2026届河北省河北师范大学附属中学数学高二上期末统考试题含解析.doc

2026届河北省河北师范大学附属中学数学高二上期末统考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆与圆公切线的条数为（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．直线与圆的位置关系是（）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3．抛物线的焦点为F，A，B是拋物线上两点，若，若AB的中点到准线的距离为3，则AF的中点到准线的距离为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
4．已知函数 f(x) 的图象如图所示，则导函数 f ¢(x)的图象可能是（ ）

A. B.
C. D.
5．若抛物线x＝﹣my2的焦点到准线的距离为2，则m＝（）
A.﹣4 B.
C. D.±
6．抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前n项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数t的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．在区间内随机取一个数，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是
A. B.
C. D.
9．在中，已知角A，B，C所对的边为a，b，c，，，，则（）
A. B.
C. D.1
10．若命题“或”与命题“非”都是真命题，则
A.命题与命题都是真命题
B.命题与命题都是假命题
C.命题是真命题，命题是假命题
D.命题是假命题，命题是真命题
11．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
12．设，是椭圆C：的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率e的取值范围为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是___________.
① 若，则；
② 若，则；
③ 若，则；
④ 若，则；
14．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于A，B两点（点B在第一象限），与准线交于点P.若，，则____________.
15．已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________
16．设是数列的前项和，且，则_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点，求的面积.
18．（12分）如图，AC是圆O的直径，B是圆O上异于A，C的一点，平面ABC，点E在棱PB上，且，，.

（1）求证：；
（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.
19．（12分）在水平桌面上放一只内壁光滑的玻璃水杯，已知水杯内壁为抛物面型（抛物面指抛物线绕其对称轴旋转所得到的面），抛物面的轴截面是如图所示的抛物线.现有一些长短不一、质地均匀的细直金属棒，其长度均不小于抛物线通径的长度（通径是过抛物线焦点，且与抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦），若将这些细直金属棒，随意丢入该水杯中，实验发现：当细棒重心最低时，达到静止状态，此时细棒交汇于一点.

（1）请结合你学过的数学知识，猜想细棒交汇点的位置；
（2）以玻璃水杯内壁轴截面的抛物线顶点为原点，建立如图所示直角坐标系.设玻璃水杯内壁轴截面的抛物线方程为，将细直金属棒视为抛物线的弦，且弦长度为，以细直金属棒的中点为其重心，请从数学角度解释上述实验现象.
20．（12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），

其中样本数据分组区间
（1）求频率分布直方图中a的值：
（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）
21．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.
（1）数列的通项公式；
（2）设数列，求数列的前项和.
22．（10分）已知函数在处的切线与直线平行
（1）求值，并求此切线方程；
（2）证明：
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】分别求出圆和圆的圆心和半径，判断出两圆的位置关系可得到公切线的条数.
【详解】根据题意，圆即，
其圆心为，半径；圆即，其圆心为，半径；
两圆的圆心距，所以两圆相离，其公切线条数有4条；
故选：D.
2、A
【解析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，即可判断；
【详解】解：直线恒过定点，又，即点在圆内部，所以直线与圆相交；
故选：A
3、C
【解析】结合抛物线的定义求得，由此求得线段的中点到准线的距离
【详解】抛物线方程为，则，
由于中点到准线的距离为3，结合抛物线的定义可知，
即，
所以线段的中点到准线的距离为.
故选：C
4、D
【解析】根据导函数正负与原函数单调性关系可作答
【详解】原函数在上先减后增，再减再增，对应到导函数先负再正，再负再正，且原函数在处与轴相切，故
可知，导函数图象为D
故选：D
5、D
【解析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为，即可得到结果，得到答案.
【详解】由题意，抛物线，可得，
又由抛物线的焦点到准线的距离为2，即，解得.
故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线的距离为是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6、B
【解析】由题得，解方程即得解.
【详解】解：抛物线的准线方程为，
所以.
故选：B
7、B
【解析】由等差数列基本量法求出通项公式，用裂项相消法求得，求出的最大值，然后利用关于的不等式是一次不等式列出满足的不等关系求得其范围
【详解】设等差数列公差为，则由已知得，解得，∴，
，
∴，
易知数列是递增数列，且，
∴若对于任意的，，不等式恒成立，即，又，∴，解得或
故选：B
【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求数列的和，考查不等式恒成立问题，解题关键是掌握不等式恒成立问题的转化与化归思想，不等式恒成立首先转化为求数列的单调性与最值，其次转化为一次不等式恒成立
8、D
【解析】若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得， ，故方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是，故选D.
9、B
【解析】利用正弦定理求解.
【详解】在中，由正弦定理得，
解得，
故选：B.
10、D
【解析】因为非p为真命题，所以p为假命题，又p或q为真命题，所以q为真命题，选D.
11、A
【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设左焦点为，连接，
由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，.
故选：A

12、B
【解析】先设，根据P在椭圆上得到，由，得到的范围，即为离心率的范围.
【详解】由椭圆的方程可得，，设，
由，则，即，
由P在椭圆上可得，所以，
代入可得
所以，
因为，
所以整理可得：，消去得：
所以，即
所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、② ④
【解析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.
详解】若，则或，异面，或，相交，① 错误；
若，则，② 正确；
若，则或或与相交，③ 错误；
若 ，则，④ 正确；
故答案为：② ④.
14、
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，然后根据抛物线的定义和三角形相似的关系可求得结果
【详解】过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由抛物线的定义可知，，
不妨设，因为，所以，
因为∽，所以，
即，所以，
所以，
因为与反向，所以.
故答案为：

15、##0.5
【解析】根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.
【详解】由对称性，，关于原点对称，设，，，
，
故.
故答案为：
16、
【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；
（2）求出直线方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.
【小问1详解】
由题意可得，，∴，，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
直线l的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，，
∴，
又∵点O到直线AB的距离，
∴，
即△OAB的面积为.
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由圆的性质可得，再由线面垂直的性质可得，从而由线面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再结合已知条件可得平面PBC，由线面垂直的性质可得结论；
（2）由已知条件结合基本不等式可得当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，，从而以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明：因为AC是圆O的直径，点B是圆O上不与A，C重合的一个动点，
所以.
因为平面ABC，平面ABC，
所以.
因为，且AB，平面PAB，
所以平面PAB.
因为平面PAB，
所以.
因为，，且BC，平面PBC，
所以平面PBC.
因为平面PBC，
所以.
【小问2详解】
解：因为，，所以，所以三棱锥的体积，（当且仅当“”时等号成立）.
所以当三棱锥的体积最大时，是等腰直角三角形，.
所以以OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且垂直于圆O平面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.
因为∽，所以，因为，，所以，
所以，
.
设向量为平面的一个法向量，则即
令得，.
向量为平面ABC的一个法向量，.
因为二面角是锐角，
所以二面角的余弦值为.

19、（1）抛物线的焦点或抛物面的焦点
（2）答案见解析
【解析】（1）结合通径的特点可猜想得到结果；
（2）将问题转化为当时，只要过点，则中点到的距离最小，根据，结合抛物线定义可得结论.
【小问1详解】
根据通径的特征，知通径会经过抛物线的焦点达到静止状态，
则可猜想细棒交汇点位置为：抛物线焦点或抛物面的焦点.
【小问2详解】
解释上述现象，即证：当（为抛物线通径）时，只要过点，则中点到的距离最小；
如图所示，记点在抛物线准线上的射影分别是，

，
由抛物线定义知：，
当过抛物线焦点时，点到准线距离取得最小值，最小值为的一半，此时点到轴距离最小.
【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的实际应用问题，解题关键是能够将问题转化为抛物线焦点弦的中点到轴距离最小问题的证明，通过抛物线的定义可证得结论.
20、（1）
（2）众数；中位数
【解析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可；
（2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可.
【小问1详解】
由,得
【小问2详解】
50名学生竞赛成绩的众数为
设中位数为,则
解得
所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由递推式可得，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求的通项公式；
（2）由（1）可得，再应用裂项相消法求前项和
【小问1详解】
由可得：，又， ，
∴，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴.
∴ .
【小问2详解】
∵，
∴
∴.
22、（1）；；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据导数几何意义可知，解方程求得，进而得到切线方程；
（2）当时，由，知不等式成立；当时，令，利用导数可求得在上单调递增，从而得到，由此可得结论.
【小问1详解】
，，
在处的切线与直线平行，即切线斜率为，
，解得：，，，
所求切线方程为：，即；
【小问2详解】
要证，即证；
①当时，，，，即，
；
②当时，令，
，，
当时，，，，，即，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
即在上恒成立；
综上所述：.
【点睛】思路点睛：本题第二问考查利用导数证明不等式的问题，解题的基本思路是将问题转化为函数最值的求解问题；通过构造函数，利用导数求函数最值的方法可确定恒成立，从而得到所证结论.