资源描述
,1.3.1,三角函数周期性,第,1,章,1.3,三角函数图象和性质,1/31,学习目标,1.,了解周期函数、周期、最小正周期定义,.,2.,了解函数,y,sin,x,，,y,cos,x,，,y,tan,x,都是周期函数，都存在最小正周期,.,3.,会求函数,y,A,sin(,x,),及,y,A,cos(,x,),周期,.,2/31,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,3/31,问题导学,4/31,知识点一周期函数,思索,单摆运动、时钟圆周运动、四季改变等，都含有周期性改变规律，对于正弦、余弦函数是否也含有周期性？请说明你理由,.,答案,由单位圆中三角函数线可知，正弦、余弦函数值改变展现出周期现象,.,每当角增加,(,或降低,)2,，所得角终边与原来角终边相同，故两角正弦、余弦函数值也分别相同,.,即有,sin(2,x,),sin,x,，,cos(2,x,),cos,x,.,故正弦函数和余弦函数也含有周期性,.,答案,5/31,梳理,(1),周期函数定义,普通地，对于函数,f,(,x,),，假如存在一个,T,，使得定义域内每一个,x,值,，都满足,，那么函数,f,(,x,),就叫做周期函数，非零常数,T,叫做这个函数周期,.,(2),最小正周期,对于一个周期函数,f,(,x,),，假如在它全部周期中存在一个,，那么这个最小正数就叫做,f,(,x,),最小正周期,.,最小正数,非零常数,f,(,x,T,),f,(,x,),6/31,知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数周期,思索,6,是正弦函数,y,sin,x,(,x,R,),一个周期吗？,答案,是,.,由,sin(6,x,),sin,x,恒成立，依据周期函数定义，可知,6,是正弦函数,y,sin,x,(,x,R,),一个周期,.,答案,7/31,梳理,(1),正弦函数、余弦函数周期,正弦函数和余弦函数都是周期函数，,2,k,(,k,Z,且,k,0),都是它们周期，它们最小正周期都是,2.,(2),正切函数周期,正切函数是周期函数，最小正周期是,.,(3),函数,y,A,sin(,x,),和,y,A,cos(,x,),周期,普通地，函数,y,A,sin(,x,),和,y,A,cos(,x,)(,其中,A,，,，,为常数，,且,A,0,，,0),周期,T,.,8/31,题型探究,9/31,例,1,求以下函数周期：,类型一求三角函数周期,解答,10/31,(3),y,|sin,x,|.,解,由,y,sin,x,周期为,2,，可猜测,y,|sin,x,|,周期应为,.,验证：,|sin(,x,)|,|,sin,x,|,|sin,x,|,，,由周期函数定义知,y,|sin,x,|,周期是,.,解答,11/31,反思与感悟,求三角函数周期，通常有三种方法：,(1),定义法,.,(2),公式法：对,y,A,sin(,x,),或,y,A,cos(,x,)(,A,，,，,是常数，且,A,0,，,0),，有,T,.,(3),观察法,(,图象法,).,12/31,答案,解析,4,2,13/31,类型二利用周期求函数值,解答,14/31,反思与感悟,(1),利用函数周期性，能够把,x,nT,(,n,Z,),函数值转化为,x,函数值,.,(2),利用函数性质，将所求转化为可求,x,函数值，从而可处理求值问题,.,15/31,解答,16/31,解,f,(,x,),是周期函数，且最小正周期为,，,f,(,x,),是偶函数，,17/31,类型三函数周期性综合应用,例,3,设,f,(,x,),是,R,上奇函数，,f,(,x,2),f,(,x,),，当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,，求,f,(7),值,.,解,f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,4),f,(,x,2),f,(,x,),，,f,(,x,),周期为,4.,又,f,(,x,),是奇函数，,f,(7),f,(8,1),f,(,1),f,(1).,又当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,，,f,(7),f,(1),1.,解答,18/31,引申探究,将例,3,中条件,f,(,x,2),f,(,x,),改为：,f,(,x,),图象关于,x,1,对称，其余条件不变，求,f,(7),值,.,解,函数,f,(,x,),为奇函数，则,f,(,x,),f,(,x,).,又函数,f,(,x,),图象关于,x,1,对称，,则,f,(2,x,),f,(,x,),f,(,x,),，,f,(4,x,),f,(2,x,),2,f,(2,x,),f,(,x,),，,f,(,x,),是以,4,为周期周期函数，,从而得,f,(7),f,(2,4,1),f,(,1),f,(1),1.,解答,19/31,反思与感悟,(1),解答这类题目标关键是利用化归思想，借助周期函数定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可,.,(2),假如一个函数是周期函数，倘若要研究该函数相关性质，结合周期函数定义可知，完全能够只研究该函数一个周期上特征，再加以推广便能够得到函数在定义域内相关性质,.,20/31,跟踪训练,3,设函数,f,(,x,)(,x,R,),是以,2,为周期函数，且,x,0,，,2,时，,f,(,x,),(,x,1),2,.,(1),求,f,(3),；,解,函数,f,(,x,)(,x,R,),是以,2,为周期函数，且,x,0,，,2,时，,f,(,x,),(,x,1),2,，,f,(3),f,(3,2),f,(1),(1,1),2,0.,解答,21/31,(2),当,x,2,，,4,时，求,f,(,x,),解析式,.,解,f,(,x,),周期为,2,，,当,x,2,，,4,时有,f,(,x,),f,(,x,2),，,又,x,2,0,，,2,，,f,(,x,2),(,x,2,1),2,(,x,3),2,，,f,(,x,),(,x,3),2,.,即,x,2,，,4,时，,f,(,x,),(,x,3),2,.,解答,22/31,当堂训练,23/31,1,2,3,4,1.,以下说法中，正确是,.(,填序号,),因为,sin(,x,),sin,x,，所以,是函数,y,sin,x,一个周期；,因为,tan(2,x,),tan,x,，所以,2,是函数,y,tan,x,最小正周期；,解析,依据周期函数定义轻易知道,均是错误，同时,是正确；,对于,，我们只能得出,2,是函数,y,tan,x,一个周期，但不是最小正周期,.,答案,解析,24/31,1,2,3,4,答案,解析,8,25/31,1,2,3,4,答案,解析,26/31,1,2,3,4,4.,求以下函数最小正周期,.,解答,27/31,1,2,3,4,解答,28/31,规律与方法,1.,函数周期性了解：,(1),对于,“,f,(,x,T,),f,(,x,),”,是定义域内恒等式，即对定义域内任意一个,x,，,x,T,仍在定义域内且等式成立,.,(2),周期函数周期不是惟一，假如,T,是函数,f,(,x,),周期，那么,kT,(,k,Z,，,k,0),也一定是函数周期,.,(3),并不是全部周期函数都有最小正周期,.,如常数函数,f,(,x,),C,没有最小正周期,.,29/31,2.,求三角函数周期，通常有三种方法：,(1),定义法,.,(2),公式法：对,y,A,sin(,x,),或,y,A,cos(,x,)(,A,，,，,是常数，且,A,0,，,0),，,T,.,(3),观察法,(,图象法,).,三种方法各有所长，要依据函数式结构特征，选择适当方法求解，为了防止出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数次数为,1.,30/31,本课结束,31/31,
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