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第五节 椭 圆,1/62,三年26考 高考指数:,1.掌握椭圆定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.,2.了解椭圆实际背景及椭圆简单应用；,3.了解数形结合思想.,2/62,1.椭圆定义、标准方程、几何性质是高考重点，而直线与椭圆位置关系既是高考重点也是高考热点；,2.直线与椭圆位置关系，往往与向量、函数、不等式等知识交汇命题；,3.选择、填空题常考查椭圆定义、标准方程、几何性质；解答题经常以两问形式出现，第一问考查椭圆定义、标准方程以及几何性质，第二问则考查直线与椭圆位置关系及学生分析问题、处理问题能力.,3/62,1.椭圆定义,(1)满足条件,在平面内,与两个定点F,1,、F,2,距离之_等于常数,常数大于_,(2)焦点：两定点,(3)焦距：两_间距离,和,|F,1,F,2,|,焦点,4/62,【即时应用】,判断以下点轨迹是否为椭圆.(请在括号内填“是”或“否”),(1)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于2点轨迹,(),(2)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于4点轨迹,(),(3)平面内到点A(0，2)，B(0，-2)距离之和等于6点轨迹,(),5/62,【解析】,由椭圆定义可知:(1)距离之和小于|AB|，所以点轨迹不存在；(2)距离之和等于|AB|，点轨迹是以A、B为端点一条线段；(3)符合椭圆定义，点轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6椭圆.,答案：,(1)否 (2)否 (3)是,6/62,2.依据图形写出相对应椭圆标准方程和几何性质,标准方程,A,1,x,y,o,B,2,A,2,B,1,F,1,F,2,b,a,c,对称轴：坐标轴,对称中心：原点,长轴,A,1,A,2,长为,2,a,短轴,B,1,B,2,长为,2,b,图形,性质,范围,对称性,顶点,轴,（,a,b,0,）,（,a,b,0,）,-a,x,a,-b,y,b,-b,x,b,-a,y,a,A,1,(,-a，,0),B,1,(0,，-b,),A,2,（a，,0）,B,2,（0,，b,）,A,1,(,0,，-a,),A,2,（0,，a,）,B,1,(,-b，,0),B,2,（,b，,0）,x,y,o,A,2,B,1,B,2,A,1,F,1,F,2,b,c,a,7/62,图形,性质,焦距,离心率,a、b、c,关系,x,y,o,B,2,A,1,A,2,B,1,F,1,F,2,b,a,c,x,y,o,A,2,B,1,B,2,A,1,F,1,F,2,b,c,a,8/62,【即时应用】,(1)思索：椭圆离心率大小与椭圆扁平程度有怎样关系?,提醒：,因为离心率 所以，离心率越靠近,于1，b就越靠近于0，即短轴长靠近于0，椭圆就越扁；离心,率越靠近于0，a、b就越靠近，即椭圆长、短轴长越靠近相,等，椭圆就越靠近于圆，但永远不会为圆.,9/62,(2)已知椭圆 焦点在y轴上，若椭圆离心率为,则m值为_.,【解析】,焦点在y轴上，所以a,2,=m,b,2,=2，离心率为 又离心率为 所以,解得m=,答案：,10/62,(3)已知椭圆短轴长为6，离心率为 ，则椭圆一个焦点到,长轴端点距离为_.,【解析】,因为椭圆短轴长为6，所以b=3 ,又因为离心率为 ，所以 ,又因为a,2,=b,2,+c,2,解组成方程组得：a=5,c=4.,所以，焦点到长轴端点距离为：a+c=9或a-c=1.,答案：,9或1,11/62,椭圆定义、标准方程,【方法点睛】,1.椭圆定义应用,利用椭圆定义解题时，首先要注意常数2a|F,1,F,2,|这一条,件；另首先要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成,“焦点三角形”中数量关系.,12/62,2.椭圆焦点不确定时标准方程设法,当已知椭圆焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为,(m0,n0,mn)，这么可防止讨论和复杂计算；也,可设为Ax,2,+By,2,=1(A0,B0,AB)这种形式,在解题时更简便.,13/62,【例1】(1)(合肥模拟)P为椭圆 上一点，F,1,、F,2,为该椭圆两个焦点，若F,1,PF,2,=60，则 =(),(2)已知F,1,、F,2,为椭圆 两个焦点，过F,1,直线交椭圆于A、B两点，若|F,2,A|+|F,2,B|=12，则|AB|=_.,(3)已知点P在以坐标轴为对称轴椭圆上，且P到两焦点距离分别为5、3，过P且与长轴垂直直线恰好过椭圆一个焦点，求椭圆方程.,14/62,【解题指南】,(1)已知向量 夹角为60，选择公式,计算 从而把问题转化为求,值，然后利用椭圆定义及余弦定理可解；(2)注意|AF,1,|+|AF,2,|=10，|BF,1,|+|BF,2,|=10,且|AF,1,|+|F,1,B|=|AB|，再结合题设即可得出结论;(3)可先设椭圆方程为 或,(ab0)，再依据题设条件求出对应参数值即可.,15/62,【规范解答】,(1)选D.由题意得,在PF,1,F,2,中，由余弦定理得,16/62,(2)由椭圆定义及椭圆标准方程得：,|AF,1,|+|AF,2,|=10,|BF,1,|+|BF,2,|=10,又已知|F,2,A|+|F,2,B|=12，,所以|AB|=|AF,1,|+|BF,1,|=8.,答案：,8,17/62,(3)设椭圆方程为 因为P到两焦点距离分别为5、3，所以2a=5+3=8，即a=4，又因为过P且与长轴垂直直线恰好过椭圆一个焦点，所以(2c),2,=5,2,-3,2,=16，所以c,2,=4，所以b,2,=a,2,-c,2,=12，所以椭圆方程为：,18/62,【互动探究】,本例(3)将条件“过P且与长轴垂直直线恰好过椭圆一个焦点”改为“点P和两焦点组成三角形为直角三角形”,结果怎样？,19/62,【解析】,当其中一个焦点为直角顶点时，与例题条件相同，,所以，椭圆方程为 ；,当直角顶点为点P时，则有(2c),2,=5,2,+3,2,=34，,所以c,2,=，又因为a=4，所以b,2,=a,2,-c,2,=，,所以椭圆方程为：；,综上可知：所求椭圆方程为：或 .,20/62,【反思感悟】,1.在处理椭圆上点到焦点距离问题时，经常联想到椭圆定义，即利用椭圆上点到两焦点距离之和等于2a求解，包括到椭圆上点与焦点组成三角形时，还惯用余弦定理求解.,2.在求椭圆方程时，若已知椭圆上点到两焦点距离，可先求出椭圆长轴长，再想法求短轴长，从而得出方程；若已知点坐标，可先设出椭圆标准方程，再利用待定系数法求解；,当椭圆焦点不确定时，应考虑焦点在x轴、在y轴两种情形，不论哪种情形，一直有ab0.,21/62,【变式备选】,已知F,1,、F,2,是椭圆C：(ab0)两个,焦点，P为椭圆C上一点，且 若PF,1,F,2,面积为9，,则b=_.,【解析】,设|PF,1,|=r,1,|PF,2,|=r,2,则,2r,1,r,2,=(r,1,+r,2,),2,-(r,2,1,+r,2,2,)=4a,2,-4c,2,=4b,2,b=3.,答案：,3,22/62,椭圆几何性质及应用,【方法点睛】,1.椭圆几何性质中不等关系,对于椭圆标准方程中x、y范围，离心率范围等，在求与椭圆相关一些量范围，或者最大值、最小值时，经惯用到这些不等关系.,23/62,2.利用椭圆几何性质应注意问题,求解与椭圆几何性质相关问题时，要结合图形进行分析，当,包括到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆基本量时，要理清它们之间内在联络.,3.求椭圆离心率问题普通思绪,求椭圆离心率时，普通是依据题设得出一个关于a、b、c等式(或不等式)，利用a,2,=b,2,+c,2,消去b，即可求得离心率或离心率范围.,【提醒】,椭圆离心率范围:0eb0)两个焦点,分别为F,1,、F,2,，点P在椭圆上，且 ，tanPF,1,F,2,=2,则,该椭圆离心率等于_.,【解题指南】,由 得F,1,PF,2,为直角三角形，再由,tanPF,1,F,2,=2得出两直角边比为2，而斜边长为2c，由勾股,定理及椭圆定义即可求出离心率.,25/62,【规范解答】,因为 ，所以PF,1,PF,2,，得F,1,PF,2,为直,角三角形，又因为tanPF,1,F,2,=2，所以可设|PF,1,|=m，则,|PF,2,|=2m，2a=3m，2c=m，,所以离心率,答案：,26/62,【反思感悟】,1.求椭圆离心率值问题，关键是依据题设条件寻找关于a、b、c一个等式，或解方程求出离心率，或直接求出离心率；,2.在解方程求椭圆离心率值时，要注意椭圆离心率本身范围，有增根要舍去.,27/62,【变式训练】,定义：离心率 椭圆为“黄金椭圆”，,已知E：(ab0)一个焦点为F(c,0)(c0)，则E为,“黄金椭圆”是“a、b、c成等比数列”(),(A)既不充分也无须要条件,(B)充分且必要条件,(C)充分无须要条件,(D)必要不充分条件,28/62,【解析】,选B.若E为黄金椭圆，则,所以a,b,c成等比数列.,若a、b、c成等比数列，则b,2,=ac,a,2,-c,2,=ace,2,+e-1=0，又0eb0)左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为,平行四边形，且OAB30，则椭圆E离心率等于_.,30/62,【解析】,依题设知：点C坐标为()，又因为点C在椭圆,E上，所以有 解得a,2,=9b,2,，,所以,，,a,2,=9(a,2,-c,2,),，即,所以椭圆E离心率等于,答案：,31/62,直线与椭圆位置关系,【方法点睛】,1.直线与椭圆位置关系判断步骤,首先：联立直线方程与椭圆方程；,其次：消元得出关于x(或y)一元二次方程；,得出结论：当0时，直线与椭圆相交；当=0时，直线与椭圆相切；当0时，直线与椭圆相离.,32/62,2.直线被椭圆截得弦长公式,设直线与椭圆交点坐标为A(x,1,y,1,)、B(x,2,，y,2,),则,(k为直线斜率).,33/62,3.直线与椭圆相交时常见问题处理方法,包括问题,处理方法,弦 长,根与系数关系、弦长公式,中点弦或弦中点,点差法,34/62,【提醒】,利用公式计算直线被椭圆截得弦长是在方程有解情况下进行，不要忽略判别式.,35/62,【例3】(北京高考)已知椭圆 过点(m,0)作圆x,2,+y,2,=1切线,l,交椭圆G于A,B两点.,(1)求椭圆G焦点坐标和离心率；,(2)将|AB|表示为m函数，并求|AB|最大值.,【解题指南】,(1)依据标准方程可求出焦点坐标和离心率；,(2)先讨论切线,l,斜率不存在时两种情况，当斜率存在时，联立切线方程与椭圆方程，利用根与系数关系及弦长公式可表示出|AB|，再求|AB|最大值.,36/62,【规范解答】,(1)由已知得a=2,b=1，所以 所以椭圆G焦点坐标为 离心率为,(2)由题意知，|m|1.,当m=1时，切线,l,方程为x=1，点A,B坐标分别为,此时,当m=-1时，同理可得,当|m|1时，设切线,l,方程为y=k(x-m).,得,(1+4k,2,)x,2,-8k,2,mx+4k,2,m,2,-4=0.,37/62,设,A,B,两点坐标分别为,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,).,又由,l,与圆,x,2,+y,2,=1,相切，,得,所以,38/62,因为当m=1时，|AB|=,当且仅当,所以|AB|最大值为2.,39/62,【反思感悟】,1.经过本题解答可知，已知椭圆标准方程，可直接求出椭圆焦点坐标、离心率，也可求出其顶点坐标、长轴长、短轴长等.求直线被椭圆截得弦长最值，关键是求出弦长解析式，然后利用函数性质或基本不等式求最值；,2.在求切线方程时，要注意讨论直线斜率存在与不存在两种情况.,40/62,【变式训练】,若F,1,、F,2,分别是椭圆 左、右焦,点，P是该椭圆上一个动点，且,(1)求出这个椭圆方程；,(2)是否存在过定点N(0,2)直线,l,与椭圆交于不一样两点A、B，,使 (其中O为坐标原点)？若存在，求出直线,l,斜率k；若,不存在，说明理由,41/62,【解析】,(1)依题意，得2a=4,所以,椭圆方程为,(2)显然当直线,l,斜率不存在，即x=0时，不满足条件,设,l,方程为y=kx+2，,由A、B是直线,l,与椭圆两个不一样交点，,设A(x,1,y,1,)，B(x,2,y,2,)，,42/62,消去y并整理，得,(1+4k,2,)x,2,+16kx+12=0,=(16k),2,-4(1+4k,2,)120，,得 ,43/62,由可知k=2，,所以，存在斜率k=2直线,l,符合题意,44/62,【满分指导】,直线与椭圆综合问题规范解答,【典例】(12分)(江苏高考)如图，,在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭,圆 顶点，过坐标原点直线,交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，,过P作x轴垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA斜率为k.,45/62,(1)当直线PA平分线段MN时，求k值；,(2)当k=2时，求点P到直线AB距离d；,(3)对任意k0，求证：PAPB.,【解题指南】,(1)利用MN中点在PA上即可求解；,(2)先求点P坐标，再求出AB方程，就能求出距离d;(3)证实斜率之积为-1即可.,46/62,【规范解答】,(1)由题意知，a=2,b=故M(-2,0),N(0,).,所以线段MN中点坐标为 ，因为直线PA平分线段MN，,故直线PA过线段MN中点，又直线PA过坐标原点，所以,3分,(2)直线PA方程为y=2x，代入椭圆方程得 解得,x=，所以P(,),A(-,-),于是C(,0),直线AC斜率为,47/62,所以直线AB方程为 5分,所以 7分,(3)方法一：将直线PA方程y=kx代入 ，,解得x=记=8分,则P(,k),A(-,-k)，于是C(,0)，故直线AB斜率,为 ，直线AB方程为y=(x-)，代入椭圆方程得,(2+k,2,)x,2,-2k,2,x-,2,(3k,2,+2)=0，解得 或x=-，,10分,48/62,所以 于是直线PB斜率为,所以k,1,k=-1，所以PAPB.12分,方法二：设P(x,1,y,1,)，B(x,2,y,2,),则x,1,0,x,2,0,x,1,x,2,，,A(-x,1,-y,1,),C(x,1,0).8分,设直线PB，AB斜率分别为k,1,k,2,.因为C在直线AB上，所以,49/62,从而,10分,所以,k,1,k=-1,，所以,PAPB.12,分,50/62,【阅卷人点拨】,经过高考中阅卷数据分析与总结，我们能够得到以下失分警示和备考提议：,失,分,警,示,解答本题时有两点轻易造成失分:,(1)解答第二问时，找不到AB直线方程，其错误原因是只看到了点A，而忽略了点C在直线AB上这一条件；,(2)计算直线PA、PB斜率之积时，运算上出现错误.,51/62,备,考,建,议,处理直线与椭圆综合问题时，要注意以下几点：,(1)注意观察应用题设中每一个条件，明确确定直线、椭圆条件；,(2)强化相关直线与椭圆方程联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间关系、弦长、斜率、三角形面积等问题.,52/62,1.(新课标全国卷)椭圆 离心率为(),(A)(B)(C)(D),【解析】,选D.直接求 故选D.,53/62,2.(榆林模拟)已知椭圆C：(ab0)离心率,为 ,短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k0)直线与椭圆,C相交于A、B两点.若 则k=(),(A)1 (B)(C)(D)2,54/62,【解析】,选B.方法一：横坐标法,由题意得 b=1,a=2,c=,F(,0)，,C:,直线方程为y=k(x-),令A(x,1,y,1,),B(x,2,y,2,)，,由 得(1+4k,2,)x,2,-8 k,2,x+12k,2,-4=0，,55/62,-x,1,=3(x,2,-),即x,1,=4 -3x,2,代入得,代入得,即k,2,=2,k0,k=.,56/62,方法二：以上同方法一：纵坐标法,由,得,，,y,1,=-3y,2,57/62,代入得,代入得,解得,k,2,=2,k0,k=.,58/62,3.(新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C中,心为原点，焦点F,1,F,2,在x轴上，离心率为 .过F,1,直线,l,交C,于A,B两点，且ABF,2,周长为16，那么C方程为_.,【解析】,由ABF,2,周长等于4a=16,得a=4，又知离心率为,即 ，进而c=，所以a,2,=16，b,2,=a,2,-c,2,=16-8=8，,C方程为,答案：,59/62,4.(浙江高考)设F,1,F,2,分别为椭圆 左、右焦,点，点A,B在椭圆上，若 ，则点A坐标是_.,【解析】,椭圆焦点分别为F,1,(-,0),F,2,(,0)，设A点坐标,为(m,n),B点坐标为(p,t)则m+=5(p-),即,又 且 由上面两式解得m=0,n=1,即,点A坐标是(0,1).,答案：,(0，1)或(0,-1),60/62,61/62,62/62,
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