高考数学复习第十五章平面解析几何初步15.2圆的标准方程和一般方程市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),15.2圆标准方程和普通方程,1/33,1.,(江苏,10,5分,0.534)在平面直角坐标系,xOy,中,以点(1,0)为圆心且与直线,mx,-,y,-2,m,-1=0(,m,R)相切全部圆中,半径最大圆标准方程为,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,(,x,-1),2,+,y,2,=2,解析,由,mx,-,y,-2,m,-1=0可得,m,(,x,-2)=,y,+1,由,m,R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线,mx,-,y,-2,m,-1=0距离最大值为=,故所求圆标准方程为(,x,-1),2,+,y,2,=2.,2/33,2.,(江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,已知以,M,为圆心圆,M,:,x,2,+,y,2,-12,x,-14,y,+60=0,及其上一点,A,(2,4).,(1)设圆,N,与,x,轴相切,与圆,M,外切,且圆心,N,在直线,x,=6上,求圆,N,标准方程;,(2)设平行于,OA,直线,l,与圆,M,相交于,B,C,两点,且,BC,=,OA,求直线,l,方程;,(3)设点,T,(,t,0)满足:存在圆,M,上两点,P,和,Q,使得,+,=,求实数,t,取值范围.,3/33,解析,圆,M,标准方程为(,x,-6),2,+(,y,-7),2,=25,所以圆心,M,(6,7),半径为5.,(1)由圆心,N,在直线,x,=6上,可设,N,(6,y,0,).,因为圆,N,与,x,轴相切,与圆,M,外切,所以0,y,0,0),由题意可得,解得,所以圆,C,方程为(,x,-2),2,+,y,2,=9.,方法总结,待定系数法是求解圆方程惯用方法,普通步骤为:设出圆方程;列出关于系,数方程组,并求出各系数值;检验各值是否符合题意,并写出满足题意圆方程.,评析,本题主要考查点与圆位置关系,点到直线距离公式以及圆方程求法,考查方程思,想方法应用,注意圆心横坐标取值范围是处理本题关键.,9/33,考点二圆普通方程,1.,(浙江,10,6分)已知,a,R,方程,a,2,x,2,+(,a,+2),y,2,+4,x,+8,y,+5,a,=0表示圆,则圆心坐标是,半,径是,.,答案,(-2,-4);5,解析,方程,a,2,x,2,+(,a,+2),y,2,+4,x,+8,y,+5,a,=0表示圆,则,a,2,=,a,+2,故,a,=-1或2.当,a,=2时,方程为4,x,2,+4,y,2,+4,x,+8,y,+10=0,即,x,2,+,y,2,+,x,+2,y,+,=0,亦即,+(,y,+1),2,=-,不成立,故舍去;当,a,=-1时,方程为,x,2,+,y,2,+4,x,+8,y,-,5=0,即(,x,+2),2,+(,y,+4),2,=25,故圆心为(-2,-4),半径为5.,评析,本题重点考查圆普通方程.圆普通方程除了要求,x,2,y,2,系数相等以外,还要注意求出,圆半径平方必须为正.(对于,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,要求,D,2,+,E,2,-4,F,0),10/33,2.,(重庆改编,8,5分)已知直线,l,:,x,+,ay,-1=0(,a,R)是圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,x,-2,y,+1=0对称轴.过点,A,(-4,a,),作圆,C,一条切线,切点为,B,则|,AB,|=,.,答案,6,解析,圆,C,标准方程为(,x,-2),2,+(,y,-1),2,=2,2,圆心为,C,(2,1),半径,r,=2,由直线,l,是圆,C,对称轴,知直线,l,过点,C,所以2+,a,1-1=0,a,=-1,所以,A,(-4,-1),于是|,AC,|,2,=40,所以|,AB,|=,=6.,11/33,一、填空题(每小题5分,共25分),1.,(江苏淮阴中学第一学期期中,12)已知函数,y,=,sin,部分图象如图所表示,则,过,A,B,C,三点圆方程为,.,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：35分钟 分值：55分),12/33,答案,(,x,-5),2,+(,y,+1),2,=5,解析,易得,A,(3,0),B,(7,0),C,(6,1),则,AB,垂直平分线方程为,x,=5,可得直线,AC,方程为,y,=,(,x,-3),所以,AC,垂直平分线方程为3,x,+,y,-14=0,所以圆心为(5,-1),半径为=,所以所,求圆方程为(,x,-5),2,+(,y,+1),2,=5.,2.,(江苏苏州自主学习测试)圆心在抛物线,y,=,x,2,上,而且和该抛物线准线及,y,轴都相切,圆标准方程为,.,答案,(,x,1),2,+,=1,解析,由题意得圆心到抛物线准线及,y,轴距离相等,都等于圆半径,设圆心坐标为(,a,b,),则,b,=,=,a,2,=2,b,=1,所以,a,=,1,则圆半径,r,=|,a,|=1,所以所求圆标准方程为(,x,1),2,+,=1.,13/33,3.,(江苏苏锡常镇四市二模,11)在平面直角坐标系,xOy,中,已知过原点,O,动直线,l,与圆,C,:,x,2,+,y,2,-6,x,+5=0相交于不一样两点,A,B,若点,A,恰为线段,OB,中点,则圆心,C,到直线,l,距离为,.,答案,解析,解法一:可设,A,(,x,1,y,1,),B,(2,x,1,2,y,1,),代入圆方程解得,从而直线,l,方程为,y,=,x,又由已知得圆心坐标为(3,0),利用点到直线距离公式可得圆心,C,到直线,l,距离,d,=,.,解法二:可设2|,AO,|=|,OB,|=2,m,连接,OA,OB,在,OCB,、,OCA,中,利用余弦定理可得,解得,m,=,再由弦长与弦心距关系可得圆心,C,到直线,l,距,离,d,=,=,.,14/33,4.,(江苏南通调研,12)在平面直角坐标系,xOy,中,过点,P,(-2,0)直线与圆,x,2,+,y,2,=1相切于点,T,与,圆(,x,-,a,),2,+,=3相交于点,R,S,且|,PT,|=|,RS,|,则正数,a,值为,.,答案,4,解析,设过点,P,(-2,0)且与圆,x,2,+,y,2,=1相切直线方程为,y,=,k,(,x,+2),利用切线性质可得切线方程为,y,=,(,x,+2),画图可得满足题设切线斜率为正,即满足题设切线方程为,y,=,(,x,+2),即,x,-,y,+,2=0.,易求得|,PT,|=,则|,RS,|=,.,从而圆心(,a,)到直线,x,-,y,+2=0距离为,所以,=,故|,a,-1|=3,解得,a,=4或,a,=-2,又,a,0,所以,a,=4.,15/33,5.,(江苏南京、盐城一模,12)过点,P,(-4,0)直线,l,与圆,C,:(,x,-1),2,+,y,2,=5相交于,A,B,两点,若点,A,恰,好是线段,PB,中点,则直线,l,方程为,.,答案,x,3,y,+4=0,解析,若直线,l,与,x,轴重合,则,A,(1-,0),B,(1+,0),但,A,不是线段,PB,中点,故直线,l,与,x,轴不重合.,故设,l,:,x,=,my,-4,由已知得圆心,C,到直线,l,距离,d,=,取线段,AB,中点,Q,则|,AQ,|=,|,PQ,|=,3|,AQ,|=3,在Rt,CPQ,中,由|,PQ,|,2,+|,CQ,|,2,=|,PC,|,2,得,d,2,=,由,=,解得,m,=,3,则直线,l,方程,为,x,3,y,+4=0.,16/33,二、解答题(共30分),6.,(江苏海安高级中学阶段检测,17)已知圆,O,:,x,2,+,y,2,=4与,x,轴负半轴交点为,A,点,P,在直线,l,:,x,+,y,-,a,=0上,过点,P,作圆,O,切线,切点为,T,.,(1)若,a,=8,切点,T,(,-1),求直线,AP,方程;,(2)若,PA,=2,PT,求实数,a,取值范围.,17/33,解析,(1)由题意,直线,PT,切圆,O,于点,T,则,OT,PT,因为切点,T,坐标为(,-1),所以,k,OT,=-,k,PT,=-,=,故直线,PT,方程为,y,+1=,(,x,-,),即,x,-,y,-4=0.,由,解得,即,P,(2,2),所以直线,AP,斜率,k,=,=,=,故直线,AP,方程为,y,=,(,x,+2),即直线,AP,方程为,x,-(,+1),y,+2=0.,(2)设,P,(,x,y,),由,PA,=2,PT,可得(,x,+2),2,+,y,2,=4(,x,2,+,y,2,-4),即3,x,2,+3,y,2,-4,x,-20=0,满足,PA,=2,PT,点,P,轨迹是一个圆:,+,y,2,=,18/33,该圆圆心,到直线,l,距离,d,=,即,解得,a,.,7.,(江苏姜堰期中,17)已知,ABC,顶点坐标分别是,A,(-1,0),B,(2,),C,(1,-2),O,为坐标原点.,(1)求,ABC,外接圆方程;,(2)设,P,为,ABC,外接圆上任意一点,求|,OP,|最大值和最小值.,19/33,解析,(1)设,ABC,外接圆方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,代入,A,B,C,坐标,得,解得,所以,ABC,外接圆方程为,x,2,+,y,2,-2,x,-3=0.,(2)设圆上任意一点,P,(,x,0,y,0,),则,+,-2,x,0,-3=0,所以|,OP,|,2,=,+,=2,x,0,+3,又,ABC,外接圆标准方程为(,x,-1),2,+,y,2,=4,所以,x,0,-1,3,所以|,OP,|,2,最小值为1,最大值为9,所以|,OP,|最小值为1,最大值为3.,8.,(江苏淮安调研,17)在平面直角坐标系,xOy,中,圆,C,过点(0,-1),(3+,0),(3-,0).,(1)求圆,C,方程;,(2)是否存在实数,a,使得圆,C,与直线,x,+,y,+,a,=0交于,A,B,两点,且,OA,OB,?若存在,求出,a,值;若不存,在,请说明理由.,20/33,解析,(1)设圆,C,方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,把(0,-1),(3+,0),(3-,0)分别代入圆方程,得,解得,D,=-6,E,=8,F,=7,圆,C,方程为,x,2,+,y,2,-6,x,+8,y,+7=0.,(2)由,得2,x,2,+(2,a,-14),x,+,a,2,-8,a,+7=0,圆,C,与直线,x,+,y,+,a,=0交于,A,B,两点,=(2,a,-14),2,-8(,a,2,-8,a,+7)0,解得-5,a,7.,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,x,1,+,x,2,=7-,a,x,1,x,2,=,y,1,y,2,=(-,x,1,-,a,)(-,x,2,-,a,)=,x,1,x,2,+,a,(,x,1,+,x,2,)+,a,2,OA,OB,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,即2,x,1,x,2,+,a,(,x,1,+,x,2,)+,a,2,=0,2,+(7-,a,),a,+,a,2,=0,整理,得,a,2,-,a,+7=0,此方程无解,不存在实数,a,使得圆,C,与直线,x,+,y,+,a,=0交于,A,B,两点,且,OA,OB,.,21/33,评析,本题第(1)问考查用待定系数法求过不在同一直线上三点圆方程,准确、快速地解三,元一次方程组是处理问题关键.第(2)问考查满足条件直线方程是否存在判断与求法,是,中等题,解题时要注意根与系数关系应用和方程思想合理利用.,22/33,一、填空题(每小题5分,共10分),1.,(江苏六市高三3月联考,10)在平面直角坐标系,xOy,中,已知圆,C,1,:(,x,-4),2,+(,y,-8),2,=1,圆,C,2,:(,x,-6),2,+,(,y,+6),2,=9.若圆心在,x,轴上圆,C,同时平分圆,C,1,和圆,C,2,圆周,则圆,C,方程是,.,B,组 高考模拟综合题组,(时间：35分钟 分值：45分),答案,(,x,+4),2,+,y,2,=289,解析,设,C,(,m,0),圆,C,半径为,r,则圆,C,方程为(,x,-,m,),2,+,y,2,=,r,2,则圆,C,与圆,C,1,和圆,C,2,公共弦所在直线方程分别为(8-2,m,),x,+16,y,+,m,2,=,r,2,-81,(12-2,m,),x,-12,y,+,m,2,=,r,2,-,81,圆,C,同时平分圆,C,1,和圆,C,2,圆周,故,C,1,(4,8)、,C,2,(6,-6)分别在上述两条公共弦所在直线上,所以,解得,m,=-4,r,=17,从而所求圆方程为(,x,+4),2,+,y,2,=289.,23/33,思绪分析,由题意得圆,C,与圆,C,1,和圆,C,2,公共弦分别为圆,C,1,圆,C,2,直径,求出圆心坐标,可得结,论.,2.,(江苏姜堰中学适应性考试,12)已知圆,O,:,x,2,+,y,2,=4,M,(1,0),直线,l,:,x,+,y,=,b,P,在圆,O,上,Q,在直线,l,上,满足,=0,|,|=|,|,则,b,最大值为,.,答案,2+2,解析,如图,过,P,作,x,轴垂线,垂足为,A,过,Q,作,x,轴垂线,垂足为,B,当点,P,在第二象限时,b,才有可,能最大,由题设可得,PAM,与,MBQ,全等,此时可设,PA,=2sin,AM,=1-2cos,从而得,Q,(1+2sin,1-2cos,),又,Q,在直线,x,+,y,=,b,上,故,b,=2sin,-2cos,+2=2,sin,+2,又,-,从而,b,2,+2,即,b,最大值为2+2,.,24/33,二、解答题(共35分),3.,(江苏泰州中学第二次质量检测,18)已知平面直角坐标系,xOy,内两个定点,A,(1,0),B,(4,0),满,足|,PB,|=2|,PA,|点,P,(,x,y,)形成曲线记为,.,(1)求曲线,方程;,(2)过点,B,直线,l,与曲线,相交于,C,D,两点,当,COD,面积最大时,求直线,l,方程;,(3)设曲线,分别交,x,y,轴正半轴于,M,N,两点,点,Q,是曲线,位于第三象限内任意一点,连接,QN,交,x,轴于点,E,连接,QM,交,y,轴于点,F,连接,EF,求证四边形,MNEF,面积为定值.,25/33,解析,(1)由题设知2=,化简得,x,2,+,y,2,=4.,曲线,方程为,x,2,+,y,2,=4.,(2)由题意知,l,斜率一定存在,设,l,:,y,=,k,(,x,-4),即,kx,-,y,-4,k,=0,原点到直线,l,距离,d,=,CD,=2,S,COD,=,|,CD,|,d,=,=2,当且仅当,d,2,=2时,取“=”,d,2,=2,r,2,=4,当,d,2,=2时,=2,k,2,=,k,=,.,直线,l,方程为,y,=,(,x,-4).,(3)证实:,S,四边形,MNEF,=,S,MNE,+,S,MEF,=,|,ME,|,NF,|,设,Q,(,x,0,y,0,),E,(,e,0),F,(0,f,)(其中,x,0,0,y,0,0,+,=4),则直线,QM,:,y,=,(,x,-2),将点,F,(0,f,)坐标代入得,f,=,26/33,|,NF,|=2-,=,.,直线,QN,:,y,=,x,+2,将点,E,(,e,0)坐标代入得,e,=,.,|,ME,|=2-,=,.,S,四边形,MNEF,=,|,NF,|,ME,|=,=2,=2,=4(定,值).,27/33,思绪分析,(1)利用直接法求出曲线,方程即可;(2)利用几何法表示出,COD,面积,利用不等,式知识求其最值,从而写出此时直线方程;(3)分别求出直线,QN,与,QM,方程,进而求得|,NF,|,|,ME,|,利用,S,四边形,MNEF,=,|,ME,|,NF,|可证得结论.,4.,(江苏常州一中、江阴南菁中学联考,19)已知直线,x,-2,y,+2=0与圆,C,:,x,2,+,y,2,-4,y,+,m,=0相交,直线,被圆截得弦长为,.,(1)求圆,C,方程;,(2)过原点,O,作圆,C,两条切线,与抛物线,y,=,x,2,相交于,M,、,N,两点(异于原点),证实:直线,MN,与圆,C,相,切;,(3)若抛物线,y,=,x,2,上三个不一样点,P,、,Q,、,R,满足直线,PQ,和,PR,都与圆,C,相切,判断直线,QR,与圆,C,位置关系,并加以证实.,28/33,解析,(1)易知,C,(0,2),圆心,C,到直线,x,-2,y,+2=0距离,d,=,=,设圆,C,半径为,r,直线被圆截得弦长为,r,2,=,+,=1,圆,C,方程为,x,2,+(,y,-2),2,=1.,(2)证实:设过原点切线方程为,y,=,kx,即,kx,-,y,=0,由已知得,=1,解得,k,=,.,过原点切线方程为,y,=,x,不妨设直线,y,=,x,与抛物线交点为,M,由,解得,M,(,3),同理可求,N,(-,3).,直线,MN,方程为,y,=3.,圆心,C,(0,2)到直线,MN,距离为1且,r,=1,直线,MN,与圆,C,相切.,(3)直线,QR,与圆,C,相切.证实以下:,29/33,设,P,(,a,a,2,),Q,(,b,b,2,),R,(,c,c,2,),则直线,PQ,、,PR,、,QR,方程分别为,PQ,:(,a,+,b,),x,-,y,-,ab,=0,PR,:(,a,+,c,),x,-,y,-,ac,=0,QR,:(,b,+,c,),x,-,y,-,bc,=0.,PQ,是圆,C,切线,=1,化简得(,a,2,-1),b,2,+2,ab,+3-,a,2,=0.,PR,是圆,C,切线,(,a,2,-1),c,2,+2,ac,+3-,a,2,=0,则,b,c,为关于,x,方程(,a,2,-1),x,2,+2,ax,+3-,a,2,=0两个实根,b,+,c,=-,bc,=,.,圆心到直线,QR,距离,d,1,=,=,=,=1=,r,直线,QR,与圆,C,相切.,30/33,5.,(江苏徐州、淮安、宿迁、连云港一模,17)在平面直角坐标系,xOy,中,已知点,A,(-3,4),B,(9,0),C,D,分别为线段,OA,OB,上动点,且满足,AC,=,BD,.,(1)若,AC,=4,求直线,CD,方程;,(2)证实:,OCD,外接圆恒过定点(异于原点,O,).,31/33,解析,(1)因为,A,(-3,4),所以,OA,=,=5,又因为,AC,=4,所以,OC,=1,所以,C,由,AC,=,BD,=,4,得,D,(5,0),所以直线,CD,斜率为,=-,所以直线,CD,方程为,y,=-,(,x,-5),即,x,+7,y,-5=0.,(2)证实:设,C,(-3,m,4,m,)(0,m,1),则,OC,=5,m,所以,AC,=,OA,-,OC,=5-5,m,因为,AC,=,BD,所以,OD,=,OB,-,BD,=5,m,+4,所以,D,点坐标为(5,m,+4,0),又设,OCD,外接圆方程为,x,2,+,y,2,+,Dx,+,Ey,+,F,=0,则有,解得,D,=-(5,m,+4),F,=0,E,=-10,m,-3,所以,OCD,外接圆方程为,x,2,+,y,2,-(5,m,+4),x,-(10,m,+3),y,=0,整理得,x,2,+,y,2,-4,x,-3,y,-5,m,(,x,+2,y,)=0,32/33,令,所以,(舍去)或,所以,OCD,外接圆恒过异于,O,定点(2,-1).,评析,本题考查直线方程和圆方程求解,属轻易题,由题中所给等量关系,先表示出点,坐标,再用待定系数法确定方程,很多学生确定圆方程时,定势思维求出圆心坐标,算出半径长,度,而此法对本题略显麻烦,条件中三点位置没有显著特殊性,可直接代入普通方程求解.,33/33,