于点，.
（i）求证：直线的斜率为定值；
（ii）若直线与交于点，且时，求直线的方程.
19．（12分）命题存在，使得；命题对任意的，都有
（1）若命题p为真时，求实数a的取值范围；若命题q为假时，求实数a的取值范围；
（2）如果命题为真命题，命题为假命题，求实数a的取值范围
20．（12分）已知等比数列的公比，且，是的等差中项.数列的前n项和为，满足，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求的前2n项和.
21．（12分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.
22．（10分）为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行了党史知识竞赛，在必答题环节，甲、乙两位选手分别从3道选择题
（1）甲至少抽到1道填空题
（2）甲答对的题数比乙多的概率.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.
【详解】设公差为d，由题知，
，
解得，，
所以数列为，
故.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.
2、A
【解析】根据充分必要条件的定义，以及双曲线的标准方程进行判断可得选项
【详解】解：当时，表示双曲线，
当表示双曲线时，则，
所以“”是“C为双曲线”的充分不必要条件.
故选A
3、B
【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率
【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，
基本事件总数，
点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：
，，，，，，，，共8个，
则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为
故选：B
4、C
【解析】根据所给的图形和一组基底，从起点出发，把不是基底中的向量，用是基底的向量来表示，就可以得到结论
【详解】解：

故选：

【点睛】本题考查向量的基本定理及其意义，解题时注意方法，即从要表示的向量的起点出发，沿着空间图形的棱走到终点，若出现不是基底中的向量的情况，再重复这个过程，属于基础题
5、C
【解析】由题意作出轴截面，最短直径为2a，根据已知条件点（2a，2a）在双曲线上，代入双曲线的标准方程，结合a，b，c的关系可求得离心率e的值
【详解】由题意作出轴截面如图：M点是双曲线与截面正方形的交点之一，
设双曲线的方程为：
最短瓶口直径为A1A2＝2a，则由已知可得M是双曲线上的点，且M（2a，2a）
故，整理得4a2＝3b2＝3（c2﹣a2），
化简后得，解得
故选：C

6、B
【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B

7、A
【解析】利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由对立事件概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.
故选：A.
8、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】因为命题：或 ，命题：，
所以是的必要不充分条件，
故选：B
9、D
【解析】对于A：可以解决；
对于B:“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”；
对于C：全称否定必须是全部否定；
对于D：需要观察出所给直线是过定点的.
【详解】A：，故错误；
B：“一个三角形至少由两个锐角”的反面是“只有一个锐角或没有锐角”，所以用反证法时应假设只有一个锐角和没有锐角两种情况，故错误；
C：的否定形式是，故错误；
D：直线是过定点（-1，0），而圆，圆心为（2，0），半径为4，定点（-1，0）到圆心的距离为2-（-1）=3＜4，故定点在圆内，故正确；
故选：D.
10、A
【解析】根据系统抽样定义可求得结果
【详解】分段的间隔为
故选：A
11、D
【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果
【详解】因为直线交抛物线于不同的两点，
所以直线的斜率存在，
设过抛物线的焦点的直线方程为，
由可得，，
因为抛物线的准线方程为，
所以根据抛物线的定义可知，，
所以，综上所述，故选D
【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题
12、D
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由已知等差、等比数列以及，，是正整数，可得，结合q为正整数，进而求.
【详解】由，，令，
其中m为正整数，有，又为正整数，所以
当时，解得，当时，解得不是正整数，
故答案为：
14、
【解析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点的坐标，求得△的内心坐标，根据△内心以及关于的对称点三点共线，即可求得点的坐标，则问题得解.
【详解】根据题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设点关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，如下所示：

则，不妨设，则直线的方程为，
设点坐标为，则，且，整理得，
解得，即点，又；
设△的内切圆圆心为，则由等面积法可得，解得；
故其内心坐标为，
由及△的内心三点共线，即，整理得，
解得（舍）或，故.
故答案为：.
15、
【解析】写出语文、数学、体育的所有可能排列，找出其中体育不排在第一节课的情况，利用概率公式计算即可.
【详解】所有可能结果如下：（语文，数学，体育）；（语文，体育，数学）；（数学，语文，体育）：（数学，体育，语文）；（体育，语文，数学）；（体育，数学，语文）,
其中体育不排在第一节课的情况有四种，
则体育不排在第一节课的概率
16、
【解析】根据正弦型函数图像平移法则和正弦函数性质进行解题.
【详解】解：由题意得：
函数的图像向左平移个单位后得：

该函数与原函数图像重合故
可知，即
故当时，最小正实数.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）= 0.005
（2）232 （3）
【解析】（1）由频率和为1列方程求解即可，
（2）由于前3组的频率和小于0.6，前4组的频率和大于0.6，所以三科总分成绩的第 60 百分位数在第4组内，设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，从而可求得结果，
（3）利用列举法求解即可
【小问1详解】
由(0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + 0.0075 + + 0.0025) × 20 = 1，
解得 = 0.005
【小问2详解】
因为(0.002 + 0.0095 + 0.011) × 20 = 0.45 < 0.6，(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125) × 20 = 0.7 > 0.6，
所以三科总分成绩的第 60 百分位数在[220，240)内，
设第 60 百分位数为，则0.45 + 0.0125 × ( − 220) = 0.6，
解得 = 232，即第 60 百分位数为232
【小问3详解】
将物理、化学、生物、政治、技术 5 门学科分别记作 ．则

事件 A 表示小明选中“技术”，则 ，
所以 P(A)=
18、（1）
（2）（i）答案见解析
（ii）或
【解析】（1）通过几何关系可知，且,由此可知点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，通过双曲线的定义即可求解；
（2）（i）设点，，直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理及求出，即得到直线的斜率为定值；
（ii）由（i）可知，由已知可得，联立方程即可求出，的值，代入即可求出的值，即可得到直线方程.
【小问1详解】
由题意可知,
∵,且,
∴根据双曲线的定义可知，点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，
即，，，
则点的轨迹方程为；
【小问2详解】
（i）设点，，直线的方程为，
联立得，
其中，且，
，，
∵曲线上一点，∴，
由已知条件得直线和直线关于对称，则，
即，整理得，

，
，
，即，
则或，
当，直线方程为，此直线过定点，应舍去，
故直线的斜率为定值.
（ii）由（i）可知，
由已知得，即，
当时，，
，即，，
，解得或，
但是当时，，故应舍去，当时，直线方程为，
当时，，即，，
，解得（舍去）或，
当时，直线方程为,
故直线的方程为或.
19、（1）p为真时或，q为假时；
（2）{或}.
【解析】（1）p为真应用判别式求参数范围；q为真，根据恒成立求参数范围，再判断q为假对应的参数范围.
（2）由题设易得p、q一真一假，讨论p、q的真假，结合（1）的结果求a的取值范围
【小问1详解】
若p真，则有实数根，
∴，解得或
若q为真，则，即
故q为假时，实数a的取值范围为
【小问2详解】
∵命题真命题，命题为假命题，
∴p，q一真一假，
当p真q假时，，可得
当p假q真时，，可得
综上，实数a取值范围为或.
20、（1），（）
（2）
【解析】（1）等差数列和等比数列的基本量的计算，根据条件列出方程，并解方程即可；
（2）数列根据的奇偶分段表示，奇数项通过乘公比错位相减法克求得前项和，偶数项则是通过裂项求和.
【小问1详解】
由得，.
又，，所以，即，
解得或（舍去）.所以（），当时，，
当时，，
经检验，时，适合上式，
故（）.
综上可得：，
【小问2详解】
由（1）可知，
当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
由题意，有 ①
②
① - ② 得：
，
则有：.
.
故.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.
【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；
(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.
【点睛】圆的方程求解方法：
（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；
（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.
22、（1）；（2）.
【解析】（1）把3道选择题
（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件，，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，分别求出它们的概率，甲答对的题数比乙多这个事件是，
然后由相互独立的事件和互斥事件的概率公式计算
【详解】解：（1）记3道选择题
则试验的样本空间，.
共有10个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
记事件A=“甲至少抽到1道填空题
，.
所以，，.
所以，.
因此，甲至少抽到1道填空题
（2）设，分别表示甲答对1道题，2道题的事件
，分别表示乙答对0道题，1道题的事件，根据独立性假定，得
，.
，.
记事件B=“甲答对的题数比乙多”，则，且，，两两互斥，与，与，与分别相互独立，所以

.
.
因此，甲答对的题数比乙多的概率为.