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-,*,-,习题课,复数模及几何意义应用,1/27,2/27,1,.,复数几何意义,复数,z=a+b,i(,a,b,R,),与复平面内,点,Z,(,a,b,),及以原点为起点,Z,(,a,b,),为终点向量,相对应,它们之间都是,一一对应,关系,.,2,.,复数模及其几何意义,(1),已知复数,z=a+b,i(,a,b,R,),则复数,z,模,|z|=|a+b,i,|=.,(2),复数模几何意义,:,复数,z=a+b,i(,a,b,R,),模,|z|,表示复数,z,对应点,Z,(,a,b,),到原点距离,.,(3),复数模,复数对应点到原点距离,复数所对应向量模三者是一致,.,3/27,【做一做,1,】,满足条件,|z-,i,|=|,3,+,4i,|,复数,z,在复平面上对应点轨迹是,(,),A.,一条直线,B.,两条直线,C.,圆,D.,椭圆,解析,:,依据复数模几何意义,|z-,i,|=|,3,+,4i,|=,5,即表示复数,z,在复平面上对应点到点,(0,1),距离等于常数,5,轨迹,即表示以点,(0,1),为圆心,5,为半径圆,.,答案,:,C,4/27,【做一做,3,】,在复平面内,若复数,z,满足,|z+,1,|+|z-,1,|=,4,则,z,在复平面内对应点轨迹是,其方程为,.,解析,:,依据模几何意义,复数,z,在复平面内对应点到两定点,(,-,1,0),(1,0),距离之和为定值,4,故其轨迹是以,(,-,1,0),(1,0),为焦点,4,为长轴长椭圆,其方程为,5/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数与轨迹问题,6/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,设,z=x+y,i(,x,y,R,),|z-,1,|=|z+,i,|,复数,z,对应点,(,x,y,),在以点,(1,0),和,(0,-,1),为端点线段垂直平分线上,.,y=-x.,7/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,复数实质是有序实数对,也就是复平面内点坐标,假如复数按照某种条件改变,那么复平面内对应点就组成含有某种特征点集合,(,或轨迹,),这里应尤其注意复数模几何意义,复数模就是复数对应点到原点距离,.,8/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,设复数,z=x+y,i(,x,R,y,R,),在以下条件下求动点,Z,(,x,y,),轨迹,.,(1),|z+,1,+,i,|-|z-,1,-,i,|=,0;,(2),|z+,i,|+|z-,i,|=,2 ;,(3),|z+,1,|=,2,|z-,1,|,;,(4),|z+,1,|-|z-,i,|=.,9/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,(1),原式可转化为,|z+,1,+,i,|=|z-,1,-,i,|,表示到两点,(,-,1,-,1),(1,1),距离相等点轨迹,即以,(,-,1,-,1),(1,1),为端点线段垂直平分线,.,10/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,利用复数几何意义求最值,【例,2,】,已知复数,z,满足,|z|=,2,求,|z+,1,+,i,|,最大值和最小值,.,分析,:,利用复数几何意义求解,;,不等式,|z,1,|-|z,2,|,|z,1,+z,2,|,|z,1,|+|z,2,|,中,当,|z,1,+z,2,|=|z,1,|+|z,2,|,时,z,1,z,2,对应向量,11/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,由已知可得复数,z,对应点,Z,在复平面内以原点,O,为圆心,2,为半径圆上,2,为半径圆上,(,如图所表示,),.,此时圆上点,A,对应复数,w,A,模为最大值,圆上点,B,对应复数,w,B,模为最小值,.,12/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,处理相关复数模最值问题惯用方法,1,.,先建立关于复数模函数,再求函数最值,此时常设,z=x+y,i(,x,y,R,),.,2,.,写出复数表示几何意义,利用数形结合思想,结合平面几何知识求解最值,.,13/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,2,已知,z,1,z,2,为复数,且,|z,1,|=,1,若,z,1,+z,2,=,2i,则,|z,1,-z,2,|,最大值是,(,),A.6B.5C.4D.3,解析,:,由,z,1,+z,2,=,2i,得,z,1,=,2i,-z,2,代入,|z,1,|=,1,得,|,2i,-z,2,|=,1,即,z,2,对应点轨迹是以,(0,2),为圆心,1,为半径圆,z,1,对应点轨迹是以原点为圆心,半径为,1,圆,如图所表示,则,|z,1,-z,2,|,为两圆上点距离,其最大值为,4,.,答案,:,C,14/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),|z|,最大值和最小值,;,(2),|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,最大值和最小值,.,|z|,max,=,2,+,1,=,3,|z|,min,=,2,-,1,=,1,.,(2),|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,=,2,|z|,2,+,2,|z-,1,|,2,+|z+,1,|,2,最大值为,20,最小值为,4,.,15/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数综合应用,(3),要求,-u,2,最小值,由,(1),(2),知,与,u,2,均为实数,所以可先建立,-u,2,函数关系,再设法求出最小值,.,16/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(1),解,:,z,是虚数,17/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,18/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,4,若复数,z=x+y,i(,x,y,R,),满足,|z-,4i,|=|z+,2,|,则,2,x,+,4,y,最小值是,.,解析,:,依据复数模几何意义可知,|z-,4i,|=|z+,2,|,表示复数,z,是在以点,(0,4),和点,(,-,2,0),为端点线段垂直平分线上,所以,x+,2,y-,3,=,0,19/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,则,k,为圆上点与原点连线斜率,所以当,OA,与圆相切时,取最值,.,20/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,错用复数几何意义,【典例】,复数,z,满足,|z-,1,-,i,|=,1,求,|z+,1,+,i,|,最小值,.,易错分析,:,|z-,1,-,i,|,表示复数,z,对应点与复数,1,+,i,对应点间距离,而,|z+,1,+,i,|,表示复数,z,对应点与,-,1,-,i,对应点间距离,.,解,:,|z-,1,-,i,|=,1,由复数几何意义知,z,对应点轨迹是以点,(1,1),为圆心,1,为半径圆,而,|z+,1,+,i,|,表示圆上点到点,(,-,1,-,1),距离,纠错心得,在处理相关复数模问题时,应结合复数、复数模几何意义和解析几何等知识,将代数问题转化为几何问题,从而到达优化解题过程目标,.,21/27,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知复数,z,满足,|z|=,2,则,|z+,3,-,4i,|,最小值是,.,解析,:,|z|=,2,表示以原点为圆心,2,为半径圆,而,|z+,3,-,4i,|,表示是圆上点与点,(,-,3,4),距离,答案,:,3,22/27,1 2 3 4 5,1,.,已知复数,z,满足,z+|z|=,2,+,8i,则复数,z,为,(,),A.,-,15,+,8iB.15,-,8iC.15,+,8iD.,-,15,-,8i,答案,:,A,23/27,1 2 3 4 5,2,.,若复数,z,满足,|z-,3,|+|z+,3,|=,10,则复数,z,对应点集所表示图形是,(,),A.,直线,B.,圆,C.,椭圆,D.,双曲线,解析,:,借助椭圆定义和复数几何意义知,复数,z,对应点轨迹是以,(3,0),(,-,3,0),为焦点,长轴长为,10,椭圆,.,答案,:,C,24/27,1 2 3 4 5,心,以,1,为半径圆及其内部,|z|,就是圆,C,及其内部各点到原点距离,使,|z|,取得最大值点就是,OC,与圆,C,交点中较远一个,直线,25/27,1 2 3 4 5,26/27,1 2 3 4 5,5,.,已知复数,z=,(2,x,+a,),+,(2,-x,+a,)i,x,a,R,当,x,在,(,-,+,),内改变时,试求,|z|,最小值,g,(,a,),.,解,:,|z|,2,=,(2,x,+a,),2,+,(2,-x,+a,),2,=,2,2,x,+,2,-,2,x,+,2,a,(2,x,+,2,-x,),+,2,a,2,.,令,t=,2,x,+,2,-x,则,t,2,且,2,2,x,+,2,-,2,x,=t,2,-,2,所以,|z|,2,=t,2,+,2,at+,2,a,2,-,2,=,(,t+a,),2,+a,2,-,2,27/27,
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