资源描述
-,*,-,3.1.1,方程根与函数零点,1/29,2/29,方程根与函数零点,3/29,4/29,做一做,1,已知函数,f,(,x,),在区间,-,5,2,上图象如图所表示,依据图象写出方程,f,(,x,),=,0,根是,.,答案,:,-,4,-,2,1,做一做,2,函数,y=x,2,-,1,零点是,.,答案,:,1,-,1,5/29,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),函数,f,(,x,),零点就是函数,y=f,(,x,),图象与,x,轴交点,.,(,),(2),在闭区间,a,b,上连续曲线,y=f,(,x,),若,f,(,a,),f,(,b,),0,则函数,y=f,(,x,),在,区间,(,a,b,),内没有零点,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),6/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究,一,求函数零点,【例,1,】,判断以下函数是否存在零点,假如存在,请求出零点,.,(1),f,(,x,),=-,8,x,2,+,7,x+,1;,(2),f,(,x,),=,1,+,log,3,x,;,(3),f,(,x,),=,4,x,-,16;,(4),f,(,x,),=.,分析,:,可经过解方程,f,(,x,),=,0,求得函数零点,.,7/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,8/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,9/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,10/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究,二,判断函数零点个数,11/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,解,:,(,方法一,),f,(0),=,1,+,0,-,2,=-,1,0,f,(,x,),在区间,(0,2),内必定存在实根,.,又,f,(,x,),=,2,x,+,lg(,x+,1),-,2,在区间,(,-,1,+,),上为增函数,故,f,(,x,),有且只有一个零点,.,(,方法二,),令,h,(,x,),=,2,-,2,x,g,(,x,),=,lg(,x+,1),在同一平面直角坐标系中作出,h,(,x,),与,g,(,x,),图象如图所表示,.,由图象知,g,(,x,),=,lg(,x+,1),和,h,(,x,),=,2,-,2,x,图象有且只有一个交点,即,f,(,x,),=,2,x,+,lg(,x+,1),-,2,有且只有一个零点,.,12/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,13/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练,2,判断函数,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,零点个数,.,解,:,(,方法一,),令,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x=,0,则,ln,x=,3,-x.,在同一平面直角坐标系中分别画出函数,y=,ln,x,与,y=-x+,3,图象,如图所表示,.,由图可知函数,y=,ln,x,与,y=-x+,3,图象只有一个交点,即函数,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,只有一个零点,.,(,方法二,),因为,f,(3),=,ln,3,0,f,(2),=-,1,+,ln,2,=,ln,0,所以,f,(3),f,(2),0,说明函数,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,在区间,(2,3),内有零点,.,又,f,(,x,),=x-,3,+,ln,x,在区间,(0,+,),上是增函数,所以原函数只有一个零点,.,14/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究,三,判断函数零点所在大致区间,【例,3,】,方程,log,3,x+x=,3,解所在区间为,(,),A.(0,2)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),分析,:,结构函数,f,(,x,),=,log,3,x+x-,3,转化为确定函数,f,(,x,),零点所在区间,.,解析,:,令,f,(,x,),=,log,3,x+x-,3,则,f,(1),=,log,3,1,+,1,-,3,=-,2,0,f,(2),=,log,3,2,+,2,-,3,=,log,3,0,f,(4),=,log,3,4,+,4,-,3,=,log,3,12,0,则函数,f,(,x,),零点所在区间为,(2,3),所以方程,log,3,x+x=,3,解所在区间为,(2,3),.,答案,:,C,15/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,16/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,17/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数与方程思想在一元二次方程根分布问题中应用,典例,关于,x,方程,ax,2,-,2(,a+,1),x+a-,1,=,0,求,a,为何值时,:,(1),方程有一个正根和一个负根,;,(2),方程两个根都大于,1,.,【审题视角】,题意,画草图,转换为数量关系,求解,解,:,令,f,(,x,),=ax,2,-,2(,a+,1),x+a-,1,.,(1),当方程有一个正根和一个负根时,f,(,x,),对应草图可能如图,所表示,.,图,18/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,19/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,图,20/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,21/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,22/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,23/29,探究一,探究二,探究三,思想方法,图,图,24/29,1 2 3 4 5,25/29,1 2 3 4 5,2,.,若,x,0,是方程,ln,x+x=,4,解,则,x,0,所在区间是,(,),A.(0,1)B.(1,2),C.(2,3)D.(3,4),解析,:,设,f,(,x,),=,ln,x+x-,4,则,f,(1),=-,3,0,f,(2),=,ln,2,-,2,0,f,(4),=,ln,4,0,则,x,0,(2,3),.,答案,:,C,26/29,1 2 3 4 5,3,.,若函数,f,(,x,),=x,2,+,2,x+a,没有零点,则实数,a,取值范围是,.,解析,:,函数,f,(,x,),=x,2,+,2,x+a,没有零点,就是方程,x,2,+,2,x+a=,0,没有实数解,所以,=,4,-,4,a,1,.,答案,:,(1,+,),27/29,1 2 3 4 5,4,.,函数,y=,2,|x|,+x-,2,零点个数为,.,解析,:,令,2,|x|,+x-,2,=,0,得,2,|x|,=,2,-x.,在同一平面直角坐标系中作出函数,y=,2,|x|,与函数,y=,2,-x,图象,如图,图象有,2,个交点,即方程,2,|x|,+x-,2,=,0,有,2,个实数根,也就是函数有,2,个零点,.,答案,:,2,28/29,1 2 3 4 5,5,.,若函数,f,(,x,),=x,2,+x-a,一个零点是,3,求实数,a,值,并求函数,f,(,x,),其余零点,.,解,:,由题意知,f,(3),=,0,即,3,2,+,3,-a=,0,解得,a=,12,.,所以,f,(,x,),=x,2,+x-,12,.,由,x,2,+x-,12,=,0,得,x=,3,或,x=-,4,所以函数,f,(,x,),其余零点是,-,4,.,29/29,
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