资源描述
-,*,-,习题课,圆方程综合应用,1/41,2/41,1,.,圆标准方程与普通方程比较,3/41,2,.,直线与圆、圆与圆位置关系处理方法,(1),几何法,侧重点在于利用圆几何性质,并利用半径与距离量来刻画位置关系,解法简捷、直观,;,(2),代数法,侧重点在于利用联立方程思绪,经过方程解组数来刻画位置关系,解法比较抽象,但很严谨,.,3,.,主要结论,(1),过圆,x,2,+y,2,=r,2,上一点,P,(,x,0,y,0,),切线方程为,x,0,x+y,0,y=r,2,.,(2),过圆,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,=r,2,上一点,P,(,x,0,y,0,),切线方程为,(,x,0,-a,)(,x-a,),+,(,y,0,-b,)(,y-b,),=r,2,.,(3),过圆,x,2,+y,2,=r,2,外一点,P,(,a,b,),作圆切线,PA,PB,其中,A,B,为切点,则直线,AB,方程为,ax+by=r,2,.,(4),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),以,AB,为直径圆方程为,(,x-x,1,)(,x-x,2,),+,(,y-y,1,)(,y-y,2,),=,0,.,4/41,(5),过两圆交点直线方程,.,设圆,C,1,:,x,2,+y,2,+D,1,x+E,1,y+F,1,=,0,圆,C,2,:,x,2,+y,2,+D,2,x+E,2,y+F,2,=,0,-,得,(,D,1,-D,2,),x+,(,E,1,-E,2,),y+F,1,-F,2,=,0,.,若圆,C,1,与圆,C,2,相交,则,为过两圆交点弦所在直线方程,.,(6),过直线与圆交点圆系方程,.,若直线,l,:,Ax+By+C=,0,与圆,C,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,相交,则方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F+,(,Ax+By+C,),=,0,表示过直线,l,与圆,C,两个交点圆系方程,.,(7),过圆与圆交点圆系方程,.,若圆,C,1,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,与圆,C,2,:,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=,0,相交,则过这两个圆交点圆系方程可设为,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F+,(,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F,),=,0(,-,1),.,5/41,(8),圆惯用几何性质,.,圆心在圆任一条弦垂直平分线上,.,圆上异于直径端点点与直径两端点连线垂直,.,过切点且垂直于该切线直线必过圆心,.,4,.,做一做,:,假如,x,2,+y,2,-,2,x+y+k=,0,是圆方程,则实数,k,取值范围是,(,),答案,:,B,6/41,解析,:,本题可转化为直线,x+y+,1,=,0,与圆,(,x-,1),2,+,(,y-,1),2,=R,2,(,R,0),相切,求,R.,答案,:,B,7/41,6,.,做一做,:,直线,x+y-,2,=,0,与圆,x,2,+y,2,=,4,相交于,A,B,两点,则弦,AB,长度等于,(,),解析,:,如图所表示,由题意知圆圆心坐标为,(0,0),半径,r=,2,.,答案,:,B,8/41,7,.,做一做,:,若直线,x-my+,2,=,0,与圆,x,2,+,(,y-,1),2,=,1,有两个不一样交点,则,(,),解析,:,由已知得直线与圆相交,所以圆心到直线距离,答案,:,B,8,.,做一做,:,若圆,(,x+,2),2,+y,2,=,9,与圆,(,x-,1),2,+,(,y+a,),2,=,64,内切,则实数,a=,.,解析,:,两圆圆心坐标分别为,(,-,2,0),(1,-a,),半径分别为,3,和,8,.,答案,:,4,9/41,9,.,做一做,:,求过直线,2,x+y+,4,=,0,和圆,x,2,+y,2,+,2,x-,4,y+,1,=,0,交点,且满足以下条件圆方程,.,(1),过原点,;,(2),面积最小,.,解,:,(1),设所求圆方程为,:,x,2,+y,2,+,2,x-,4,y+,1,+,(2,x+y+,4),=,0,即,x,2,+y,2,+,2(1,+,),x+,(,-,4),y+,1,+,4,=,0,.,此圆过原点,10/41,(2),依题意可知当圆心在直线,2,x+y+,4,=,0,上时,所求圆面积最小,.,11/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,求圆方程,【例,1,】,已知圆,C,关于,y,轴对称,经过点,A,(1,0),且被,x,轴分成两段弧长之比为,1,2,求圆,C,方程,.,思绪分析,:,先设出圆标准方程,然后利用点在圆上及弧长之比列出方程组求解即可,.,解,:,因为圆,C,关于,y,轴对称,所以圆心,C,在,y,轴上,故可设,C,(0,b,),圆,C,半径为,r,即圆方程为,x,2,+,(,y-b,),2,=r,2,又圆,C,被,x,轴分成两段弧长之比为,1,2,经过,A,(1,0),12/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟求圆方程两种方法,(1),直接法,:,利用圆性质、直线与圆、圆与圆位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆方程,.,(2),待定系数法,:,先设出圆方程,再由条件构建系数满足方程,(,组,),求得各系数,进而求出圆方程,.,13/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,1,设直线,y=x+,2,a,与圆,C,:,x,2,+y,2,-,2,ay-,2,=,0,相交于,A,B,两点,若,|AB|=,2 ,则圆,C,面积为,.,解析,:,圆,C,方程可化为,x,2,+,(,y-a,),2,=,2,+a,2,直线方程为,x-y+,2,a=,0,故圆,C,面积为,(2,+a,2,),=,4,.,答案,:,4,14/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,直线与圆、圆与圆位置关系应用,【例,2,】,(1),设直线,kx-y+,1,=,0,被圆,O,:,x,2,+y,2,=,4,所截弦中点轨迹为,C,则曲线,C,与直线,x+y-,1,=,0,位置关系为,(,),A.,相交,B.,相切,C.,相离,D.,不确定,(2),已知圆,C,1,:,x,2,+y,2,=m,与圆,C,2,:,x,2,+y,2,+,6,x-,8,y-,11,=,0,相切,则实数,m,值为,.,解析,:,(1),直线,kx-y+,1,=,0,恒过点,(0,1),且点,(0,1),在圆,O,内,又所截弦中点与点,(0,1),连线垂直于与点,(0,0),连线,则弦中点轨迹,C,为以点,(0,1),和点,(0,0),为直径两端点圆,其方程为,曲线,C,与直线,x+y-,1,=,0,相交,故选,A,.,15/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(2),因为圆,C,1,圆心在圆,C,2,内部,所以两圆只能内切,.,圆,C,2,方程可化为,(,x+,3),2,+,(,y-,4),2,=,36,因为两圆内切,所以有,=,5,解得,m=,1,或,m=,121,.,答案,:,(1)A,(2)1,或,121,反思感悟,处理直线与圆、圆与圆位置关系问题有几何法和代数法,但普通使用几何法处理,处理关键是找出圆心、半径及距离,含参类问题也要注意最终结果检验,.,16/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,2,(1),若直线,x-y+,1,=,0,与圆,(,x-a,),2,+y,2,=,2,有公共点,则实数,a,取值范围是,(,),A.,-,3,-,1,B.,-,1,3,C.,-,3,1,D.(,-,-,3,1,+,),(2),圆,x,2,+y,2,+,4,x-,4,y+,7,=,0,与圆,x,2,+y,2,-,4,x+,10,y+,13,=,0,公切线条数是,(,),A.1B.2C.3D.4,17/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解析,:,(1),圆,(,x-a,),2,+y,2,=,2,圆心,C,(,a,0),到直线,x-y+,1,=,0,距离为,d,半径分别为,r,1,=,1,r,2,=,4,则,dr,1,+r,2,即两圆相离,所以它们有,4,条公切线,.,答案,:,(1)C,(2)D,18/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆相关最值问题,【例,3,】,若实数,x,y,满足,(,x-,2),2,+y,2,=,3,则,最大值为,.,19/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟,处理与圆相关最值问题,应充分考虑圆几何性质,并依据代数式几何意义,借助数形结合思索求解,.,与圆相关最值问题,常见有以下几个类型,:,(2),形如,t=ax+by,最值问题,可转化为动直线截距最值问题,.,(3),形如,(,x-a,),2,+,(,y-b,),2,最值问题,可转化为动点与定点距离平方最值问题,.,20/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,3,若直线,l,:,ax+by+,1,=,0,一直平分圆,M,:,x,2,+y,2,+,4,x+,2,y+,1,=,0,周长,则,(,a-,2),2,+,(,b-,2),2,最小值为,(,),答案,:,B,21/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆相关弦及弦长问题,【例,4,】,(1),已知圆,C,:,x,2,+y,2,-,8,y+,12,=,0,直线,l,:,ax+y+,2,a=,0,.,当,a,为何值时,直线,l,与圆,C,相切,?,当直线,l,与圆交于,A,B,两点,且,|AB|=,2,时,求直线,l,方程,.,(2),已知圆,x,2,+y,2,+x-,6,y+m=,0,与直线,x+,2,y-,3,=,0,交于,P,Q,两点,O,为坐标原点,那么是否存在实数,m,使得,OP,OQ,?,若存在,求出,m,值,;,若不存在,请说明理由,.,思绪分析,:,(1),利用,d=r,列式,;,利用弦长公式列方程,;(2),经过原点和点,(,x,y,),直线斜率为,由直线与圆方程结构以,为未知数一元二次方程,由根与系数关系得出,k,OP,k,OQ,表示式,从而使问题得以处理,.,22/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解,:,(1),圆方程化为标准方程为,x,2,+,(,y-,4),2,=,4,即圆心为,C,(0,4),半径,r=,2,.,设,AB,中点为,D,则,CDB,为直角三角形,点,C,到直线,AB,距离为,直线,l,方程为,x-y+,2,=,0,或,7,x-y+,14,=,0,.,23/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,(2),由直线方程得,3,=x+,2,y,将其代入圆方程,x,2,+y,2,+x-,6,y+m=,0,整理得,(12,+m,),x,2,+,4(,m-,3),xy+,(4,m-,27),y,2,=,0,.,由题意知,x,0,经检验,符合题意,.,故存在,m=,3,使得,OP,OQ.,24/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,2,.,关于弦逆向问题,一定要将垂直、夹角或距离等条件用代数式表示出来,进而求得参数,.,25/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,4,(1),已知直线,x-y+a=,0,与圆心为,C,圆,x,2,+y,2,+,2,x-,4,y-,4,=,0,相交于,A,B,两点,且,AC,BC,则实数,a,值为,.,(2),已知圆,C,1,:,x,2,+y,2,+,2,x-,6,y+,1,=,0,圆,C,2,:,x,2,+y,2,-,4,x+,2,y-,11,=,0,.,求两圆公共弦所在直线方程及公共弦长,.,(1),解析,:,由题意,得圆心,C,坐标为,(,-,1,2),半径,r=,3,.,答案,:,0,或,6,26/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,两式相减并化简得,3,x-,4,y+,6,=,0,则,3,x-,4,y+,6,=,0,即为两圆公共弦所在直线方程,.,由题易知圆,C,1,圆心,C,1,(,-,1,3),半径,r=,3,.,C,1,到直线,3,x-,4,y+,6,=,0,距离,27/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆相关轨迹问题,【例,5,】,定长为,4,线段,AB,两个端点,A,B,分别在,x,轴和,y,轴上滑动,求线段,AB,中点,M,轨迹方程,.,思绪分析,:,要设出动点,M,及,A,B,坐标,并找出三点坐标之间关系,最终利用,|AB|=,4,化简即得,.,解,:,设线段,AB,中点,M,为,(,x,y,),线段,AB,端点,A,(,x,0,0),B,(0,y,0,),化简得,x,2,+y,2,=,4,所以线段,AB,中点,M,轨迹方程是,x,2,+y,2,=,4,.,28/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,反思感悟,求轨迹方法很多,但当前应掌握好直接法与相关点法,:,直接法关键是设出动点,直接将条件代数化化简即得,;,相关点法不但要设出所求动点坐标,还要设出与之联动相关点坐标,而且要找出它们坐标之间关系,再代数化化简即得,.,29/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,变式训练,5,已知点,O,(0,0),和点,B,(,m,0)(,m,0),动点,P,到点,O,和点,B,距离之比为,2,1,.,求,P,点轨迹,.,解,:,设,P,(,x,y,),由,|PO|,|PB|=,2,1,30/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,与圆相关切线问题,【典例】,求经过点,(1,-,7),且与圆,x,2,+y,2,=,25,相切直线方程,.,思绪点拨,:,方法,1:,采取代数法,依据当,=,0,时直线与圆相切来求斜率,k.,方法,2:,采取几何法,若直线与圆相切,则圆心到直线距离等于半径,.,方法,3:,利用过圆上一点,(,x,0,y,0,),切线方程为,x,0,x+y,0,y=r,2,求解,.,31/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解法,1,因为,1,2,+,(,-,7),2,=,50,25,所以点,(1,-,7),是圆外一点,.,由题易知切线斜率存在,所以设切线斜率为,k,由点斜式得,y+,7,=k,(,x-,1),即,y=k,(,x-,1),-,7,.,将上式代入圆方程,x,2,+y,2,=,25,得,x,2,+,k,(,x-,1),-,7,2,=,25,整理得,(,k,2,+,1),x,2,-,(2,k,2,+,14,k,),x+k,2,+,14,k+,24,=,0,令,=,(2,k,2,+,14,k,),2,-,4(,k,2,+,1)(,k,2,+,14,k+,24),=,0,整理得,12,k,2,-,7,k-,12,=,0,所以切线方程为,4,x-,3,y-,25,=,0,或,3,x+,4,y+,25,=,0,.,32/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解法,2,由题易知切线斜率存在,所以设所求直线斜率为,k,所以所求切线方程为,y+,7,=k,(,x-,1),整理成普通式为,kx-y-k-,7,=,0,.,所以切线方程为,4,x-,3,y-,25,=,0,或,3,x+,4,y+,25,=,0,.,33/41,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,一题多解,解法,3,设所求切线方程为,x,0,x+y,0,y=,25,(,x,0,y,0,),是圆上点,将点,(1,-,7),代入上式得,x,0,-,7,y,0,=,25,故所求切线方程为,4,x-,3,y-,25,=,0,或,3,x+,4,y+,25,=,0,.,名师点评,在求过定点圆切线方程时,应首先确定点与圆位置关系,:(1),若点在圆外,则切线应有两条,若依据点到直线,(,设成点斜式直线,),距离等于半径,求出切线只有一条,则说明还有一条斜率不存在直线,不要遗漏,;(2),若点在圆上,则切线只有一条,这条切线与圆心和该点连线垂直,垂足为该点,.,34/41,1,2,3,4,5,6,1,.,已知点,M,(,x,0,y,0,),是圆,x,2,+y,2,=a,2,(,a,0),内异于圆心一点,则直线,x,0,x+y,0,y=a,2,与该圆位置关系为,(,),A.,相切,B.,相交,C.,相离,D.,相切或相交,答案,:,C,35/41,1,2,3,4,5,6,2,.,若方程,a,2,x,2,+,(,a+,2),y,2,+,2,ax+a=,0,表示圆,则,a,值为,(,),A.,-,1B.2C.,-,1,或,2D.1,解析,:,由题意得,a,2,=a+,2,a,2,0,a+,20,解得,a=-,1,或,a=,2,.,因为,D,2,+E,2,-,总而言之,a=-,1,.,故选,A,.,答案,:,A,36/41,1,2,3,4,5,6,3,.,已知圆,C,:,x,2,+y,2,+mx-,4,=,0,上存在两点关于直线,x-y+,3,=,0,对称,则实数,m,值为,(,),A.8B.,-,4,C.6D.,无法确定,解析,:,圆上存在关于直线,x-y+,3,=,0,对称两点,则直线,x-y+,3,=,0,过圆,答案,:,C,37/41,1,2,3,4,5,6,4,.,已知圆,C,1,:(,x-,2),2,+,(,y-,3),2,=,1,圆,C,2,:(,x-,3),2,+,(,y-,4),2,=,9,M,N,分别是圆,C,1,C,2,上动点,P,为,x,轴上动点,则,|PM|+|PN|,最小值为,(,),解析,:,圆,C,1,C,2,如图所表示,.,设,P,是,x,轴上任意一点,则,|PM|,最小值为,|PC,1,|-,1,同理,|PN|,最小值为,|PC,2,|-,3,则,|PM|+|PN|,最小值为,|PC,1,|+|PC,2,|-,4,.,作,C,1,关于,x,轴对称点,C,1,(2,-,3),连接,C,1,C,2,与,x,轴交于点,P,连接,PC,1,依据三角形两边之和大于第三边可知,|PC,1,|+|PC,2,|,最小值为,|C,1,C,2,|,则,|PM|+|PN|,最小值为,5,-,4,.,选,A,.,答案,:,A,38/41,1,2,3,4,5,6,5,.,已知点,P,是圆,x,2,+y,2,=,16,上动点,点,A,为,(12,0),M,为,PA,中点,则点,M,轨迹方程是,.,解析,:,设,M,(,x,y,),A,(12,0),M,为,PA,中点,P,(2,x-,12,2,y,),.,点,P,为圆,x,2,+y,2,=,16,上动点,(2,x-,12),2,+,4,y,2,=,16,即,(,x-,6),2,+y,2,=,4,.,答案,:,(,x-,6),2,+y,2,=,4,39/41,1,2,3,4,5,6,6,.,已知点,M,(3,1),直线,ax-y+,4,=,0,及圆,(,x-,1),2,+,(,y-,2),2,=,4,.,(1),求过,M,点圆切线方程,;,(2),若直线,ax-y+,4,=,0,与圆相切,求,a,值,;,(3),若直线,ax-y+,4,=,0,与圆交于,A,B,两点,且弦,AB,长为,2 ,求,a,值,.,解,:,(1),圆心为,C,(1,2),半径为,r=,2,.,当直线斜率不存在时,直线方程为,x=,3,.,由圆心,C,(1,2),到直线,x=,3,距离为,3,-,1,=,2,=r.,知此时直线与圆相切,.,当直线斜率存在时,设其方程为,y-,1,=k,(,x-,3),即,kx-y+,1,-,3,k=,0,.,综上可知过,M,点圆切线方程为,x=,3,或,3,x-,4,y-,5,=,0,.,40/41,1,2,3,4,5,6,41/41,
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