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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学归纳法,1/37,请问：,以上三个结论正确吗？为何,?,得出以上结论所用方法有什么共同点和什么不一样点,问题,1,：,今天，据观察第一个到学校是男同学，第二个到学校也是男同学，第三个到学校还是男同学，于是得出：这所学校里学生都是男同学。,问题,3,：,教师依据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”,问题,2,：,三角形内角和为,180,，,四边形内角和为,2180,五边形内 角和为,3180,，于是有：凸,n,边形内角和为,(n-2),180,。,共同点：均用了归纳法得出结论；不一样点：问题,1,、,2,是用不完全 归纳法，问题,3,是用完全归纳法。,一,、,提出问题,1,、错,2,、对,3,、对,2/37,二、概念,1,、,归纳法定义：,对于某类事物，由它一些特殊事例或其全部可能情况,，,归纳出普通结论推理方法，叫,归纳法,。,2,、归纳法分类：,归纳法,完全归纳法,不完全归纳法,想一想：,由两种归纳法得出结论一定正确吗？,说 明：,（,1,）不完全归纳法有利于发觉问题，但结论,不一定正确。,（,2,）完全归纳法结论可靠，但一一查对困难。,提出问题,怎样寻找一个严格推理归纳法？,3/37,思索？,有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么方法？普通地，多米诺骨牌游戏原理是什么？,(,条件是什么）,创设情境,第一块骨牌倒下；,任意相邻两块骨牌，前一块倒下一定造成后一块倒下,两个条件作用：,条件：奠基；条件：递推关系,4/37,二、挖掘内涵、形成概念：,证实一些与自然数相关数学题,可用以下方法来证实它们正确性,:,(1),验证,当,n,取,第一个值,n,0,(,比如,n,0,=1),时命题成立,(2),假设,当,n=k(k,N,*,，,kn,0,),时命题成立,证实当,n=k+1,时命题也成立,完成这两步，就能够断定这个命题对从,n,0,开始全部正整数,n,都成立。这种证实方法叫做,数学归纳法。,验证,n=n,0,时命题成立,若,当,n=k(,kn,0,),时命题成立,证实当,n=k+1,时命题也成立,命题对从,n,0,开始全部正整数,n,都成立。,【,归纳奠基,】,【,归纳递推,】,5/37,例题：用数学归纳法证实,6/37,7/37,（二）、数学归纳法步骤,依据,(1)(2),知对任意 时命题成立。,注：,（,1,）,证实当 取第一个值 或 时结论正确,（,2,）,假设当 时结论正,确，并证实当 时结论也正确。,两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结论普遍性；仅有第二步没有第一步，就失去了,递推依据,。,只有把第一、二步结论结合在一起才能得出普遍性结论。所以完成一二两步后，还要做一个,总结论,。,（,3,）数学归纳法用来证实与,正整数,相关命题。,（,1,）,（,2,）,8/37,用数学归纳法证实：,练习,1,9/37,用数学归纳法证实：,证实：,请你来批作业,第二步证实没有用上归纳假设,!,10/37,用数学归纳法证实：,证实：,练习,1,11/37,证实：,1,、当,n,=1,时,左,=1,2,=1,，右,=,n,=1,时，等式成立,2,、假设,n,=,k,时，等式成立，即,那么，当,n,=,k,+1,时,左,=1,2,+2,2,+,k,2,+(,k,+1),2,=,=,右,n,=,k,+1,时，原等式成立,由,1,、,2,知当,n,N,*,时，原等式都成立,练习,1.,用数学归纳法证实,第二步证实要用上归纳假设,!,12/37,(1),在第二步中,证实,n=k+1,命题成立时,必须用到,n=k,命题成立这一归纳假设,不然就打破数学,归纳法步骤之间逻辑严密关系,造成推理无,效,.,证实中几个注意问题：,(2),在第一步中初始值,不一定从,1,取起,，证实时,应依据详细情况而定,.,(3),在证实,n=k+1,命题成立用到,n=k,命题成立时,要,分析命题结构特点,分析“,n=k+1,时”命题是什么，并找出与“,n=k”,时命题形式差异,.,搞清,应增加项,.,13/37,1,）明确首先取值,n,0,并验证命题真假（必不可少）；,2,）“假设,n,=,k,时命题正确”并写出命题形式；,3,）分析“,n,=,k,+1,时”命题是什么，并找出与“,n,=,k,”,时命题形式差异，搞清左端应增加项；,4,）明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形惯用方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等；,5,）两个步骤、一个结论缺一不可，不然结论不能成立：,递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘记,用数学归纳法证实恒等式步骤及注意事项：,14/37,多米诺骨牌动画演示,返回,问题情境三,15/37,题型一 用数学归纳法证实等式问题,第二步证实要用上归纳假设,!,16/37,例,3,、已知正数数列,a,n,中,前,n,项和为,s,n,且,用数学归纳法证实,:,证,:(1),当,n=1,时,=1,结论成立,.,(2),假设当,n=k,时,结论成立,即,则当,n=k+1,时,故当,n=k+1,时,结论也成立,.,依据,(1),、,(2),知,对一切正整数,n,结论都成立,.,第二步证实要用上归纳假设,!,17/37,题型二 用数学归纳法证实不等式问题,18/37,例,5,、用数学归纳法证实,:,证,:(1),当,n=2,时,左边,=,不等式,成立,.,(2),假设当,n=k(k2),时不等式成立,即有,:,则当,n=k+1,时,我们有,:,题型二 用数学归纳法证实不等式问题,19/37,即当,n=k+1,时,不等式也成立,.,由,(1),、,(2),原不等式对一切 都成立,.,例,6,、证实不等式,:,证,:(1),当,n=1,时,左边,=1,右边,=2,不等式显然成立,.,(2),假设当,n=k,时不等式成立,即有,:,则当,n=k+1,时,我们有,:,20/37,即当,n=k+1,时,不等式也成立,.,依据,(1),、,(2),可知,原不等式对一切正整数都 成立,.,21/37,例,7,、求证,:,证,:(1),当,n=2,时,左边,=,右边,=,因为,故不等式成立,.,(2),假设,n=k(),时命题成立,即,则当,n=k+1,时,22/37,即当,n=k+1,时,命题成立,.,由,(1),、,(2),原不等式对一切 都成立,.,23/37,例,8,、已知,x,1,，且,x,0,，,n,N,，,n,2,求证：,(1+,x,),n,1+,nx.,（,2,）假设,n,=,k,时，不等式成立，即,(1+,x,),k,1+,kx,当,n,=,k,+1,时，因为,x,1,，所以,1+,x,0,，于是,左边,=(1+,x,),k,+1,=(1+,x,),k,(1+,x,)(1+,x,)(1+,kx,)=1+(,k,+1),x,+,kx,2,；,右边,=1+(,k,+1),x,因为,kx,2,0,，所以左边右边，即,(1+,x,),k,+1,1+(,k,+1),x,这就是说，原不等式当,n,=,k,+1,时也成立,依据,(1),和,(2),，原不等式对任何大于,2,自然数,n,都成立,.,证实,：,（,1,）当,n,=2,时，左,(1,x,),2,=1+2,x,+,x,2,x,0,，,1+2,x,+,x,2,1+2,x,=,右,n,=1,时不等式成立,24/37,例,9,、已知 求证,:.,证,:(1),当,n=2,时,不等式成立,.,(2),假设当,n=k(k,2),时不等式成立,即,则当,n=k+1,时,有,:,即当,n=k+1,时,不等式成立,.,由,(1),(2),所证不等式对一切 都成立,.,25/37,题型三 用数学归纳法证实整除问题,26/37,27/37,例,11,、用数学归纳法证实,:,当,n,为正偶数时,x,n,-y,n,能被,x+y,整除,.,证,:(1),当,n=2,时,x,2,-y,2,=(x+y)(x-y),即能被,x+y,整除,故命,题成立,.,(2),假设当,n=2k,时,命题成立,即,x,2k,-y,2k,能被,x+y,整除,.,则当,n=2k+2,时,有,都能被,x+y,整除,.,故,x,2k+2,-y,2k+2,能被,x+y,整除,即当,n=2k+2,时命题成立,.,由,(1),、,(2),知原命题对一切正偶数均成立,.,28/37,例,12,、用数学归纳法证实,:,能被,8,整除,.,证,:(1),当,n=1,时,A,1,=5+2+1=8,命题显然成立,.,(2),假设当,n=k,时,A,k,能被,8,整除,即,是,8,倍数,.,那么,:,因为,A,k,是,8,倍数,3,k-1,+1,是偶数即,4(3,k-1,+1),也是,8,倍数,所以,A,k+1,也是,8,倍数,即当,n=k+1,时,命题成立,.,由,(1),、,(2),知对一切正整数,n,A,n,能被,8,整除,.,29/37,例,13,、求证,:x,3n-1,+x,3n-2,+1,能被,x,2,+x+1,整除,.,证,:(1),当,n=1,时,x,3n-1,+x,3n-2,+1=x,2,+x+1,从而命题成立,.,(2),假设当,n=k,时命题成立,即,x,3k-1,+x,3k-2,+1,能被,x,2,+x+1,整除,则当,n=k+1,时,x,3(k+1)-1,+x,3(k+12,+1=x,3k+2,+x,3k+1,+1,=x,3,(x,3k-1,+x,3k-2,+1)-x,3,+1,=x,3,(x,3k-1,+x,3k-2,+1)-(x-1)(x,2,+x+1),因为,x3k-1+x3k-2+1,、,x2+x+1,都能被,x2+x+1,)-,整除,所以上式右边能被,x,2,+x+1,整除,.,即当,n=k+1,时,命题成立,.,依据,(1),、,(2),知,对一切正整数,n,命题成立,.,30/37,题型四 用数学归纳法证实几何问题,31/37,例,15,、平面内有,n,(,n,2),条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点 个数 为多少,?,并证实,.,当,n=k+1,时：第,k+1,条直线分别与前,k,条直线各交于,一点，共增加,k,个点，,由,1,）、,2,）可知，对一切,nN,原命题均成立。,证实：,1,）,n=2,时：两条直线交点个数为,1,而,f(2)=,2,(2-1)=1,命题成立。,k+1,条直线交点个数,=f(k)+k=k(k-1)+k,=k(k-1+2)=k(k+1)=(k+1)(k+1)-1=f(k+1),即当,n=k+1,时命题仍成立。,2,）假设,n=k(kN,k2,),时，,k,条直线交点个数为,f(k)=k(k-1),题型四 用数学归纳法证实几何问题,32/37,题型五 用数学归纳法处理探究性问题,33/37,34/37,题型五 用数学归纳法处理探究性问题,35/37,例,18,、是否存在常数,a,、,b,使得等式,:,对一切正整数,n,都成立,并证实你结论,.,解,:,令,n=1,2,并整理得,以下用数学归纳法证实,:,(1),当,n=1,时,由上面解法知结论正确,.,题型五 用数学归纳法处理探究性问题,36/37,(2),假设当,n=k,时结论正确,即,:,则当,n=k+1,时,故当,n=k+1,时,结论也正确,.,依据,(1),、,(2),知,对一切正整数,n,结论正确,.,37/37,
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