高数同济A2重点知识.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,上页 下页,高数同济A2重点知识,2,、向量的运算,3,、向量间的关系,夹角,垂直,平行,加减法,数乘,数量积,向量积,2,(,二,),空间解析几何,1,、空间直角坐标系,（,1,）点的坐标；,（,2,）两点间距离公式,2,、曲面,球面,旋转曲面,锥面,柱面,缺项的方程,3,二次曲面,椭球面,椭圆抛物面,（马鞍面）,双曲抛物面,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面,4,3,、曲线,一般方程,参数方程,在坐标平面上的投影,.,设空间曲线,C,的一般方程为,消去,z,得投影柱面,则,C,在,xoy,面上的投影曲线,5,空间平面,一般式,点法式,截距式,三点式,4,、,空间直线与平面的方程,重点是点法式,6,为直线的方向,向量,.,空间直线,一般式,对称式,或点向式,参数式,为直线上一点,;,7,面与面的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,5,.,线面之间的相互关系,8,直线,线与线的关系,直线,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,9,平面,:,垂直：,平行：,夹角公式：,面与线间的关系,直线,:,10,二、导数与微分,1,、偏导数,2,、高阶偏导数,(,求法,:,定义，一元函数求导公式,),（求法：逐次求导。混合偏导数连续则 相等）,3,、复合函数求导法则,11,一、极限与连续,1,、多元函数：,定义域,图像,一张曲面,3,、多元函数的连续性,2,、二重极限,求法,1,）用多元函数的连续性，连续点求极限即求函数值，,多元初等函数求极限即求函数值,.,2,）多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法,则。夹逼准则，重要极限都可以应用,.,12,4,、隐函数求导法,5,、全微分,1,）用复合函数求导法则两边求导数，例如,2,）公式法 例如,确定二元隐函数,两边对 求导,确定二元隐函数,13,三、应用,1,、方向导数,2,、梯度,3,、空间曲线,切向量,14,若,有极值,且,时有极大值,.,时有极小值,.,5,、极值,:,求驻点,.,4,、空间曲面,法向量,时,没有极值,.,15,6,、条件极值 拉格朗日乘数法,求函数,在条件,下的极值,.,构造函数,:,7,、,几个基本概念的关系,偏导数连续,可微分,连续,极限存在,偏导数存在,方向导数存在,（解方程组可得条件极值的可疑点）,16,1,二重积分、三重积分的几何意义,2,性质,线性性质、区域可加性、保号性、估值不等式、,中值定理,3,.,重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,(1),交换积分顺序,(2),利用对称性,(3),消去被积函数绝对值符号,表示曲顶柱体的体积,.,17,1).,化直角坐标积分形式为极坐标积分形式,X,型区域，,先对 积分,Y,型区域，,先对 积分,3).,怎样改换积分次序：先画四线确定积分区域,直角坐标系下,:,极坐标系下,:,1).,怎样确定积分次序,2).,怎样确定上下限,:,先积分穿线法、后积分取最值,4.,二重积分的计算方法：,积分次序：,上下限的确定：,先积分穿线法、后积分取最值,一画三确定：,画图、确定形式、,确定次序、确定限。,先,，后,。,2).,何时使用极坐标积分,积分区域为圆形、扇形或环形等,18,5.,三重积分的计算方法：,一画三确定：,画图、确定形式、,确定次序、确定限。,1),直角坐标系,方法,1.,三次积分法,(,投影法,:,先一后二,),方法,2.,截面法,(,先二后一,),2),柱坐标计算,最后对 取最值,对,对 穿线法，,积分次序是,:,积分区域在坐标面的投影为圆形、,扇形、,环形（的一部分）,何时用柱面坐标计算,采用柱面坐标来计算简单,限的确定,先对,最后对,再对 、,19,3),球坐标计算,积分次序是：,当积分区域由球面，球面与锥面，球面与球面等,围成的区域，,而被积函数中含有,的因子时,坐标来计算,。,宜用球面,何时用球面坐标计算三重积分：,限的确定,:,穿线法，,对 取最值,对,20,6,应用,几何应用：,平面图形的面积,：,空间曲面的面积,：,或,怎样确定？,空间立体的体积,：,21,1.,对坐标的曲线积分特有的性质,:,2.,对坐标的曲面积分特有的性质,:,曲面面积,3.,曲面积分几何意义,22,4.,计算方法,参数化化成定积分，下限小于上限,参数化化成定积分，下限,起点，上限,终点,格林公式（平面上）,斯托克斯公式,(,空间,),与方向无关,投影法变成二重积分,投影变成二重积分,添加正负号,高斯公式,检验连续性、封闭性、,方向性,连续性、封闭性,方向性,(,投影时看 方程 是否含,z,，,注意,dS,与,dxdy,(,dydz,dzdx,),关系,）,23,5.,两类曲线积分之间的关系,:,24,6.,二元函数的全微分求积,7.,五个等价命题,为某一函数,的全微分的,充要条件是,方法,3,凑微分法,.,方法,2,利用,求积分,.,方法,1,利用积分与路径无关的条件,.,怎样求该函数,25,a,、积分 的值与路径无关，,是单连通区域,、在 内有一阶连续偏导数,为全微分方程,e,、,c,、在 内,b,、对于 内任一封闭曲线，,d,、存在 内的可微函数,8.,两类曲面积分之间的关系,:,26,关于积分的几点说明：,1.,线面积分计算前,可,先,用,的方程,将被积函数,化简,而重积分不行,!,因为,D,满足的是不等式,2.,对坐标的线,(,面,),积分计算时,可先考虑格林公式,(,高斯公式,),3.,遇到,L,D(),关于坐标轴,(,面,),对称,的积分,(,对坐标的积分,除外,!,),会考虑被积函数的奇偶性将其化简,而对坐标的积分,不仅要考虑被积函数的奇偶性，还要考虑,积分元素的正负,(,慎用,!),27,一、数项级数的审敛法,1.,利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.,正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,或极限形式,用它法判别,部分和极限,28,3.,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,审敛,法:,若,且,则交错级数,收敛,且余项,若,收敛,称,绝对收敛,若,发散,称,条件收敛,(2),常用来判断级数敛散性的已知级数,等比级数、调和级数、,P,级数,注,:,(1),正项级数审敛法可用于判断级数绝对收敛,.,29,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数,:,先求收敛半径,R,:,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性,.,幂指数有间隔 用正项级数的比值审敛法或根值审敛法求半径,幂指数连续,注,求幂级数的收敛域步骤：,求收敛半径、确定收敛开区间、讨论端点处 的敛散性,30,三、幂级数和函数的求法,等比级数直接求,非等比级数先设和函数，逐项积分或,逐项求导，讨论端点处的敛散性，若收敛和函数连续则,包括端点,四、,函数展成幂级数,:,（,间接法,）,可以直接引用的幂级数展开式,用已知的七个展开式及其收敛域，若有逐项求导或逐项积分要讨论端点处的敛散性，若端点处收敛、函数连续则包括端点。,31,五,.,周期为,2,的,函数傅立叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么,:,x,为间断点,x,为连续点,32,周期为,2,l,的函数,f,(,x,),的傅里叶级数,在间断点和连续点各收敛于什么,:,x,为间断点,x,为连续点,33,