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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,17,讲导数与函数极值、最值,1/42,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.能利用导数研究函数,单调性，会求函数,单调区间(其中多项式函,数普通不超出三次).,2.会用导数求函数极,大值、极小值(其中多项,式函数普通不超出三,次)；会求闭区间上函数,最大值、最小值(其中,多项式函数普通不超出,三次).,3.会利用导数处理一些,实际问题,年新课标第 20 题(1)(2),考查导数几何意义、单调性、,极大值等；,年新课标第 21 题考查函,数极值充要条件及利用单调,性讨论参数取值范围；,年新课标第 12 题以函数,零点为背景，考查导数应用；,年新课标第 12 题结构函,数利用其单调性解不等式；,年新课标第 21 题考查函,数单调性,本节复习时，要尤其注意,三次函数、指数函数与对,数函数(以 e 为底)综合,题.要深入体会导数应用,中蕴含数学思想方法.,分类讨论思想(如参数问,题讨论)；数形结合思想,(如经过从导函数图象特,征解读函数图象特征或,求两曲线交点个数)；等价,转化思想(如将证实不,等式问题等价转化为研究,对应问题最值等),2/42,1.,函数极值,f,(,x,),0,f,(,x,),0,(1),判断,f,(,x,0,),是极值方法：,普通地，当函数,f,(,x,),在点,x,0,处连续时，,假如在,x,0,附近左侧,f,(,x,),0,，右侧,f,(,x,),0,，那么,f,(,x,0,),是极大值；,假如在,x,0,附近左侧,_,，右侧,_,，那么,f,(,x,0,),是极小值,.,3/42,(2),求可导函数极值步骤：,求,f,(,x,),；,求方程,f,(,x,),0,根；,检验,f,(,x,),在方程,f,(,x,),0,根左右两边导函数值符,号,.,假如左正右负，那么,f,(,x,),在这个根处取得,_,；假如,左负右正，那么,f,(,x,),在这个根处取得极小值；假如左右两侧符号,一样，那么这个根不是极值点,.,极大值,4/42,2.,函数最值,(1),函数,f,(,x,),在,a,，,b,上有最值条件：,假如在区间,a,，,b,上，函数,y,f,(,x,),图象是一条连续不停,曲线，那么它必有最大值和最小值,.,(2),若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递增，则,f,(,a,),为函数最小,值，,f,(,b,),为函数最,大值；,若函数,f,(,x,),在,a,，,b,上单调递减，则,f,(,a,),为函数最大值，,f,(,b,),为函数最小值,.,5/42,(3),求,y,f,(,x,),在,a,，,b,上最大,(,小,),值步骤：,求函数,y,f,(,x,),在,(,a,，,b,),内,_,；,将函数,y,f,(,x,),各极值与,_,比较，其中最大,一个是最大值，最小,一个是最小值,.,极值,端点值,6/42,3.,利用导数处理实际生活中优化问题基本步骤,(1),分析实际问题中各变量之间关系，建立实际问题数,学模型，写出对应函数关系式,y,f,(,x,),并确定定义域；,(2),求导数,f,(,x,),，解方程,f,(,x,),0,；,(3),判断使,f,(,x,),0,点是极大值点还是极小值点,；,(4),确定函数最大值或最小值，还原到实际问题中作答，,即取得优化问题答案,.,7/42,8/42,答案：,A,9/42,C.,x,2,为,f,(,x,),极大值点,D.,x,2,为,f,(,x,),极小值点,D,10/42,11/42,4.(,年陕西,),函数,x,e,x,在其极值点处切线方程为,_.,12/42,考点,1,函数极值,例,1,：,(20,13,年新课标,),已知函数,f,(,x,),e,x,(,ax,b,),x,2,4,x,，,曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,f,(0),处切线方程为,y,4,x,4.,(1),求,a,，,b,值；,(2),讨论,f,(,x,),单调性，并求,f,(,x,),极大值,.,解：,(1),f,(,x,),e,x,(,ax,a,b,),2,x,4.,由已知，得,f,(0),4,，,f,(0),4.,故,b,4,，,a,b,8.,从而,a,4,，,b,4.,13/42,14/42,【,规律方法,】,(1),求可导函数单,调区间普通步骤和方法：,确定函数,f,(,x,),定义域；,求,f,(,x,),，令,f,(,x,),0,，求出它在定义域内一切实根；,把函数,f,(,x,),间断点,即,f,(,x,),无定义点,横坐标和上面,各实数根按从小到大次序排列起来，然后用这些点把函数,f,(,x,),定义区间分成若干个小区间；,确定,f,(,x,),在各个开区间内符号，依据,f,(,x,),符号判,定函数,f,(,x,),在每个对应小开区间内增减性,.,15/42,(,2,),可导函数极值存在条件,：,可导函数极值点,x,0,一定满足,f,(,x,0,),0,，,但当,f,(,x,1,),0,时，,x,1,不一定是极值点,.,如,f,(,x,),x,3,，,f,(,0,),0,，,但,x,0,不是极值点；,可导函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处取得极值充要条件是,f,(,x,0,),0,，,且在,x,0,左侧与右侧,f,(,x,),符号不一样,.,16/42,【,互动探究,】,A,1.,(,年新课标,),若,x,2,是函数,f,(,x,),(,x,2,ax,1),e,x,1,极值点，则,f,(,x,),极小值为,(,),A.,1,B.,2e,3,C.5e,3,D.1,解析：,由题可得,f,(,x,),(2,x,a,)e,x,1,(,x,2,ax,1)e,x,1,x,2,(,a,2),x,a,1e,x,1,.,因为,f,(,2),0,，所以,a,1,，,f,(,x,),(,x,2,x,1)e,x,1,.,故,f,(,x,),(,x,2,x,2)e,x,1,.,令,f,(,x,)0,，解得,x,1,，所以,f,(,x,),在,(,，,2),，,(1,，,),上单调递增，在,(,2,，,1),上单调递减,.,所以,f,(,x,),极小值为,f,(1),(1,1,1)e,1,1,1.,故选,A.,17/42,2.,已知函数,f,(,x,),x,(ln,x,ax,),有两个极值点，则实数,a,取,值范围是,(,),A.(,，,0),C.(0,1),D.(0,，,),18/42,答案：,B,19/42,考点,2,函数最值,例,2,：,(20,17,年北京,),已知函数,f,(,x,),e,x,cos,x,x,.,(1),求曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,f,(0),处切线方程；,解：,(1),因为,f,(,x,),e,x,cos,x,x,，,所以,f,(,x,),e,x,(cos,x,sin,x,),1,，,f,(0),0.,又因为,f,(0),1,，所以曲线,y,f,(,x,),在点,(0,，,f,(0),处切线方,程为,y,1.,20/42,21/42,【,规律方法,】,求函数,f,(,x,),在,a,，,b,上最大值、最小值步,骤：,求函数在,(,a,，,b,),内极值；,求函数在区间端点函数值,f,(,a,),，,f,(,b,),；,将函数,f,(,x,),极值与,f,(,a,),，,f,(,b,),比较，其中最大为最大,值，最小为最小值,.,22/42,【,互动探究,】,3.(,年河南郑州模拟,),已知函数,f,(,x,),(,x,k,)e,x,.,(1),求,f,(,x,),单调区间；,(2),求,f,(,x,),在区间,0,1,上最小值,.,23/42,x,(,，,k,1),k,1,(,k,1,，,),f,(,x,),0,f,(,x,),单调递减,e,k,1,单调递增,解：,(1),由,f,(,x,),(,x,k,)e,x,，得,f,(,x,),(,x,k,1)e,x,.,令,f,(,x,),0,，得,x,k,1.,当,x,改变时，,f,(,x,),与,f,(,x,),改变情况以下表：,所以,f,(,x,),单调递减区间是,(,，,k,1),，单调递增区间是,(,k,1,，,).,24/42,(2),当,k,1,0,，即,k,1,时，,函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递增，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上最小值为,f,(0),k,.,当,0,k,1,1,，即,1,k,2,时，,由,(1),知,f,(,x,),在,0,，,k,1),上单调递减，在,(,k,1,1,上单调递增，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上最小值为,f,(,k,1),e,k,1,.,当,k,1,1,，即,k,2,时，函数,f,(,x,),在,0,1,上单调递减，,所以,f,(,x,),在区间,0,1,上最小值为,f,(1),(1,k,)e.,总而言之，当,k,1,时，,f,(,x,),min,k,；,当,1,k,2,时，,f,(,x,),min,e,k,1,；,当,k,2,时，,f,(,x,),min,(1,k,)e.,25/42,考点,3,利用导数处理生活中优化问题,例,3,：,(20,16,年江苏,),现需要设计一个仓库，它由上下两部,分组成，上部分形状是正四棱锥,P,A,1,B,1,C,1,D,1,，下部分形状,是正四棱柱,ABCD,-,A,1,B,1,C,1,D,1,(,如图,2-17-1),，并要求正四棱柱,高是,PO,1,四倍,.,(1),若,AB,6 m,，,PO,1,2 m,，则仓库容积,是多少？,(2),若正四棱锥侧棱长为,6 m,，则当,PO,1,为多少时，仓库容积最大？,图,2-17-1,26/42,解：,(1),由,PO,1,2 m,，知,OO,1,4,PO,1,8 m.,因为,A,1,B,1,AB,6 m,，,正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,体积,V,柱,AB,2,OO,1,6,2,8,288(m,3,).,所以仓库容积,V,V,锥,V,柱,24,288,312(m,3,).,27/42,28/42,29/42,【,规律方法,】,本题在利用导数求函数单调性时要注意，,求导后分子是一个二次项系数为负数一元二次式，在求,f,(,x,)0,和,f,(,x,)0,时要注意，本题主要考查考生对基本概,念掌握情况和基本运算能力,.,30/42,【,互动探究,】,31/42,32/42,(2),由,(1),解答可知,f,(,r,),0,，,f,(,x,),在,(0,，,r,),上单调递增，在,(,r,，,),上单调递减,.,所以,x,r,是,f,(,x,),极大值点，,所以,f,(,x,),在,(0,，,),内极大值为,f,(,r,),100,，,f,(,x,),在,(0,，,),内无极小值,.,总而言之，,f,(,x,),在,(0,，,),内极大值为,100,，无极小值,.,33/42,难点突破,利用转化与化归思想讨论函数中恒成立,(,存在性,),问题,34/42,35/42,36/42,37/42,【,互动探究,】,5.,已知函数,f,(,x,),x,2,e,ax,(,a,0).,(1),若,a,1,，求曲线,y,f,(,x,),在,(1,，,f,(1),处切线方程；,a,取值范围,.,38/42,39/42,x,(,，,1),(,1,1),(1,，,),g,(,x,),g,(,x,),单调递减,单调递增,单调递减,当,x,改变时，,g,(,x,),，,g,(,x,),改变情况以下表：,40/42,41/42,42/42,
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