资源描述
-,*,-,1,.,2,.,2,组合,1/26,1,.,正确了解组合意义,并能正确区分排列与组合,.,2,.,掌握组合数计算公式、组合数性质以及组合数与排列数之间关系,并能利用这些知识处理一些简单组合应用题,.,3,.,合理进行分类、分步,综合应用排列组合知识处理实际问题,.,2/26,1,2,3,1,.,组合相关概念,(1),定义,:,普通地,从,n,个不一样元素中取出,m,(,m,n,),个元素,合成一组,叫做从,n,个不一样元素中取出,m,个元素一个组合,.,(2),相同组合,:,只要两个组合元素,完全相同,不论元素次序怎样,都是相同组合,.,名师点拨,1,.,组合定义包含两个基本内容,:,一是,“,取出元素,”;,二是,“,合成一组,”,.,“,合成一组,”,表示与元素次序无关,.,2,.,组合与排列异同,:,组合与排列都是,“,从,n,个元素中任意取出,m,(,m,n,),个元素,”,不一样是,组合要求元素,“,不论元素次序合成一组,”,而排列要求元素,“,按照一定次序排成一列,”,所以区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看取出元素有没有次序,.,3/26,1,2,3,【做一做,1,】,以下问题,:,从,a,b,c,d,四名学生中选出,2,名学生,有多少种不一样选法,?,从,a,b,c,d,四名学生中选出,2,名学生完成两件不一样工作,有多少种不一样选法,?,a,b,c,d,四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场,?,a,b,c,d,四支足球队争夺冠亚军,有多少种不一样结果,?,其中是组合问题有,是排列问题有,.,(,填序号,),解析,:,无次序,是组合问题,;,2,名学生完成两件不一样工作是排列问题,;,单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有次序,是组合问题,;,争夺冠亚军是有次序,是排列问题,.,答案,:,4/26,1,2,3,5/26,1,2,3,名师点拨,1,.,组合与组合数是两个不一样概念,如从,3,个不一样元素,a,b,c,中取出,2,个元素组合为,ab,bc,ac,其中每一个叫做一个组合,即组合不是数,是完成一件事一个方法,而该问题组合数是,3,.,2,.,组合数公式推导思绪是依据分步乘法计数原理,遵照从特殊到普通标准,将求从,4,个不一样元素中任取,3,个排列数分成先,“,求组合数,”,后求,“,全排列数,”,两步来完成,这么就清楚地揭示出组合与排列对应关系,从而利用这种对应关系和已知排列数公式得到组合数公式,.,6/26,1,2,3,【做一做,2,】,从,9,名学生中选出,3,名参加,“,希望英语,”,口语比赛,不一样选法种数为,(,),A.504B.729,C.84D.27,答案,:,C,7/26,1,2,3,8/26,1,2,3,答案,:,(1)190,(2)161 700,9/26,对组合定义了解要注意哪些问题,剖析,(1),假如两个组合中元素完全相同,那么不论它们次序怎样都是相同组合,.,当两个组合中元素不完全相同,(,即使只有一个元素不一样,),就是不一样组合,.,比如,从,a,b,c,三个不一样元素中取出两个元素全部组合有,3,个,它们分别是,ab,ac,bc.ba,ab,是相同组合,而,ab,ac,是不一样组合,.,(2),区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出元素是否与次序相关,若交换某两个元素位置对结果产生影响,则是排列问题,而交换任意两个元素位置对结果没有影响,则是组合问题,.,比如,在数运算当中,加法运算和乘法运算就是组合问题,除法运算则是排列问题,;“,寄信,”,是排列问题,“,握手,”,是组合问题等,.,10/26,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,判断以下问题是排列问题,还是组合问题,.,(1),从,1,2,3,9,这,9,个数字中任取,3,个,组成一个三位数,这么三位数共有多少个,?,(2),从,1,2,3,9,这,9,个数字中任取,3,个,然后把这,3,个数字相加得到一个和,这么和共有多少个,?,(3),从,a,b,c,d,这,4,名学生中选,2,名学生,去完成同一件工作有多少种不一样选法,?,(4),要求每两人相互通话一次,5,人共通了多少次电话,?,(5)5,个人相互各写一封信,共写了多少封信,?,分析,观察取出元素与次序相关还是无关,确定是排列问题,还是组合问题,.,11/26,题型一,题型二,题型三,题型四,解,:,(1),取出,3,个数字后,假如改变,3,个数字次序,会得到不一样三位数,此问题不但与取出元素相关,而且与元素安排次序相关,是排列问题,.,(2),取出,3,个数字之后,不论怎样改变这,3,个数字之间次序,其和均不变,此问题只与取出元素相关,而与元素安排次序无关,是组合问题,.,(3)2,名学生完成是同一件工作,没有次序,是组合问题,.,(4),甲与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电话,无次序区分,是组合问题,.,(5),发信人与收信人是有区分,是排列问题,.,12/26,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,区分排列与组合关键是看结果是否与元素次序相关,若交换某两个元素位置对结果产生影响,则是排列问题,;,若交换任意两个元素位置对结果没有影响,则是组合问题,.,所以,排列问题与选取元素次序相关,组合问题与选取元素次序无关,.,由此可知,定序问题属于组合,即排列时,假如限定一些元素保持要求次序,那么定序这,n,个元素属于组合问题,.,13/26,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,1,】,(1),从,1,3,5,7,中任取两个数相除,能够得到多少个不一样商,?,(2),从,1,3,5,7,中任取两个数相乘,能够得到多少个不一样积,?,(3),请指出问题,(1),和问题,(2),不一样之处,.,解,:,(1),从,1,3,5,7,中任取两个数相除,因为取出两个数若先后次序不一样,得到商不一样,所以不一样商个数为,=,4,3,=,12,.,(2),从,1,3,5,7,中任取两个数相乘,所得不一样积为,1,3,=,3,1,5,=,5,1,7,=,7,3,5,=,15,3,7,=,21,5,7,=,35,.,共,6,个,.,(3),问题,(1),所求解与取出元素先后次序相关,.,如取出元素,1,和,3,则商为,=,3,两个不一样结果,是排列问题,.,问题,(2),所求解与取出元素先后次序无关,如取出,1,和,3,相乘后得积是,3,与,1,3,次序无关,是组合问题,.,14/26,题型一,题型二,题型三,题型四,15/26,题型一,题型二,题型三,题型四,答案,:,(1)466,(2)124,(3)330,16/26,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,组合数公式连乘形式表达了组合数与对应排列数关系,在计算详细组合数时会经惯用到,.,组合数公式阶乘形式主要作用是对含有字母组合数式子变形或证实,.,组合数性质,1,能够用来进行转化,降低计算量,;,组合数性质,2,主要用于计算或化简多个组合数连加,此时往往需要先用性质,1,进行适当转化,使得有两个组合数为下标相同,上标差,1,形式,再重复利用性质,2,即可化成最简形式,.,17/26,题型一,题型二,题型三,题型四,18/26,题型一,题型二,题型三,题型四,19/26,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,3,】,(1),某组织从,4,名男运动员、,6,名女运动员中各选一名运动员作为最正确运动员,不一样选法种数为,(,),A.12B.30C.15D.24,(2),从,(1),中,4,名男运动员、,6,名女运动员中选出,3,人参加某公益活动,则至多有,2,名男运动员选法有,种,.,20/26,题型一,题型二,题型三,题型四,解析,:,(1),第一步选男运动员有,种选法,第二步选女运动员有,答案,:,(1)D,(2)116,21/26,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,解答有限制条件组合问题基本方法是,“,直接法,”,和,“,间接法,(,排除法,)”,.,其中用直接法求解时,应坚持,“,特,殊元素优先选取,”,标准,即优先安排特殊元素,再安排其它元素,.,而选择间接法标准是,“,正难则反,”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,看是否简捷些,尤其是包括,“,至多,”“,最少,”,等组合问题时更是如此,.,此时正确了解,“,都不是,”“,不都是,”“,至多,”“,最少,”,等词语确实切含义是处理这些组合问题关键,.,22/26,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,车间有,11,名工人,其中,5,名男工是钳工,4,名女工是车工,另外,2,名老师傅既能当车工又能当钳工,.,现在要在这,11,名工人中选派,4,名钳工,4,名车工修理一台机床,则有多少种选派方法,?,23/26,题型一,题型二,题型三,题型四,易错点,:,曲解题意而致错,【例,4,】,有编号分别为,1,2,3,4,4,个盒子和,4,个小球,要求把小球全部放入盒子中,.,问,:,(1),共有多少种放法,?,(2),恰有,1,个空盒,有多少种放法,?,(1),错解,由已知,相当于对,1,2,3,4,全排列,故有,种放法,.,错因分析,没有了解题意,这里任务是把小球放入盒中即可,并没有要求每盒中放,1,个小球,.,24/26,题型一,题型二,题型三,题型四,错因分析,错解属于重复计数问题,.,若取出,3,个小球为,1,号,2,号,3,号,则,4,号小球放入盒中时,其中一个方式为,1,4,2,3;,若取出,3,个小球为,2,号,3,号,4,号,则,1,号小球放入盒中时,其中也有一个方式为,2,3,1,4,故出现重复计数,.,25/26,题型一,题型二,题型三,题型四,(1),正解,1,号小球可放入任意,1,个盒子中,有,4,种放法,.,同理,2,号、,3,号、,4,号小球也各有,4,种放法,故共有,4,4,=,256,种放法,.,反思,解第,(2),题时先把小球分成,3,组,再排就不轻易犯错,这也是处理排列、组合综合题方法,即先选后排,.,26/26,
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