2025-2026学年北京市朝阳区北京八十中学高二数学第一学期期末考试试题含解析.doc

2025-2026学年北京市朝阳区北京八十中学高二数学第一学期期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则与的大小关系是（）
A. B.
C. D.不能确定
2．点到直线的距离为
A.1 B.2
C.3 D.4
3．设是区间上的连续函数，且在内可导，则下列结论中正确的是（）
A.的极值点一定是最值点
B.的最值点一定是极值点
C.在区间上可能没有极值点
D.在区间上可能没有最值点
4．在平面直角坐标系中，已知的顶点，，其内切圆圆心在直线上，则顶点C的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
5．椭圆的长轴长是（）
A.3 B.6
C.9 D.4
6．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为，则该抛物线的方程是（）
A. B.
C. D.
7．若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．命题：“∃x＜1，x2＜1”的否定是（ ）
A.∀x≥1，x2＜1 B.∃x≥1，x2≥1
C.∀x＜1，x2≥1 D.∃x＜1，x2≥1
9．若直线a不平行于平面，则下列结论正确的是（）
A.内的所有直线均与直线a异面 B.直线a与平面有公共点
C.内不存在与a平行的直线 D.内的直线均与a相交
10．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，则（ ）
A.14 B.9
C.4 D.2
12．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则离心率（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.
14．如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形的面积为______.

15．一个四面体有五条棱长均为2，则该四面体的体积最大值为_______
16．某中学高一年级有420人，高二年级有460人，高三年级有500人，用分层抽样的方法抽取部分样本，若从高一年级抽取21人，则从高三年级抽取的人数是__________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为
（1）求椭圆方程；
（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，成等比数列，求的值
18．（12分）在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.
（1）求三角形ABC的外接圆M方程；
（2）求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.
19．（12分）某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了5种单价进行试销，每种单价（元）试销l天，得到如表单价（元）与销量（册）数据：
单价（元）
18
19
20
21
22
销量（册）
61
56
50
48
45
（l）根据表中数据，请建立关于的回归直线方程：
（2）预计今后的销售中，销量（册）与单价（元）服从（l）中的回归方程，已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？
附：，，，.
20．（12分）在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,求.
21．（12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
22．（10分）已知如图①，在菱形ABCD中，且，为AD的中点，将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥，在四棱锥中，求解下列问题：

（1）求证：BC平面ABE；
（2）若P为AC中点，求二面角的余弦值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由题知，进而研究的符号即可得答案.
详解】解：，
所以，即.
故选：B
2、B
【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.
【详解】，答案为B
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.
3、C
【解析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断
【详解】根据函数的极值与最值的概念知，的极值点不一定是最值点，的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数在区间上单调，则函数在区间上没有极值点，所以C正确
故选：C.
【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题
4、A
【解析】根据图可得：为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得
【详解】解：如图设与圆切点分别为、、，
则有，，，
所以
根据双曲线定义，所求轨迹是以、为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外），
即、，又，所以，
所以方程为
故选：A

5、B
【解析】根据椭圆方程有，即可确定长轴长.
【详解】由椭圆方程知：，故长轴长为6.
故选：B
6、A
【解析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值.
【详解】设等边三角形的边长为，
则，解得
根据抛物线的对称性可知，且，
设点在轴上方，则点的坐标为，即，
将代入抛物线方程得，
解得，故抛物线方程为
故选：A
7、D
【解析】函数在定义域上单调递增等价于在上恒成立，即在上恒成立，然后易得，最后求出范围即可.
【详解】函数的定义域为，
，
在定义域上单调递增等价于在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
分离参数得，所以，即.
【点睛】方法点睛：已知函数的单调性求参数的取值范围的通解：若在区间上单调递增，则在区间上恒成立；若在区间上单调递减，则在区间上恒成立；然后再利用分离参数求得参数的取值范围即可.
8、C
【解析】将特称命题否定为全称命题即可
【详解】根据含有量词的命题的否定，
则“∃x＜1，x2＜1”的否定是“∀x＜1，x2≥1”.
故选：C.
9、B
【解析】根据题意可得直线a与平面相交或在平面内，结合线面的位置关系依次判断选项即可.
【详解】若直线a不平行与平面，则直线a与平面相交或在平面内.
A：内的所有直线均与直线a异面错误，也可能相交，故A错误；
B：直线a与平面相交或直线a在平面内都有公共点，故B正确；
C：平面内不存在与a平行的直线，错误，
当直线a在平面内就存在与a平行的直线，故C错误；
D：平面内的直线均与a相交，错误，也可能异面，故D错误.
故选：B
10、B
【解析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.
又因为椭圆与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.
由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.
故选：B.
11、C
【解析】根据给定条件结合椭圆、双曲线方程的特点直接列式计算作答.
【详解】设椭圆半焦距为c，则，而椭圆与双曲线有共同的焦点，
则在双曲线中，，即有，解得，
所以.
故选：C
12、D
【解析】根据长轴长是短轴长的2倍，得到，利用离心率公式即可求得答案.
【详解】∵，∴，
故，
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或##或
【解析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.
【详解】，且，
设，
，解得，
或.
故答案为：或.
14、
【解析】根据直观图和平面图的关系可求出，进而利用面积公式可得三角形的面积
【详解】由已知可得
则
故答案为：.
15、1
【解析】由已知中一个四面体有五条棱长都等于2，易得该四面体必然有两个面为等边三角形，根据棱锥的几何特征，分析出当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，将相关几何量代入棱锥体积公式，即可得到答案
【详解】一个四面体有五条棱长都等于2，如下图：

设除PC外的棱均为2，设P到平面ABC距离为h，
则三棱锥的体积V＝，
∵是定值，
∴当P到平面ABC距离h最大时，三棱锥体积最大，
故当平面PAB⊥平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时h为等边三角形PAB的AB边上的高，则h，
故三棱锥体积的最大值为：
故答案为：1
16、25
【解析】由条件先求出抽样比，从而可求出从高三年级抽取的人数.
【详解】由题意抽样比例：
则从高三年级抽取的人数是人
故答案为：25

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）由焦距为，离心率为结合性质 ，列出关于的方程组，求出从而求出椭圆方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D、E的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，即可求解
【详解】（1）由已知，，解得，
所以
椭圆的方程为
（2）由（1）得过点的直线为，
由，得，
所以，所以，
依题意，
因为，，成等比数列，所以，
所以，即，
当时，，无解，
当时，，解得，
所以，解得，
所以，当，，成等比数列时，
【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法
（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；
（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，
故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，
故三角形ABC的外接圆M方程为.
【小问2详解】
因为D为AC的中点，所以易求.
故直线BD的方程为，
圆心到直线的距离，
故相交弦的长度为.
19、 (1) (2) 当单价应定为22.5元时，可获得最大利润
【解析】（l）先计算的平均值，再代入公式计算得到
（2）计算利润为：计算最大值.
【详解】解：（1），
，
，

所以对的回归直线方程为：
（2）设获得的利润为，
，
因为二次函数的开口向下，
所以当时，取最大值，
所以当单价应定为22.5元时，可获得最大利润
【点睛】本题考查了回归方程，函数的最值，意在考查学生的计算能力.
20、 (Ⅰ)或(Ⅱ)
【解析】(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解
试题解析：
（Ⅰ）∵成等比数列，
∴，
整理得，
解得或，
当时，;
当时，
所以或
（Ⅱ）设数列前项和为，
∵ ，
∴，
当时，，
∴；
当时，

综上
21、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230.------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
22、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）利用题中所给的条件证明，，因为，所以，，即可证明平面；
（2）先证明平面，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解
【详解】（1）在图①中，连接，如图所示：

因为四边形为菱形，，所以是等边三角形.
因为为的中点，所以，.
又，所以.
在图②中，，所以，即.
因为，所以，.
又，，平面.
所以平面.
（2）由（1）知，，
因为，，平面.
所以平面.
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，.
因为为的中点，所以.
所以，.
设平面的一个法向量为，
由得.
令，得，，所以.
设平面的一个法向量为.
因为，
由得
令，，，得
则，
由图象可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.