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-,*,-,习题课,直线与圆锥曲线综合问题,1/36,2/36,一,二,三,一、直线与圆锥曲线位置关系,直线与圆锥曲线位置关系有三种,:,相交、相切、相离,.,对应交点个数有两个、一个、无交点,.,尤其注意有一个交点情况,对于封闭曲线椭圆来说,相切时就只有一个交点,;,对于双曲线,与渐近线平行直线与双曲线只有一个交点,;,对于抛物线,与对称轴平行直线与抛物线只有一个交点,.,3/36,一,二,三,二、与弦相关问题,圆锥曲线中,与弦相关题目最常见,问题主要有,:(1),已知直线、圆锥曲线方程,求弦长,;(2),已知弦长,求圆锥曲线方程或参数,;(3),由弦性质求参数,;(4),中点弦所在直线方程等,.,解题方法普通为设直线方程,并与曲线方程联立得方程组,化为一元二次方程后,从根与系数关系,判别式等方面入手求解,.,4/36,一,二,三,分析,:,由直线,AB,过焦点,F,倾斜角为,可求出直线方程,再由弦长公式即可求出,.,解,:,如图,不妨取椭圆一个焦点为,F,(1,0),代入椭圆方程并整理得,19,x,2,-,30,x-,5,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),5/36,一,二,三,6/36,一,二,三,三、综合问题,因为解析几何是经过代数运算来处理几何问题,而圆锥曲线又以其独特性质成为研究重点,这就使圆锥曲线性质与函数、不等式、数列、三角变换、平面向量等知识联络亲密,以圆锥曲线为载体来研究数学问题就成了数学中综合性最强、能力要求最高高考考点之一,.,7/36,一,二,三,【做一做,2,】,已知定点,F,(0,1),和直线,l,1,:,y=-,1,过定点,F,与直线,l,1,相切动圆圆心为点,C.,(1),求动点,C,轨迹方程,;,(2),过点,F,直线,l,2,交轨迹于,P,Q,两点,交直线,l,1,于点,R,求,最小值,.,解,:,(1),由题意,知点,C,到点,F,距离等于它到直线,l,1,距离,点,C,轨迹是以,F,为焦点,l,1,为准线抛物线,动点,C,轨迹方程为,x,2,=,4,y.,(2),由题意,知直线,l,2,方程可设为,y=kx+,1(,k,0),.,与抛物线方程联立消去,y,得,x,2,-,4,kx-,4,=,0,.,设点,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,x,1,+x,2,=,4,k,x,1,x,2,=-,4,.,8/36,一,二,三,9/36,探究一,探究二,与弦相关问题,1,.,由弦长求曲线方程,【例,1,】,椭圆,ax,2,+by,2,=,1,与直线,x+y-,1,=,0,相交于,A,B,两点,C,是,AB,思维点拨,:,利用直线与椭圆方程联立后一元二次方程,表示出弦长公式及中点坐标,可得到关于,a,b,方程组,.,消去,y,得,(,a+b,),x,2,-,2,bx+b-,1,=,0,.,因为由题意知,a+b,0,10/36,探究一,探究二,设,AB,中点为,C,(,x,0,y,0,),11/36,探究一,探究二,反思感悟,利用韦达定理表示出弦长公式,是这类问题常规解法,.,12/36,探究一,探究二,(1),求椭圆,E,离心率,;,(2),如图,AB,是圆,M,:(,x+,2),2,+,(,y-,1),2,=,一条直径,若椭圆,E,经过,A,B,两点,求椭圆,E,方程,.,13/36,探究一,探究二,解,:,(1),过点,(,c,0),(0,b,),直线方程为,bx+cy-bc=,0,(2),由,(1),知,椭圆,E,方程为,x,2,+,4,y,2,=,4,b,2,.,易知,AB,与,x,轴不垂直,设其方程为,y=k,(,x+,2),+,1,代入,得,(1,+,4,k,2,),x,2,+,8,k,(2,k+,1),x+,4(2,k+,1),2,-,4,b,2,=,0,.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),14/36,探究一,探究二,15/36,探究一,探究二,2,.,由弦性质求参数值,【例,2,】,设双曲线,C,:,-y,2,=,1(,a,0),与直线,l,:,x+y=,1,相交于两个不一样点,A,B.,(1),求双曲线,C,离心率,e,取值范围,;,思维点拨,:,因为直线与双曲线交于两点,所以联立后二次方程中,0,可得,a,取值范围,从而求得,e,范围,利用向量坐标,转化为二次方程根问题,求得,a,值,.,16/36,探究一,探究二,解,:,(1),由双曲线,C,与直线,l,相交于两个不一样点,17/36,探究一,探究二,(2),设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),P,(0,1),反思感悟,处理这类问题时应注意运算能力培养,以及综合应用知识分析和处理问题能力及数形结合思想,.,18/36,探究一,探究二,(1),求此椭圆方程,;,(2),设直线,l,:,y=x+m,若,l,与此椭圆相交于,P,Q,两点,且,|PQ|,等于椭圆短轴长,求,m,值,.,19/36,探究一,探究二,20/36,探究一,探究二,3,.,中点弦问题,【例,3,】,求以,(1,-,1),为中点抛物线,y,2,=,8,x,弦所在直线方程,.,思维点拨,:,要求过点,(1,-,1),弦所在直线方程,只需求出斜率即可,用,“,点差法,”,求直线斜率,.,21/36,探究一,探究二,解,:,设弦两端点分别为,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦所在直线方程为,y+,1,=-,4(,x-,1),即,4,x+y-,3,=,0,.,22/36,探究一,探究二,反思感悟,圆锥曲线中中点弦问题,利用点差法是简单而有效方法,.,23/36,探究一,探究二,变式训练,3,已知抛物线,y,2,=,2,x,过点,Q,(2,1),作一条直线交抛物线于,A,B,两点,试求弦,AB,中点轨迹方程,.,解,:,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),弦,AB,中点为,M,(,x,y,),则,y,1,+y,2,=,2,y.,当直线,AB,斜率不存在,即,AB,x,轴时,AB,中点为,(2,0),适合上式,24/36,探究一,探究二,综合问题,【例,4,】,如图,已知,A,(,-,3,p,0)(,p,0),B,C,两点分别在,y,轴和,x,轴上运动,而且满足,(1),求动点,Q,轨迹方程,;,(2),设过点,A,直线与点,Q,轨迹交于,E,F,两点,且已知,A,(3,p,0),求直线,AE,AF,斜率之和,.,25/36,探究一,探究二,轨迹方程,.,(2),设出过,A,点直线方程,与点,Q,轨迹方程联立,用一元二次方程根与系数关系求解,.,解,:,(1),设,Q,(,x,y,),B,(0,y,0,),C,(,x,0,0),26/36,探究一,探究二,(2),设过点,A,直线方程为,y=k,(,x+,3,p,)(,k,0),E,(,x,1,y,1,),F,(,x,2,y,2,),.,由,y,1,y,2,=,12,p,2,得,k,AE,+k,AF,=,0,即直线,AE,AF,斜率之和为,0,.,反思感悟,向量与圆锥曲线有着亲密联络,惯用向量关系表示曲线几何性质,并用向量坐标运算求解,已成为高考考查热点,.,27/36,探究一,探究二,(1),点,P,轨迹是什么曲线,?,思维点拨,:,向量用坐标表示,把两向量夹角转化为两直线所成角,用数形结正当解题,.,解,:,(1),设点,P,(,x,y,),由,M,(,-,1,0),N,(1,0),28/36,探究一,探究二,点,P,轨迹是以原点为圆心,为半径右半圆,(,不含端点,),.,29/36,探究一,探究二,(2),点,P,坐标为,(,x,0,y,0,),30/36,1 2 3 4 5,1,.,设,F,为抛物线,C,:,y,2,=,3,x,焦点,过,F,且倾斜角为,30,直线交抛物线,C,于,A,B,两点,则,|AB|=,(,),答案,:,C,31/36,1 2 3 4 5,2,.,过抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点,F,作倾斜角为,60,直线,l,交抛物线于,A,B,两点,且,|AF|BF|,则,值为,(,),答案,:,A,32/36,1 2 3 4 5,3,.,已知双曲线,E,中心为原点,F,(3,0),是,E,焦点,过,F,直线,l,与,E,相交于,A,B,两点,且,AB,中点为,N,(,-,12,-,15),则,E,方程为,(,),答案,:,B,33/36,1 2 3 4 5,4,.,过抛物线,y,2,=,4,x,焦点,F,直线交该抛物线于,A,B,两点,O,为坐标原点,.,若,|AF|=,3,则,AOB,面积为,.,解析,:,由题意知抛物线,y,2,=,4,x,焦点为,F,(1,0),准线方程为,l,:,x=-,1,可,34/36,1 2 3 4 5,(1),求点,G,轨迹,C,方程,.,|OS|=|AB|,)?,若存在,求出直线,l,方程,;,若不存在,请说明理由,.,35/36,1 2 3 4 5,存在直线方程为,x-y-,2,=,0,或,x+y-,2,=,0,使四边形,OASB,对角线相等,.,36/36,
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