资源描述
-,*,-,4.1,.,2,函数极值,1/31,2/31,1,.,极值与极值点,(1),在包含,x,0,一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在任何一点函数值都小于或等于,x,0,点函数值,称点,x,0,为函数,y=f,(,x,),极大值点,其函数值,f,(,x,0,),为函数,极大值,.,(2),在包含,x,0,一个区间,(,a,b,),内,函数,y=f,(,x,),在任何一点函数值都大于或等于,x,0,点函数值,称点,x,0,为函数,y=f,(,x,),极小值点,其函数值,f,(,x,0,),为函数,极小值,.,(3),函数极大值与极小值统称为函数,极值,极大值点与极小值点统称为,极值点,.,(4),极值是函数在一个适当区间内,局部,性质,函数一些极大值有时候比其它极大值小,甚至,可能比一些极小值还小,.,3/31,名师点拨,(1),函数在一个区间端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数极值点,.,(2),在一个给定区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点,;,函数能够只有极大值,没有极小值,或者只有极小值,没有极大值,也可能现有极大值,又有极小值,.,极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小,.,【做一做,1,】,以下说法不正确是,(,),A.,函数,y=x,2,有极小值,B.,函数,y=,sin,x,有没有数个极值,C.,函数,y=,2,x,没有极值,D.,x=,0,是函数,y=x,3,极值点,答案,:,D,4/31,2,.,函数极值求法,【做一做,2,】,函数,f,(,x,),=-,2,x,3,+,3,x,2,+,1,极大值与极小值分别等于,(,),A.0,1B.,-,1,0C.,-,2,-,1D.1,2,解析,:,f,(,x,),=-,6,x,2,+,6,x=-,6,x,(,x-,1),令,f,(,x,),=,0,得,x=,0,或,x=,1,当,x,(,-,0),时,f,(,x,),0,当,x,(1,+,),时,f,(,x,),0,所以当,x=,0,时,函数取极小值,f,(0),=,1;,当,x=,1,时,函数取极大值,f,(1),=,2,.,答案,:,D,5/31,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打“,”,错误打“,”,.,(1),导数为,0,点一定是极值点,.,(,),(2),函数极大值一定大于极小值,.,(,),(3),在定义域上单调函数一定没有极值,.,(,),(4),对于任意函数,极值点处导数值一定等于,0,.,(,),(5),三次函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+bx+c,最多有两个极值,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),6/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,按照求函数极值步骤,借助表格进行求解,.,7/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,(1),函数定义域为,R,f,(,x,),=x,2,-,2,x-,3,.,令,f,(,x,),=,0,得,x=,3,或,x=-,1,.,当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,),改变情况以下表,:,8/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,9/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,10/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,11/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用导数研究函数极值时,普通应首先考虑函数定义域,然后求出函数导数,得到导数为零点,这些点将整个定义域分为若干个区间,将,x,f,(,x,),f,(,x,),在每个区间内改变情况列在一个表格中,观察导数为零点左、右两侧导数值是否异号,若异号,则是极值点,不然,不是极值点,这么经过表格能够清楚地判断在哪个点处取得极值,是极大值还是极小值,.,12/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,13/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,14/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),=x,3,-ax,2,-ax+b.,(1),若函数在,x=-,2,处取得极值,5,求实数,a,b,值,;,(2),若函数在,R,上不存在极值,求实数,a,取值范围,.,分析,(1),可利用,f,(,-,2),=,0,f,(,-,2),=,5,建立,a,b,方程组求解,;(2),依据方程,f,(,x,),=,0,不存在两个不一样实数根求解,.,解,(1),因为,f,(,x,),=x,3,-ax,2,-ax+b,所以,f,(,x,),=,3,x,2,-,2,ax-a,依题意可得,f,(,-,2),=,0,f,(,-,2),=,5,15/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),f,(,x,),=,3,x,2,-,2,ax-a.,若方程,f,(,x,),=,0,没有实数根,则函数在,R,上不存在极值,这时,=,(,-,2,a,),2,+,12,a,0,解得,-,3,a,0,所以,f,(,x,),在,R,上不存在极值,.,当,a=,0,时,f,(,x,),=,3,x,2,虽有,f,(0),=,0,但当,x,0,时总有,f,(,x,),0,所以,f,(,x,),在,R,上不存在极值,.,若方程,f,(,x,),=,0,有两个不相等实数根,x,1,x,2,(,x,1,0,于是,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在区间,(1,+,),上是增加,正确,;,当,x-,1,时,xf,(,x,),0,.,当,-,1,x,0,所以,f,(,x,),0,.,故函数,f,(,x,),在,x=-,1,处取得极大值,正确,;,当,x,(,-,1,0),时,f,(,x,),0,所以函数,f,(,x,),在区间,(,-,1,0),上是降低,错,;,当,0,x,1,时,xf,(,x,),0,于是,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在区间,(0,1),上是降低,而在区间,(1,+,),上是增加,所以函数,f,(,x,),在,x=,1,处取得极小值,故,正确,.,答案,:,20/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,这类函数图像问题是利用导数研究函数极值问题中较为常见一个题型,解答这类问题关键是选准出发点,对于导函数图像,我们重点考虑其在哪个区间上为正,哪个区间上为负,在哪个点处与,x,轴相交,在该点附近,导函数值是怎样改变,若是由正值变为负值,则该点处取得极大值,;,若由负值变为正值,则该点处取得极小值,.,21/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,已知,f,(,x,),=ax,3,+bx,2,+c,其导函数,f,(,x,),图像如图所表示,则函数,f,(,x,),极大值是,(,),A.,-,2,a+c,B.,-,4,a+c,C.,-,3,a,D.,c,解析,:,由导函数,f,(,x,),图像知,当,0,x,0;,当,x,2,时,f,(,x,),0;,当,x=,2,时,f,(,x,),=,0,.,又,f,(,x,),=,3,ax,2,+,2,bx,所以,b=-,3,a,f,(,x,),=ax,3,-,3,ax,2,+c,所以函数,f,(,x,),极大值为,f,(2),=-,4,a+c,故选,B,.,答案,:,B,22/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,忽略极值存在条件致误,【典例】,已知函数,f,(,x,),=x,3,+,6,mx,2,+,4,nx+,8,m,2,在,x=-,2,处取得极值,且极值为,0,求,m+,4,n,值,.,易错分析,本题常见错误是,依据,f,(,-,2),=,0,f,(,-,2),=,0,求得,m,n,两组值后,不依据极值存在条件进行检验取舍,造成增解,.,23/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,f,(,x,),=,3,x,2,+,12,mx+,4,n,当,m=,1,n=,3,时,f,(,x,),=,3,x,2,+,12,x+,12,=,3(,x+,2),2,0,所以,f,(,x,),无极值,不符合题意,;,当,m=,2,n=,9,时,f,(,x,),=,3,x,2,+,24,x+,36,=,3(,x+,2)(,x+,6),当,-,6,x-,2,时,f,(,x,),-,2,时,f,(,x,),0,故,f,(,x,),在,x=-,2,处取得极值,符合题意,.,综上,m=,2,n=,9,所以,m+,4,n=,38,.,24/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,“,f,(,x,0,),=,0”,是,“,f,(,x,0,),为极值必要不充分条件,”,所以由,f,(,x,0,),=,0,求得,m,n,值以后要验证在,x=x,0,左右两侧导数值符号是否相反,才能确定函数是否在,x,0,点处取得极值,.,在已知函数极值点与极值条件下,求参数值时,务必注意这一点,.,25/31,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,若函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+x,在,R,上存在极值,则实数,a,取值范围是,.,解析,:,f,(,x,),=,2,x,2,+,2,ax+,1,因为函数在,R,上存在极值,所以方程,f,(,x,),=,2,x,2,+,2,ax+,1,=,0,应有两个不相等实数根,所以,=,4,a,2,-,8,0,解得,26/31,1 2 3 4 5,1,.,函数,y=,2,x,3,-,3,x,2,(,),A.,在,x=,0,处取极大值,无极小值,B.,在,x=,1,处取极小值,无极大值,C.,在,x=,0,处取极大值,在,x=,1,处取极小值,D.,以上都不对,解析,:,y=,6,x,(,x-,1),令,y=,0,得,x=,0,或,x=,1,当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,),改变情况以下,:,所以在,x=,0,处取极大值,在,x=,1,处取极小值,.,答案,:,C,27/31,1 2 3 4 5,答案,:,C,28/31,1 2 3 4 5,3,.,已知定义在,(,a,b,),上可导函数,f,(,x,),导函数,f,(,x,),图像如图所表示,则,f,(,x,),极值点个数为,(,),A.1B.2C.3D.4,解析,:,由函数在极值点处左右两侧导数值符号相反可知,函数一共有,3,个极值点,.,答案,:,C,29/31,1 2 3 4 5,4,.,若,x=-,2,与,x=,4,是函数,f,(,x,),=x,3,+ax,2,+bx,两个极值点,则,a-b=,.,解析,:,依题意有,-,2,和,4,是方程,3,x,2,+,2,ax+b=,0,两个根,所以,a=-,3,b=-,24,a-b=,21,.,答案,:,21,30/31,1 2 3 4 5,31/31,
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