高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.2圆内接四边形的性质与判定定理省公开课一等奖新名师优质课获奖PP.pptx

,-,*,-,二,圆内接四边形的性质与判定定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,-,*,-,-,*,-,二,圆内接四边形的性质与判定定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,首页,-,*,-,二,圆内接四边形的性质与判定定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课前篇,自主预习,-,*,-,二,圆内接四边形的性质与判定定理,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课堂篇,合作学习,二,圆内接四边形性质与判定定理,1/26,2/26,1,.,圆内接四边形,(1),假如多边形全部顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做,圆内接多边形,这个圆叫做多边形,外接圆,.,(2),假如四边形全部顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做,圆内接四边形,这个圆叫做四边形,外接圆,.,名师点拨,任意三角形都有外接圆,任意正方形、矩形都有外接圆,但并不是全部四边形都有外接圆,.,3/26,2,.,圆内接四边形性质定理,(1),性质定理,1:,圆内接四边形对角,互补,.,如图,若四边形,ABCD,内接于圆,O,则,A+,C=,180,B+,D=,180,.,该定理作用是证实两个角互补,.,(2),性质定理,2:,圆内接四边形外角等于,它内角对角,.,如图,若四边形,ABCD,内接于圆,O,E,为,AB,延长线上一点,则,CBE=,ADC.,该定理作用是证实两个角相等,.,4/26,名师点拨,1,.,圆内接四边形性质定理为证实角相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一个新方法,.,2,.,注意几个惯用结论,:,(1),内接于圆平行四边形是矩形,;,(2),内接于圆菱形是正方形,;,(3),内接于圆梯形是等腰梯形,.,5/26,【做一做,1,】,如图,四边形,ABCD,内接于圆,O.,若,A=,2,C,则,C=,;,若,ADC=,85,则,ABE=,.,解析,:,因为四边形,ABCD,是圆内接四边形,所以,A+,C=,180,.,又,A=,2,C,所以,C=,60,.,又因为,ADC=,ABE,ADC=,85,所以,ABE=,85,.,答案,:,60,85,6/26,3,.,圆内接四边形判定定理,(1),判定定理,:,假如一个四边形对角,互补,那么这个四边形四个顶点共圆,.,如图,在四边形,ABCD,中,若,A+,C=,180(,或,B+,D=,180),则,A,B,C,D,四点共圆,.,该定理作用是证实四点共圆,.,7/26,(2),推论,:,假如四边形一个外角等于,它内角对角,那么这个四边形四个顶点共圆,.,如图,在四边形,ABCD,中,延长,AB,到,E,若,CBE=,ADC,则,A,B,C,D,四点共圆,.,该推论作用是证实四点共圆,.,8/26,名师点拨,判断或证实四点共圆惯用方法,:,(1),假如四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆,;,(2),假如一个四边形一组对角互补,那么这个四边形四个顶点共圆,;,(3),假如一个四边形一个外角等于它内对角,那么这个四边形四个顶点共圆,;,(4),假如两个三角形有公共边,公共边所正确角相等,且在公共边同侧,那么这两个三角形四个顶点共圆,.,9/26,【做一做,2,】,如图,四边形,ABCD,边,AB,延长线上有一点,E,且,BC=BE,D=,80,E=,50,.,求证,:,A,B,C,D,四点共圆,.,证实,:,BC=BE,E=,BCE.,EBC=,180,-,2,E=,80,EBC=,D.,A,B,C,D,四点共圆,.,10/26,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),任意矩形都有唯一外接圆,.,(,),(2),菱形一定有外接圆,.,(,),(3),任意正多边形都有外接圆,.,(,),(4),圆内接梯形一定是等腰梯形,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),11/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,圆内接四边形性质定理应用,【例,1,】,(1),如图,已知,O,内接四边形,ABCD,AB,和,DC,延长线交于点,P,AD,和,BC,延长线交于点,Q.,若,A=,50,P=,30,求,Q,度数,.,(2),如图,在,O,中,AC=AB,E,是弦,BC,延长线上一点,AE,交,O,于点,D.,求证,:,AC,2,=AD,AE.,12/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,分析,:,(1),先利用圆内接四边形性质求得,CDQ,和,DCQ,度数,再利用三角形内角和定理求得,Q,度数,;(2),可先考虑证实,ADC,ACE,得到百分比式后,再转化为欲证等积式,.,(1),解,:,四边形,ABCD,是,O,内接四边形,QCD=,A=,50,.,又,P=,30,CDQ=,P+,A=,80,故,Q=,180,-,80,-,50,=,50,.,(2),证实,:,如图,连接,DC,AC=AB,ACB=,B.,又四边形,ABCD,内接于,O,EDC=,B,ACB=,EDC,ADC=,ACE.,EAC=,CAD,ADC,ACE,13/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,反思感悟,1,.,因为圆内接四边形性质主要包括相关角关系,所以在圆内求角大小以及证实角之间相等关系时,要发觉和结构圆内接四边形,利用两个性质定理进行求解和证实,.,2,.,在圆内证实等积式时,因为百分比式是等积式一个特殊形式,所以可转化为百分比式,只需找到包含所证线段两个三角形来证实,.,而要证三角形相同,可借助圆内接四边形性质定理,得出对应角相等,.,14/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,变式训练,1,如图,O,直径,AB,延长线与弦,CD,延长线相交于点,P,E,为,O,上一点,AE=AC.,求证,:,PDE=,POC.,证实,:,连接,BE,BC.,AE=AC,AB,为直径,在,Rt,ABE,和,Rt,ABC,中,ABE=,ABC,AEB=,ACB,AE=AC.,Rt,ABE,Rt,ABC,OAE=,OAC.,又,OAC=,OCA,OCA=,OAE,POC=,OAC+,OCA=,OAC+,OAE=,EAC.,又四边形,ACDE,内接于,O,EAC=,PDE,PDE=,POC.,15/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,圆内接四边形判定定理应用,【例,2,】,如图,在,ABC,中,AD=DB,DF,AB,交,AC,于点,F,AE=EC,EG,AC,交,AB,于点,G.,求证,:,(1),D,E,F,G,四点共圆,;,(2),G,B,C,F,四点共圆,.,分析,:,(1),连接,GF,则易证,GDF,与,GEF,均为直角三角形,由直角三角形斜边中点到三个顶点距离相等可得出结论,.,(2),连接,DE,由条件易证,DE,BC,从而,ADE=,B,由,(1),知,ADE=,GFE,从而,GFE=,B,从而得到结论,.,16/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,证实,:,(1),连接,GF.,由,DF,AB,EG,AC,知,GDF=,GEF=,90,GF,中点到,D,E,F,G,四点距离相等,D,E,F,G,四点共圆,.,(2),连接,DE.,由,AD=DB,AE=EC,知,DE,BC,ADE=,B.,又由,(1),中,D,E,F,G,四点共圆,ADE=,GFE,GFE=,B,G,B,C,F,四点共圆,.,17/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,反思感悟判定四点共圆方法,1,.,假如四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆,;,2,.,假如一个四边形一组对角互补,那么这个四边形四个顶点共圆,;,3,.,假如一个四边形一个外角等于它内角对角,那么这个四边形四个顶点共圆,;,4,.,与线段两个端点连线夹角相等,(,或互补,),点连同该线段两个端点在内共圆,.,18/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,变式训练,2,如图,已知四边形,ABCD,为平行四边形,过点,A,和点,B,圆与,AD,BC,分别交于,E,F.,求证,:,C,D,E,F,四点共圆,.,证实,:,连接,EF.,因为四边形,ABCD,为平行四边形,所以,B+,C=,180,.,因为四边形,ABFE,内接于圆,所以,B+,AEF=,180,.,所以,AEF=,C,故,C,D,E,F,四点共圆,.,19/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,圆内接四边形性质定理和判定定理综合应用,【典例】,如图,A,B,C,D,四点在同一圆上,AD,延长线与,BC,延长线交于,E,点,且,EC=ED.,(1),求证,:,CD,AB,;,(2),延长,CD,到,F,延长,DC,到,G,使得,EF=EG,证实,A,B,G,F,四点共圆,.,【审题策略】,利用圆内接四边形性质与判定定理证实,.,20/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,【规范展示】证实,:,(1),因为,EC=ED,所以,EDC=,ECD.,因为,A,B,C,D,四点在同一圆上,所以,EDC=,EBA,故,ECD=,EBA.,所以,CD,AB.,(2),由,(1),知,AE=BE.,因为,EF=EG,所以,EFD=,EGC,从而,FED=,GEC.,连接,AF,BG,则,EFA,EGB,故,FAE=,GBE.,由,(1),得,CD,AB,所以,FAB=,GBA,所以,AFG+,GBA=,180,故,A,B,G,F,四点共圆,.,21/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,【答题模板】,(1),第,1,步,:,证,EDC,两底角相等,;,第,2,步,:,利用圆内接四边形性质定理得两角相等,;,第,3,步,:,利用同位角相等证得结论,.,(2),第,1,步,:,证实两角相等,;,第,2,步,:,证实两三角形全等,;,第,3,步,:,由圆内接四边形判定定理证得结论,.,失误警示,经过阅卷统计分析,造成失分原因是,:,(1),不能利用等腰三角形性质得出两底角相等,;,(2),不能正确利用圆内接四边形性质得出角相等关系,;,(3),无法正确利用圆内接四边形判定定理证实四点共圆,.,22/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,变式训练,已知,CF,是,ABC,AB,边上高,FP,BC,于点,P,FQ,AC,于点,Q.,求证,:,A,B,P,Q,四点共圆,.,证实,:,连接,PQ,在四边形,QFPC,中,因为,PF,BC,FQ,AC,所以,FQA=,FPC=,90,.,所以,Q,F,P,C,四点共圆,.,所以,QFC=,QPC.,又因为,CF,AB,所以,QFC,与,QFA,互余,.,而,A,与,QFA,也互余,所以,A=,QFC.,所以,A=,QPC.,故,A,B,P,Q,四点共圆,.,23/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,1,.,已知四边形,ABCD,是圆内接四边形,则以下结论正确有,(,),若,A=,C,则,A=,90;,若,A=,B,则四边形,ABCD,是等腰梯形,;,A,补角与,C,补角互补,;,A,B,C,D,比能够是,1,2,3,4,.,A.1,个,B.2,个,C.3,个,D.4,个,答案,:,B,2,.,圆内接平行四边形一定是,(,),A.,正方形,B.,菱形,C.,等腰梯形,D.,矩形,解析,:,因为圆内接四边形对角互补,平行四边形对角相等,所以圆内接平行四边形各角均为直角,故为矩形,.,答案,:,D,24/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,3,.,如图,四边形,ABCD,为,O,内接四边形,E,为,AB,延长线上一点,CBE=,40,则,AOC,等于,(,),A.20B.40,C.80D.100,解析,:,因为,CBE=,40,所以,ADC=,40,于是,AOC=,2,ADC=,80,.,答案,:,C,4,.,若,BE,和,CF,分别是,ABC,边,AC,和,AB,边上高,则,四点共圆,.,解析,:,由,BEC=,BFC=,90,可得,BCE,和,BCF,共圆,从而,B,C,E,F,四点共圆,.,答案,:,B,C,E,F,25/26,探究一,探究二,规范解答,当堂检测,5,.,如图,AD,是,ABC,外角,EAC,平分线,AD,与,ABC,外接圆,O,交于点,D.,求证,:,DB=DC.,证实,:,AD,是,ABC,外角,EAC,平分线,又,EAD=,BCD,CAD=,CBD,DBC=,DCB.,DC=BD.,26/26,