第二章-n维向量.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,n,维向量,2.1,n,维向量及其运算,一,.,历史,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,古希腊的,亚里士多德,:,二力合成的平行四边形法则,法国数学家,笛卡尔,和,费马,:,解析几何,1831,年,德国数学家,高斯,:,复平面的概念,英国物理学家数学家,亥维赛,:,向量分析,1844,年,德国数学家,格拉斯曼,:,n,维向量,1888,年,意大利数学家,皮亚诺,:,以公理的方式定义了有,/,无限维向量空间,二,.,n,维向量,(vector),的概念,n,维,向,量,本 质,表现形式,几何背景,n,个数,a,1,a,2,a,n,构成的有序数组,向量,/,点的坐标,列矩阵,行矩阵,行向量,列向量,分量,第二章,n,维列向量,2.1,n,维向量及其运算,第二章,n,维列向量,2.1,n,维向量及其运算,与矩阵的线性运算相同,三,.,n,维向量的线性运算,与矩阵的线性运算性质相同,四,.,n,维向量的线性运算性质,n,维向量,:,1,2,s,五,.,线性组合,(linear combination),数,(scalars):,k,1,k,2,k,s,线性组合,:,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,2.1,n,维向量及其运算,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,n,维向量,:,1,2,s,若存在常数,:,k,1,k,2,k,s,使得,则称,能由向量组,1,2,s,线性表示,(,can be linearly represented by,1,),第二章,n,维列向量,六,.,线性表示,(linear representation),2.1,n,维向量及其运算,例,1,.,n,维基本单位向量组,1,=,1,0,0,2,=,0,1,0,n,=,0,0,1,.,第二章,n,维列向量,standard/natural basis of R,n,2.1,n,维向量及其运算,任何一个,n,维向量,=,a,1,a,2,a,n,都能由,1,2,n,线性表示,.,=,a,1,1,0,0,+,a,2,0,1,0,+,a,n,0,0,1,.,事实上,第二章,n,维列向量,2.1,n,维向量及其运算,例,2,.,A,=,a,11,a,12,a,1,s,a,21,a,22,a,2,s,a,n,1,a,n,2,a,ns,=(,1,2,s,),=,b,1,b,2,b,n,x,=,x,1,x,2,x,s,能由,1,2,s,线性表示,方程组,Ax,=,有解,.,第二章,n,维列向量,2.2,向量组的秩和线性相关性,2.2,向量组的秩和线性相关性,一,.,基本概念,列向量组,:,1,2,s,矩阵,A,=(,1,2,s,),矩阵,A,的秩,向量组,1,2,s,的,秩,r(,1,2,s,),第二章,n,维列向量,行向量组,:,1,2,s,矩阵,A,的秩,向量组,1,2,s,的,秩,矩阵,A,=,1,2,s,r(,1,2,s,),2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,r(,1,2,s,),s,r(,1,2,s,),n,时,任意,s,个,n,维向量都线性相关,.,例,3,.,设,1,2,3,线性无关,1,=,1,+2,2,2,=,2,+2,3,3,=,3,+2,1,.,证明,:,1,2,3,线性无关,.,(3),含有零向量,的向量组一定,线性相关,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,二,.,向量组之间的关系,A,:,1,2,r,B,:,1,2,s,若,B,组中的每个向量都能由,A,组中的向,量线性表示,则称向量组,B,能由向量组,A,线性表示,.,1.,给定两个向量组,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,能由,线性表示,例如,:,2,0,3,0,1,0,0,1,但,2,0,3,0,不能由,线性表示,.,1,0,0,1,若向量组,B,能由向量组,A,线性表示,;,同时,向量组,A,能由向量组,B,线性表示,则称这,两个向量组,等价,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,A,:,1,2,r,B,:,1,2,s,2,.,给定两个向量组,显然,(1),向量组,A,与其自身等价,(,反身性,);,(2),若,A,与,B,等价,则,B,与,A,等价,(,对称性,);,(3),若,A,与,B,等价且,B,与,C,等价,则,B,与,A,等价,(,传递性,).,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,3.,传递性,A,=(,1,2,),B,=(,1,2,3,),C,=(,1,2,),1,=,1,+,2,2,=,1,+2,2,3,=,1,+,2,1,=2,1,+,2,2,=,1,2,+,3,=2(,1,+,2,)+(,1,+2,2,),=3,1,+4,2,=(,1,+,2,)(,1,+2,2,)+(,1,+,2,),=,1,例,4,.,设有两个向量组,I:,1,=1,1,2,=1,1,3,=2,1,II:,1,=1,0,2,=1,2.,即,I,可以由,II,线性表示,.,则,1,=,1,+,2,2,1,2,1,2,=,1,2,2,3,2,1,3,=,1,+,2,2,3,2,1,即,II,可以由,I,线性表示,.,1,=,1,+,2,+0,3,2,1,2,1,2,=,1,2,+0,3,2,3,2,1,故向量组,I,与,II,等价,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,5.,矩阵等价与向量组等价,初等,行,变换,初等,行,变换,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,A,的,行,向量组能由,B,的,行,向量组,线性表示,B,的,行,向量组能由,A,的,行,向量组,线性表示,矩阵,A,与,B,的,行,向量组等价,(row equivalent),初等,列,变换,初等,列,变换,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,A,的,列,向量组能由,B,的,列,向量组,线性表示,B,的,列,向量组能由,A,的,列,向量组,线性表示,矩阵,A,与,B,的,列,向量组等价,(column equivalent),注,:,初等,行,变换,(,1,),无法通过初等,列,变换实现,矩阵,A,与,B,的,行,向量组等价,但,列,向量组,不,等价,.,初等,列,变换,(,1,),无法通过初等,行,变换实现,矩阵,C,与,B,的,列,向量组等价,但,行,向量组,不,等价,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,定理,2.1,.,若,向量组,1,2,t,可由向量组,1,2,s,线性表示,则,r(,1,2,t,)r(,1,2,s,).,推论,2.1,.,若,向量组,1,2,t,可由向量组,1,2,s,线性表示,并且,t,s,则,向量组,1,2,t,是,线性相关的,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,三,.,向量组秩的性质,证明,:,记,A,=(,1,2,s,),B,=(,1,2,t,),则存在,C,使得,B,=,AC,故,r(,B,),r(,A,).,推论,2.3,.,若,向量组,1,2,s,和,1,2,t,都线性无关,并且这两个向量组等价,则,s,=,t,.,例,5,.,设,1,=,1,+,2,2,=,2,+,3,3,=,3,+,1,.,证明,:,1,2,3,线性无关,1,2,3,线性,无关,.,2.2,向量组的秩和线性相关性,第二章,n,维列向量,推论,2.2,.,若,向量组,1,2,t,与向量组,1,2,s,等价,r(,1,2,t,)=r(,1,2,s,).,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,定理,2.2,.,向量组,1,2,s,线性相关,存在一组不全为零的数,k,1,k,2,k,s,使得,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,0,.,证明,:(),1,2,s,线性相关,r(,A,),s,其中,A,=(,1,2,s,),存在,s,阶可逆矩阵,P,使得,APe,s,=0,令,(,k,1,k,2,k,s,)=(,Pe,s,),T,.,则,(,k,1,k,2,k,s,)0,且,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,0,.,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,(),设,k,1,k,2,k,s,不全为零且,不妨设,k,1,0,则,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,0,.,根据,推论,2.1,可知,1,2,s,线性相关,.,1,=,k,1,k,2,2,k,1,k,3,3,k,1,k,s,s,因而,1,2,s,能由,2,s,线性表示,.,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,推论,2.4,.,若,1,2,s,线性相关,反之,若,1,2,s,s,+1,t,线性,无关,则,1,2,s,也,线性无关,.,则,1,2,s,s,+1,t,也,线性相,关,.,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,若向量组,线性相关,其中,1,2,s,是维数相同的列向量,1,2,s,也是维数相同的列向量,则,1,2,s,也是,线性相关的,.,反之,若,1,2,s,线性无关,则,也是,线性无关的,.,1,1,2,2,s,s,1,1,2,2,s,s,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,推论,2.5,.,1,2,s,线性无关,由,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,=,0,可推出,k,1,=,k,2,=,k,s,=,0.,例,6,.,设,n,维列向量,和,n,n,矩阵,A,满足,A,k,1,0,但,A,k,=0,证明,:,向量组,A,A,2,A,k,1,线性无关,.,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,定理,2.3,.,向量组,1,2,s,线性相关,1,2,s,至少有一个可以由其余,s,1,个,向量线性表示,.,定理,2.4,.,若,向量组,1,2,s,线性无关,而,1,2,s,线性相关,则,一定,能由,1,2,s,线性表示,并且表,示的方式是唯一的,.,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,例,7,.,证明,:,n,个,n,维列向量,1,2,n,线性无,关的充分必要条件是,:,任何一个,n,维列向,量,都能由,1,2,n,线性表示,.,证明,:(,充分性,),任何一个,n,维列向量,都能由,1,2,n,线性表示,1,=,1,0,0,2,=,0,1,0,n,=,0,0,1,都能由,1,2,n,线性表示,n,=r(,1,n,)r(,1,n,),n,第二章,n,维列向量,2.3,向量组线性相关性的等价刻画,证明,:(,必要性,),由于,n,+1,个,n,维列向量总是线,性相关的,所以,1,2,n,线性相,关,.,又因为,1,2,n,线性无关,根据定理,2.4,可知,都能由,1,2,n,线性表示,.,第二章,n,维列向量,例,7,.,证明,:,n,个,n,维列向量,1,2,n,线性无,关的充分必要条件是,:,任何一个,n,维列向,量,都能由,1,2,n,线性表示,.,2.4,向量组的极大线性无关组,第二章,n,维列向量,2.4,向量组的极大线性无关组,一,.,定义,如果向量组,1,2,s,的部分组,满足以下列条件,:,i,1,i,2,i,r,线性无关,;,i,1,(1),i,2,i,r,(2),1,2,s,中任一向量都可由,线性表示,i,1,i,2,i,r,极大线性无关组,(,maximal linearly independent subset,),.,为,1,2,s,的一个,i,1,则称,i,2,i,r,2.4,向量组的极大线性无关组,第二章,n,维列向量,二,.,有关结论,定理,2.5,.,秩为,r,的,向量组,1,2,s,一定有由,r,个,向量构成的极大无关组,.,命题,2.1,.,秩为,r,的,向量组中,任何,r,个线性,无,关的,向量都构成它的一个极大无关组,.,2.4,向量组的极大线性无关组,第二章,n,维列向量,定理,2.6,.,一个,向量组,的任何两个,极大无关组,都是等价的,因而,任意两个,极大无关,组所含向量的,个,数都相同,且等于这,个向量组的秩,.,命题,2.2,.,一个,向量组与它,的任何一个,极大无,关组都是等价的,.,2.4,向量组的极大线性无关组,第二章,n,维列向量,三,.,计算,理论依据,:,(1),命题,2.1,(2),定理,1.11,(,初等变换不改变矩阵的秩,).,例,8,.,已知向量组,1,2,3,线性无关,求,1,2,2,3,3,1,的一个极大无关组,.,2.4,向量组的极大线性无关组,第二章,n,维列向量,例,9,.,设,A,=,3 2 0 5 0,3,2 3 6,1,2 0 1 5,3,1 6,4,1 4,求,A,的列向量组,的一个极大无关组,.,1,6,4,1,4,0,4,3,1,1,0,0,0,4,1,0 0,0,0,0,解,:,A,=,3 2 0 5 0,3,2 3 6,1,2 0 1 5,3,1 6,4,1 4,初等,行,变换,可见,A,的第,1,2,4,列构成,A,的列向量组的一,个极大无关组,.,2.5,向量空间,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,一,.,向量空间,(vector space),的概念,1.,n,维实,(,列,),向量的全体,R,n,=(,x,1,x,2,x,n,),T,|,x,1,x,2,x,n,R,关于向量,(,即列矩阵,),的加法和数乘运算,满足如下,8,条基本性质,:,关于加法,:(1),交换律,;(2),结合律,;(3),0;(4),关于数乘,:(5)1,=,;(6),k,(,l,)=,(,kl,),;,(7)(,k,+,l,),=,k,+,l,;,(8),k,(,+,)=,k,+,k,.,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,2.,设,V,是,R,n,的非空子集,且对向量的加法及数,乘封闭,(closed),即,仅含有零向量,0,的集合,0,关于向量的线性运,算也构成一个向量空间,.,R,n,和,0,称为,R,n,的,平凡,(trivial),子空间,.,则称,V,是,R,n,的一个,子空间,(subspace),或直接,称为一个,(,实,),向量空间,(real vector space).,V,k,R,有,+,V,k,V,closure conditions,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,例,10,.,检验下列集合是否构成向量空间,.,(1),V,=(,x,y,0)|,x,y,R,;,(2),V,=(,x,y,z,)|,x,y,z,R,x,+,y,z,=0,;,(3),A,R,m,n,b,R,m,b,0,K,A,=,R,n,|,A,=0;,S,B,=,R,n,|,A,=,b,.,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,(4),1,2,s,R,n,L,(,1,2,s,)=|,诸,k,i,R,.,s,k,i,i,i,=1,由,1,2,s,生成的向量空间,(generated/spanned by,1,),或,1,2,s,生成元,(generator).,1,2,s,的,线性包,(linear closure).,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,二,.,向量空间的基,(basis),与维数,(dimension),1,2,r,V,的一组,基,:,r,称为,V,的,维数,.,记为维,(,V,),或,dim(,V,).,n,维基本单位向量组就是,R,n,的一组基,dimR,n,=,n,;,例,11,.,求,例,10,中的各向量空间的基与维数,.,零空间没有基,规定,dim0,=,0.,1,2,r,线性无关,V,都能由,1,2,r,线性表示,.,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,定理,2.7,.,1,2,s,的极大无关组,特别地,A,=(,A,1,A,2,A,s,),求,L,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),的一组基和维数,.,例,12,.,设,A,=,A,1,A,2,A,3,A,4,=,1,0,1,2,1,0,1,1,1,1,1,1,L,(,1,2,s,),的基,dim,L,(,1,s,)=r(,1,s,).,L,(,A,1,A,2,A,s,),A,的,列空间,(column space),dim,L,(,A,1,A,2,A,s,)=,秩,(,A,).,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,1,0,1,2,1,0,1,1,1,1,1,1,解,:,初等,行,变换,可见,dim,L,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),=,2,A,1,A,2,是,L,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),的一组基,.,注,:,此外,A,1,A,3,也,是,L,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),的一组基,.,还有,A,1,A,4,.,1,0,0,2,1,0,1,1,0,1,1,0,事实上,对于这个例子,除了,A,3,A,4,以外,A,1,A,2,A,3,A,4,中任意两个向量都构成,L,(,A,1,A,2,A,3,A,4,),的一组基,.,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,三,.,向量在基下的坐标,1,2,r,V,的一组基,由定义,对,V,唯一,的一组有序实数,k,1,k,2,k,r,使得,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,r,r,.,k,1,k,2,k,r,T,在,1,2,r,这组,基下的,坐标,(coordinate).,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,四,.,基变换与坐标变换,设,1,2,r,和,1,2,r,是,V,的两组基,则存在,r,r,矩阵,P,使,(,1,2,r,)=(,1,2,r,),P,.,称,P,为,从基,1,2,r,到,1,2,r,的,过,渡矩阵,(transition matrix).,由,r,=r,(,1,2,r,),r(,P,),r,可得,r(,P,)=,r,.,故,|,P,|,0,即,P,可逆,.,第二章,n,维列向量,2.5,向量空间,定理,2.8,.,设,1,2,r,和,1,2,r,是,V,的,两组基,V,在这两组基下的坐标,分别为,x,y,则,证明,:,=(,1,2,r,),x,=(,1,2,r,),y,=(,1,2,r,),Py,x,=,Py,y,=,P,1,x,.,(,1,2,r,)(,x,Py,)=0.,又因为,1,2,r,线性无关,所以,x,Py,=0,即,x,=,Py,进而,y,=,P,1,x,.,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,2.6,内积与正交矩阵,一,.R,n,中向量的内积,长度和夹角,1.,设,=(,a,1,a,2,a,n,),T,=(,b,1,b,2,b,n,),T,记为,即,则称实数,a,i,b,i,为向量,与,的,内积,n,i,=1,=,a,i,b,i,=,T,.,n,i,=1,(inner/,dot,/,scalar,product).,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,2.,内积的基本性质,对称性,:,=,;,(2),线性性,:,k,1,1,+,k,2,2,=,k,1,1,+,k,2,2,;,(3),0;,且,=0,=,0.,(4),(Cauchy-Schwartz Inequality),|,|,.,考察,y,=,x,2,+2,x,+,.,n,=(,xa,i,+,b,i,),2,0,i,=1,=(2,),2,4,0,2,.,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,3.,对于,n,维实向量,称,为,的,长度,(,length,),模,(modulus),记为,|,|,即,4.,长度的基本性质,(3),三角不等式,(Triangle Inequality):,|,|=,=,a,i,2,n,i,=1,(1),正定性,:,|,|0;,且,|,|=0,=,;,(2),齐次性,:,|,k,|=|,k,|,|(,k,R);,|,+,|,|+|,|.,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,5.,长度为,1,的向量称为,单位向量,(,unit vector,),.,对于非零向量,|,|,1,是一个单位向量,.,单位化,/,标准化,(normalize).,6.,设,R,n,若,0,0,则定义,的,若,=0,即,=,/2,则称,与,正交,(orthogonal).,夹角,(the angle between,and,),为,=arccos,|,|,|,0,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,二,.,正交向量组和,Schmidt,正交化方法,正交,(mutually orthogonal),向量组,标准正交,(orthonormal),向量组,正交基,(orthogonal basis),标准正交基,(orthonormal basis),1.,概念,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,命题,2.3,.,设,1,2,s,是标准正交向量组,且,=,k,1,1,+,k,2,2,+,k,s,s,则,k,i,=,i,i,=1,2,s,.,2.,结论,定理,2.9,.,1,2,s,正交,线性无关,.,命题,2.4,.,设,1,2,s,线性无关,(,s,2,),则存,在一个正交向量组,1,2,s,使得,1,2,s,与,1,2,s,等价,(1,t,s,).,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,1,=,1,3.,方法,(,Gram,-,Schmidt,orthogonalisation process),2,=,2,2,1,1,1,1,s,=,s,s,1,1,1,1,s,s,1,s,1,s,1,s,1,再将,1,2,s,单位化得,:,1,=,1,|,1,|,2,=,2,|,2,|,s,=,s,|,s,|,.,第二章,n,维列向量,2.6,内积与正交矩阵,三,.,正交矩阵,(orthogonal matrix),1.,满足,Q,T,Q,=,E,(,即,Q,1,=,Q,T,),的实方阵,Q,称,为,正交矩阵,简称为,正交阵,.,定理,2.10,.,设,Q,为,n,阶,实方阵,则下列条件等价,:,推论,.(1),Q,为正交阵,|,Q,|=,1,Q,1,也是,正交阵,;,(2),Q,的,列向量组构成,R,n,的一组标准,正交基,;,(1),Q,是,正交矩阵,;,(3),Q,T,是,正交矩阵,.,(2),A,B,为正交阵,AB,为正交阵,.,Born:,384 BC in Stagirus,Macedonia,Greece,Died:,322 BC in Chalcis,Euboea,Greece,Aristotle,Born:,16 Aug 1821 in Richmond,England,Died:,26 Jan 1895 in Cambridge,England,Arthur,Cayley,Ren,Descartes,Born:,31 March 1596 in La Haye,(now Descartes),Touraine,France,Died:,11 Feb 1650 in Stockholm,Sweden,Pierre de,Fermat,Born:,17 Aug 1601 in,Beaumont-de-Lomagne,France,Died:,12 Jan 1665 in Castres,France,Johann Carl Friedrich,Gauss,Born:,30 April 1777 in Brunswick,Duchy of Brunswick(now Germany),Died:,23 Feb 1855 in Gttingen,Hanover,(now Germany),Jorgen Pedersen,Gram,Born:,27 June 1850 in Nustrup,(18 km W of Haderslev),Denmark,Died:,29 April 1916 in Copenhagen,Denmark,Hermann Gnter,Grassmann,Born:,15 April 1809 in Stettin,Prussia(now Szczecin,Poland),Died:,26 Sept 1877 in Stettin,Germany(now Szczecin,Poland),Oliver,Heaviside,Born:,18 May 1850 in Camden Town,London,England,Died:,3 Feb 1925 in Torquay,Devon,England,Giuseppe,Peano,Born:,27 Aug 1858 in Cuneo,Piemonte,Italy,Died:,20 April 1932 in Turin,Italy,Erhard,Schmidt,Born:,13 Jan 1876 in Dorpat,Germany,(now Tartu,Estonia),Died:,6 Dec 1959 in Berlin,Germany,