复变函数与积分变换-chapter-1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,复变函数,（,Chapter 1 Chapter 5,）,教 材,：,复变函数,(,第,四版),西安交通大学高等数学教研室,积分变换（,Chapter 1 Chapter 2,）,教 材,：,积分变换,(,第,四版),东南大学,高等数学,系,共计,54,学时,复变函数与积分变换,主要内容,2,对 象,复变函数（自变量为复数的函数）,主要任务,研究复变数之间的相互依赖关系，,具体地就是复数域上的微积分。,主要内容,复变函数的积分、级数、留数,复数与复变函数、解析函数、,复变函数,简介,复变函数与积分变换,3,第一章 复数与复变函数,复变函数与积分变换,二、复数及代数运算,四、复数的乘幂与方根,一、复变函数的起源及应用,三、复数的几何表示,五、区域,六、复变函数,七、复变函数的极限和连续性,6,第一节、复数及其代数运算,复变函数与积分变换,1.,复数的概念,一般,任意两个复数不能比较大小。,定义,对任意两实数,x、y,称,z=x,+,iy,或,z=x,+,yi,为复数。,复数,z,的实部,Re(,z,)=,x,;,虚部,Im(,z,)=,y,.,(real part)(imaginary part),复数的模,判断复数相等,7,2.,复数的代数运算,二、复数及代数运算,复变函数与积分变换,定义,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,的和、差、积和商为：,z,1,z,2,=(,x,1,x,2,)+,i,(,y,1,y,2,),z,1,z,2,=(,x,1,+,iy,1,)(,x,2,+,iy,2,)=(,x,1,x,2,-,y,1,y,2,)+,i,(,x,1,y,2,+,x,2,y,1,),请证明,z,1,z,2,=(,x,1,x,2,-,y,1,y,2,)+,i,(,x,2,y,1,+,x,1,y,2,),证明,：,z,1,z,2,=(,x,1,+,iy,1,)(,x,2,+,iy,2,),=,x,1,(,x,2,+,iy,2,),+,iy,1,(,x,2,+,iy,2,),=,x,1,x,2,+,ix,1,y,2,+,ix,2,y,1,-,y,1,y,2,=(,x,1,x,2,-,y,1,y,2,)+,i,(,x,1,y,2,+,x,2,y,1,),8,2.,复数的代数运算,二、复数及代数运算,复变函数与积分变换,定义,z,1,=,x,1,+,iy,1,与,z,2,=,x,2,+,iy,2,的商为：,z,1,+z,2,=z,2,+z,1,；,z,1,z,2,=z,2,z,1,；,(z,1,+z,2,)+z,3,=z,1,+(z,2,+z,3,)；,z,1,(z,2,z,3,)=(z,1,z,2,)z,3,；,z,1,(z,2,+z,3,)=z,1,z,2,+z,1,z,3,.,复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（,与实数相同,）即，,3.,复数的运算规律,9,三、共轭复数,复变函数与积分变换,定义,若,z=x+iy,称,z,=,x,-,iy,为,z,的共轭复数.,共轭复数的性质,根据,(3),，计算 时，把分子与分母同乘以 ，可得到所求的商。,10,复变函数与积分变换,例 题,11,例,2,：,复变函数与积分变换,例 题,解：,12,复变函数与积分变换,例 题,例,3,设,z,1,z,2,是两个复数,证明,证明因为,13,复变函数与积分变换,练 习,2.,求,，,，,，,，,解：,1.,2.,14,复变函数与积分变换,第二节 复数的几何表示,点的表示,向量表示法,三角表示法,指数表示法,复球面,15,1.,点的表示,复变函数与积分变换,点的表示：,数,z,与点,z,同义,.,16,2.,向量表示法,o,x,y,P(x,y),x,y,称向量的长度为复数,z=x+iy,的,模,或,绝对值,；以正实轴 为始边,以,向量 为终边的角的弧度数 称为复数,z=x+iy,的,辐角,.,（,z,0,时）,复变函数与积分变换,17,复变函数与积分变换,辐角无穷多：,把其中满足,的 称为辐角,Arg,z,的主值，,记作,计算,arg,z,(,z,0),的公式,18,复变函数与积分变换,当z落于一,四象限时，,不变,当,z,落于第二象限时，,加,当,z,落于第三象限时，,减,说 明,19,复变函数与积分变换,3.,向量三角、指数表示,利用直角坐标与极坐标之间的关系,再利用,Euler,公式,复数,z=x+yi,可表示为,称为复,数,z,的,三角表示式,.,复数,z=x+yi,又可表示为 称为复数的,指数表示式,其中,r,=|,z,|,q,=Arg,z,.,20,共轭复数的几何性质,一对共轭复数,z,和 在复平面的位置是关于实轴对称的,.,复变函数与积分变换,当,时,当,时,复数和与差的模的性质,21,例题,复变函数与积分变换,例,1.,将下列复数化为三角表示式与指数表示式,解,1,）,，由于,z,在第三象限，所以,三角表示形式,指数表示形式,22,解,2,）,三角表示形式,指数表示形式,复变函数与积分变换,23,例,2.,设 、为任意两个复数，证明：,证明,：,1),复变函数与积分变换,24,复变函数与积分变换,证明,：,2),因为,所以,所以,25,o,x,y,L,z,1,z,2,z,例,3.,通过两点 与 的直线用复数形式的方程来表示。,其中,解,：,因为通过两点（,x,1,，,y,1,）与（,x,1,，,y,2,）的直线可以用参数方程表示为,所以它的复数形式参数方程为,由 到 直线段的参数方程为,当 时，为线段 的中点，表示为,复变函数与积分变换,26,复变函数与积分变换,例,4.,求下列方程所表示的曲线,1,）,2,）,3,）,x,y,O,-,i,2,解：,1,）,如右图所示，以,-i,为中心，,半径为,2,的圆。,y=-x,2i,2,y=-3,2,）,y=-x,3,）,设 ，则有 ，所以,因此,y=-3,27,复变函数与积分变换,练习题,1.,用代数的方法求例,4,中的（,1,）和（,2,）。,2.,P31,，第,1,题和第,2,题,28,作 业,P31,，第,4,题（,1,）、（,3,）、（,6,）,第,8,题（,2,）、（,4,）、（,6,）,29,复变函数与积分变换,4,复球面与无穷远点,复数可以用平面上的点表示，这是复数的几何表示法的一种，另外还可以用球面上的点表示复数,.,取一个与复平面切于原点,z=0,的球面,.,球面上的一点,S,与原点重合，通过,S,作垂直于复平面的直线与球面相交于另一点,N,.,称,N,为,北极,，,S,为,南极,。,(,如图,).,30,球面上的点,除去北极,N,外,与复平面内,的点之间存在着一一对应的关系,.,我们用球面,上的点来表示复数,.,球面上的北极,N,不能对应复平面上的定点,当,球面上的点离北极,N,越近,它所表示的复数,的模越大,.,球面上的,N,就是复数无穷大的表示，因此球面上的每一个点，有唯一的一个复数与它对应，这样的球面称为,复球面,复变函数与积分变换,31,复变函数与积分变换,对于复数,的无穷远点而言,它的实部、虚部,辐角等概念均无意义,规定,它的模为正无穷大,.,(1),加法,(2),减法,(3),乘法,(4),除法,32,第三节、复数的乘幂与方根,复变函数与积分变换,复数的乘积与商,复数的乘幂,复数的方根,33,复变函数与积分变换,1.,复数的乘积,定理,1,两个复数乘积的模等于它们的模相乘，,两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加,。,设,z,1,=r,1,(cos,1,+isin,1,)=r,1,e,i1,z,2,=r,2,(cos,2,+isin,2,)=r,2,e,i2,则 z,1,z,2,=r,1,r,2,(cos,1,+isin,1,)(cos,2,+isin,2,),=r,1,r,2,cos(,1,+,2,)+isin(,1,+,2,),=r,1,r,2,e,i(1+2),于是,|,z,1,z,2,|=|,r,1,|,r,2,|，Arg(,z,1,z,2,)=Arg,z,1,+Arg,z,2,34,复变函数与积分变换,1.,复数的乘积几何意义,Z,1,z,2,表示将复数,z,1,按,逆时针,方向旋转一个角度,Arg,z,2，,再将其伸缩到,|,z,2,|倍。,o,x,y,z,1,z,2,z,2,当,|,z,2,|,=1,，乘法变成只是旋转。例如,iz,相当于将,z,逆时针旋转,90,，,-z,相当于逆时针旋转,180,。,当,Argz,2,=0,时，乘法变成了仅仅是伸长（缩短）,35,复变函数与积分变换,1.,复数的乘积,要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.,36,复变函数与积分变换,2.,复数的商,定理,2,两个复数的商的模等于它们的模的商，,两个复数的商的辐角等于被除数与除,数的辐角之差。,定义,z,=,z,2,/,z,1,，,（,z,1,0,），即,z,1,z,=,z,2,|,z,|,z,1,|=|,z,2,|,及,Arg,z,1,+Arg,z,=Arg,z,2,|,z,2,/z,1,|=|,z,2,|,/,|,z,1,|,，,Arg,(,z,2,/z,1,),=Arg,z,2,-Arg,z,1,用指数形式表示：,37,复变函数与积分变换,2.,复数的商,例,2,、,已知正三角型的两个顶点为,z,1,=1,，,z,2,=2+i,，求它的 另一个顶点。,z,2,=2+i,z,1,=1,z,3,z,3,解：,如右图所示，将,z,2,-z,1,的向量绕,z,1,旋转 （或 ）就得到另一向量，其终点即为所求的顶点,z,3,（或,z,3,），复数 的模为,1,，转角为 ，由复数的乘法，有,38,复变函数与积分变换,类似可得,39,复变函数与积分变换,3.,复数的幂,利用数学归纳法可以证明：如果,特别地,如果,那么,那么,因为,z,1,z,2,=r,1,r,2,cos(,1,+,2,)+isin(,1,+,2,),40,如果写成指数形式，即如果,那么,特别地，当,|,z,|=,r,=1,时,变为,复变函数与积分变换,3.,复数的幂,如果,z,1,=z,2,=z,n,即,称为,棣莫弗（,De Movie,公式）,.,41,复变函数与积分变换,4.,复数的方根,方根,记做 或 如果,于是,当 时,对给定的复数,z,方程,w,n,=z,的解,w,称为,z,的,n,次,42,复变函数与积分变换,4.,复数的方根,满足以上三式的充分必要条件是,其中 表示算术根,.,于是,当取,k,=0,1,2,n,-1,时,可得,n,个相异根如下,43,由三角函数的周期性,复变函数与积分变换,44,复变函数与积分变换,当,k,=0，1，,n,-1时，可得,n,个不同的根，而,k,取其它整数时，这些根又会重复出现,，如,k,=,n,时,几何,意义：,的,n,个值是以原点为中心，为半,径的圆周上,n,个等分点，即它们是内接于该圆周,的正,n,边形的,n,个顶点。,45,复变函数与积分变换,x,y,o,例,3.,求,解：,x,y,o,46,复变函数与积分变换,例,4.,求,几何,意义：,这三个根是内接于中心在原点半径为,1,的圆的正三角形的,3个顶点。,1,47,复变函数与积分变换,例,5.,求,方程,w,4,+16=0,的四个根,.,解：,因为,-16=2,4,e,(2,k,+1),p,i,所以,w,4,=2,4,e,(2,k,+1),p,i,.,于是,48,复变函数与积分变换,几何意义：,w,0,，,w,1,w,2,w,3,恰好是以原点为圆心、半径为,2,的圆,|,z,|=2,的内接正方形的四个顶点,(,如图,).,49,区域的概念,简单曲线（或,Jordan,曲线,),单连通域与多连通域,第四节、区 域,复变函数与积分变换,50,复变函数与积分变换,1.,区域的概念,邻域,复平面上以,z,0,为中心，任意,0为半径的圆|,z,-,z,0,|内部的点的集合称为点,z,0,的,邻域，记为,(,z,0,)即，,设,G是一平面上点集,内点,对任意,z,0,属于,G,，若存在,(,z,0,),，使该邻域内的所有点都属于,G,，则称,z,0,是,G,的内点。,而称由不等式 0|,z,z,0,|0,是常数,则,z,0,为中心,以,r,为半径的圆的内部点,即满足不等式,|,z,-,z,0,|,r,的一切点,z,所组成的点集,(,z,0,的,r,邻域,),是开集,.,当,0,r,R,(,r,和,R,均是常数,),时,满足不等式,r,|,z,-,z,0,|,R,的一切,z,所组成的点集也是开集,.,但满足不等式,r,|,z,-,z,0,|,R,的一切点所组成的点集不是开集,.,因为在圆周,|,z,-,z,0,|,=,R,上的点属于集合,r,|,z,-,z,0,|,R,但这些点不是它的内点,而是边界点,.,复变函数与积分变换,在圆周,|,z,-,z,0,|=,r,和圆周,|,z,-,z,0,|=,R,上的点都是点,集,r,|,z,-,z,0,|,R,和,r,|,z,-,z,0,|,R,的边界点,.,53,有界区域,闭区域,区域,D,与它的边界一起构成,闭区域,或,闭域,复变函数与积分变换,如果一个平面点集完全包含在原点的某一,个邻域内,那么称它是有界的,.,不是有界集的点,集叫做,无界集,.,54,复变函数与积分变换,满足不等式,|,z,|,R,的一切点所组成的点集是无界区域,.,无界区域,图,1,边界,图,2,边界,55,(1),圆环域,:,例,1.6,判断下列区域是否有界,?,(2),上半平面,:,(3),角形域,:,(4),带形域,:,答案,(1),有界,;(2)(3)(4),无界,.,复变函数与积分变换,56,令,z,(,t,)=,x,(,t,)+,iy,(,t,),a,t,b,;,则曲线方程可记为：,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,复变函数与积分变换,2.,简单曲线（或,Jardan,曲线,),（,1,）光滑曲线,称曲线是一条,光滑曲线,.,57,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线,称为,分段光滑曲线,.,能求出长度的曲线称为可求长曲线,.,分段光,滑曲线是可求长曲线,.,光滑曲线,分段光滑曲线,58,曲线,C,在复平面上的方程,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,不仅确定了曲线的形状,实际上还给出了曲线的方向,也就是说,曲线是沿着,t,增加的方向变化的,.,复平面上对应于,z,(,a,)=,x,(,a,)+,iy,(,a,),的点称为曲,线,C,的,起点,对应于,z,(,b,)=,x,(,b,)+,iy,(,b,),的点称为曲线,C,的,终点,.,若曲线,C,的起点与终点重合,即,z,(,a,)=,z,(,b,),则称,C,是,闭曲线,.,例如,z,=,z,(,t,)=,r,(cos,t,+,i,sin,t,)(0,t,2,p,),是一条闭,曲线,因为,z,(0)=,z,(2,p,)=,r,.,复变函数与积分变换,59,复变函数与积分变换,重点,设连续曲线,C,：,z,=,z,(,t,),，,a,t,b,，,对于,t,1,(,a,，,b,),t,2,a,b,当,t,1,t,2,时，若,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,),，,称,z,(,t,1,),为曲线,C,的重点。,定义,称,没有重点,的连续曲线,C,为,简单曲线,或,Jardan,曲线,;,若简单曲线,C,满足,z,(,a,)=,z,(,b,),时，则称此曲线,C,是,简单闭曲线,或,Jordan,闭曲线,。,z,(,a,)=,z,(,b,),简单闭曲线,z,(,t,1,)=,z,(,t,2,),不是简单闭曲线,60,下列曲线是否为简单闭曲线,?,答案,简单不闭,不简单,不闭,61,复变函数与积分变换,简单闭曲线的性质,任一条简单闭曲线 C：,z,=,z,(,t,)，,t,a,，,b,，把复,平面唯一地分成三个互不相交的部分：一个是有,界区域，称为C的内部；一个是无界区域，称为,C的外部；还有一个是它们的公共边界。,z,(,a,)=,z,(,b,),C,z,(,a,)=,z,(,b,),内部,外部,边界,62,定义,复平面上的一个区域,B，如果B内的任何简单闭曲线的内部总在B,内,，就称,B为,单连通域,；非单连通域称为,多连通域,。,3.,单连通域与多连通域,复变函数与积分变换,例如,|,z,|0）是单连通的；0,r,|,z,|,R,是多连通的。,单连通域,多连通域,多连通域,单连通域,63,复变函数与积分变换,练习,1,指出下列不等式所确定的点集,是否有界,?,是否区域,?,如果是区域,单连通的还是多连通的,?,无界的单连通区域,(,如图,).,解,(1),当 时,64,复变函数与积分变换,是角形域,无界的单连通域,(,如图,).,周外部,无界多连通区域,(,如图,).,是以原点为中心,半径为 的圆,65,复变函数与积分变换,第五节、复变函数,复变函数的定义,映射的概念,反函数或逆映射,66,复变函数与积分变换,1.复变函数的定义,与实变函数定义相类似,设,G,是一个复数,z=x+iy,的集合，存在法则,f,，对于集合,G,中的每一个复数,z,，有一个或几个复数,w=u+iv,与之对应，则称复变数,w,是复变数,z,的函数（简称复变 函数）记作,定义,w=f(z),而 是多值函数,例如,w,=|,z,|,是以复平面,C,为定义域的单值函数,67,复变函数与积分变换,其中,u,(,x,y,),和,v,(,x,y,),都是实变量的二元函数,.,68,复变函数与积分变换,例,1,:,w,=,z,2,是一个,复变函数,.,则,于是,函数,w,=,z,2,对,应于两个二元实函数,令 于是,令,例,2.,若已知,f(z)=,69,复变函数与积分变换,例,3.,70,复变函数与积分变换,o,x,y,(,z,),G,o,u,v,(,w,),G,G*,w=f(z),在几何上，,w=f(z),可以看作：,定义域,函数值集合,z,w=f(z),w,2.,映射的概念,复变函数的几何意义,71,复变函数与积分变换,以下不再区分函数与映射（变换）。,在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关 系来表达两对变量,u,，,v,与,x,，,y,之间的对应关系，以便在研究和理解复变函数问题时，可借助于几何直观,.,复变函数的几何意义是一个映射（变换）,说 明,72,复变函数与积分变换,例,4,解,关于实轴对称的一个映射,o,x,y,(z,),u,v,(,w,),o,73,x、u,y、v,(,z,)、(,w,),o,复变函数与积分变换,74,复变函数与积分变换,旋转变换(映射),例,5,解,：设,x、u,y、v,(,z,)、(,w,),o,75,复变函数与积分变换,例,6,求,z,平面上的下列图形在映射,w=z,2,下的象。,解：,设,76,76,复变函数与积分变换,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),77,复变函数与积分变换,因为,所以,因为,所以,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),R=2,R=4,78,复变函数与积分变换,因为,所以,o,x,y,(z,),o,u,v,(w,),z,平面上的两族分别以,y=x,和坐标轴为渐进线的等轴双曲线，分别映射成,w,平面上的两族平行线,79,复变函数与积分变换,映为,将直线,消,y,，建立,所满足的象曲线方程,，,是以原点为焦,点，开口向左的抛物线（见图,c1),v,u,图,c,1,2,其是以原点为焦点，,开口向右的抛物线（见图,c2,）。,将 线,映为,，消,x,得,80,例,设,w=z,2,则称 为,w=z,2,的反函数或逆映射,为多值函数,2,支,.,定义,设,w,=,f,(,z,),的定义集合为,G,函数值集合为,G,*,则称,z=(w),为,w=f(z),的反函数（,逆映射,）,.,3.,反函数或逆映射,复变函数与积分变换,81,3.,反函数或逆映射,复变函数与积分变换,82,82,复变函数与积分变换,第六节、复变函数的极限和连续性,函数的极限,运算性质,函数的连续性,83,复变函数与积分变换,u,v,(,w,),o,A,x,y,(,z,),o,几何意义,:,当变点,z,一旦进,入,z,0,的充分小去,心邻域时,它的象,点,f,(,z,)就落入A的,一个预先给定的,邻域中,。,1.,函数的极限,定义,设函数 定义在,z,0,的去心邻域 内。如果有一确定的数,A,存在，对于任意给定的 ，相应的必有一正数 ，使得当,时有,那么称,A,为 当,z,趋于,z,0,时的极限，记作,84,(1),意义中 的方式是任意的,.,与一元实变函数 相比较要求更高。,(2),A,是复数,.,定理,1,(3),若,f(z),在 处有极限,其极限,是唯一的,.,2.,运算性质,注意,复变函数与积分变换,那么,的充要条件是,85,复变函数与积分变换,证明：,如果 ，那么根据极限的定义，就有：,当 时，,或当 时，,因此,所以,86,复变函数与积分变换,证明：,如果 成立，那么当,时，有,因为 ，所以当,时，有 ，所以,87,复变函数与积分变换,定理,2,88,例,1,复变函数与积分变换,证明：,设,z=x+iy,，,f(z)=u+iv,则,让,z,沿直线,y=kx,趋于零，有,由此得,显然 随,k,值得不同而不同，所以 不存在。,89,例,1,复变函数与积分变换,证明：,设,则,当,z,沿不同的射线 趋于零时，,f(z),趋于不同的值,例如,z,沿 趋于,0,时，,z,沿正实轴,趋于,0,时，,所以 不存在。,90,例,2,证明当,z,0,时,函数,极限不存在,.,证明：,事实上,当,z,沿直线,y,=,kx,趋于零时,该极限值随,k,值的变化而变化,所以极限,不存在,.,复变函数与积分变换,91,复变函数与积分变换,定义,定理,3,3,.,函数的连续性,92,证明：,由等式,可得不等式,又有不等式,这个定理说明复变函数,的连续性等价两个二元实函数,的连续性,.,利用这些不等式及 ，结论易证,.,93,例,3,证明,f(z)=argz,在原点及负实轴上不连续。,证明,x,y,(,z,),o,z,z,复变函数与积分变换,94,复变函数与积分变换,定理,4,连续函数的和、差、积、商,(分母不为0),仍为连续函数;,连续函数的复合函数仍为连续函数。,有界性：,95,复变函数与积分变换,作业,10,；,11,；,13,：奇数；,14,：奇数；,15,；,16,：奇数；,21,：偶数；,25,：偶数；,26,：奇数；,27,：奇数；,30,；,31,