资源描述
2.4,二次函数与幂函数,1/68,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,2/68,基础知识自主学习,3/68,1.,二次函数,(1),二次函数解析式三种形式,普通式：,f,(,x,),.,顶点式：,f,(,x,),.,零点式：,f,(,x,),.,知识梳理,a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a,0),a,(,x,m,),2,n,(,a,0),ax,2,bx,c,(,a,0),4/68,(2),二次函数图象和性质,解析式,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0),f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0,时，幂函数图象都过点,(1,1),和,(0,0),，且在,(0,，,),上单调递增；,当,0,时，幂函数图象都过点,(1,1),，且在,(0,，,),上单调递减,.,2.,幂函数,(1),定义：普通地，函数,y,x,叫做幂函数，其中,x,是自变量，,是常数,.,(2),幂函数图象比较,7/68,知识拓展,2.,幂函数图象和性质,(1),幂函数图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数奇偶性,.,(2),幂函数图象过定点,(1,1),，假如幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点,.,8/68,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),二次函数,y,ax,2,bx,c,，,x,a,，,b,最值一定是,.(,),(2),二次函数,y,ax,2,bx,c,，,x,R,不可能是偶函数,.(,),(3),在,y,ax,2,bx,c,(,a,0),中，,a,决定了图象开口方向和在同一直角坐标系中开口大小,.(,),(4),函数,y,2,x,是幂函数,.(,),(5),假如幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点,.(,),(6),当,n,0,时，幂函数,y,x,n,是定义域上减函数,.(,),思索辨析,9/68,考点自测,函数,f,(,x,),x,2,4,ax,图象是开口向上抛物线，,其对称轴是,x,2,a,，由函数在区间,(,，,6),内单调递减可知，,区间,(,，,6),应在直线,x,2,a,左侧，,2,a,6,，解得,a,3,，故选,D.,1.(,教材改编,),已知函数,f,(,x,),x,2,4,ax,在区间,(,，,6),内单调递减，则,a,取值范围是,A.,a,3 B.,a,3,C.,a,3 D.,a,3,答案,解析,10/68,2.,幂函数,y,f,(,x,),图象过点,(4,2),，则幂函数,y,f,(,x,),图象是,答案,解析,11/68,答案,解析,3.,已知函数,y,x,2,2,x,3,在闭区间,0,，,m,上有最大值,3,，最小值,2,，则,m,取值范围为,_.,1,2,如图，由图象可知,m,取值范围是,1,2.,12/68,4.(,教材改编,),已知幂函数,y,f,(,x,),图象过点,，则此函数解析式为,_,；在区间,_,上单调递减,.,(0,，,),答案,解析,单调减区间为,(0,，,).,13/68,题型分类深度剖析,14/68,题型一求二次函数解析式,例,1,(1)(,太原模拟,),已知二次函数,f,(,x,),与,x,轴两个交点坐标为,(0,0),和,(,2,0),且有最小值,1,，则,f,(,x,),_.,设函数解析式为,f,(,x,),ax,(,x,2),，,答案,解析,得,a,1,，所以,f,(,x,),x,2,2,x,.,x,2,2,x,15/68,(2),已知二次函数,f,(,x,),图象经过点,(4,3),，它在,x,轴上截得线段长为,2,，而且对任意,x,R,，都有,f,(2,x,),f,(2,x,),，求,f,(,x,),解析式,.,解答,16/68,f,(2,x,),f,(2,x,),对任意,x,R,恒成立，,f,(,x,),对称轴为,x,2.,又,f,(,x,),图象被,x,轴截得线段长为,2.,f,(,x,),0,两根为,1,和,3.,设,f,(,x,),解析式为,f,(,x,),a,(,x,1)(,x,3)(,a,0),，,又,f,(,x,),图象过点,(4,3),，,3,a,3,，,a,1,，,所求,f,(,x,),解析式为,f,(,x,),(,x,1)(,x,3),，,即,f,(,x,),x,2,4,x,3.,17/68,求二次函数解析式方法,思维升华,18/68,跟踪训练,1,(1),已知二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,1(,a,，,b,R,),，,x,R,，若函数,f,(,x,),最小值为,f,(,1),0,，则,f,(,x,),_.,设函数,f,(,x,),解析式为,f,(,x,),a,(,x,1),2,ax,2,2,ax,a,，,由已知,f,(,x,),ax,2,bx,1,，,a,1,，,故,f,(,x,),x,2,2,x,1.,答案,解析,x,2,2,x,1,19/68,(2),若函数,f,(,x,),(,x,a,)(,bx,2,a,)(,常数,a,，,b,R,),是偶函数，且它值域为,(,，,4,，则该函数解析式,f,(,x,),_.,由,f,(,x,),是偶函数知,f,(,x,),图象关于,y,轴对称，,又,f,(,x,),值域为,(,，,4,，,2,a,2,4,，故,f,(,x,),2,x,2,4.,答案,解析,2,x,2,4,20/68,题型二二次函数图象和性质,命题点,1,二次函数单调性,例,2,函数,f,(,x,),ax,2,(,a,3),x,1,在区间,1,，,),上是递减，则实数,a,取值范围是,A.,3,0)B.(,，,3,C.,2,0 D.,3,0,答案,解析,21/68,当,a,0,时，,f,(,x,),3,x,1,在,1,，,),上递减，满足条件,.,解得,3,a,0.,综上，,a,取值范围为,3,0.,22/68,引申探究,若函数,f,(,x,),ax,2,(,a,3),x,1,单调减区间是,1,，,),，则,a,_.,3,由题意知,a,0,，,g,(,m,),4,m,.,解答,24/68,(2),对任意,m,(0,1,，若,f,(,x,),在,0,，,m,上最大值为,h,(,m,),，求,h,(,m,),最大值,.,解答,25/68,26/68,命题点,3,二次函数中恒成立问题,例,4,(1),已知函数,f,(,x,),x,2,x,1,，在区间,1,1,上不等式,f,(,x,)2,x,m,恒成立，则实数,m,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,1),27/68,f,(,x,)2,x,m,等价于,x,2,x,12,x,m,，即,x,2,3,x,1,m,0,，,令,g,(,x,),x,2,3,x,1,m,，,要使,g,(,x,),x,2,3,x,1,m,0,在,1,1,上恒成立，,只需使函数,g,(,x,),x,2,3,x,1,m,在,1,1,上最小值大于,0,即可,.,g,(,x,),x,2,3,x,1,m,在,1,1,上单调递减，,g,(,x,),min,g,(1),m,1.,由,m,10,，得,m,1.,所以满足条件实数,m,取值范围是,(,，,1).,28/68,(2),已知,a,是实数，函数,f,(,x,),2,ax,2,2,x,3,在,x,1,1,上恒小于零，则实数,a,取值范围为,_.,2,ax,2,2,x,30,在,1,1,上恒成立,.,当,x,0,时，,30,，成立；,答案,解析,29/68,(1),二次函数最值问题解法：抓住,“,三点一轴,”,数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指是对称轴，结合配方法，依据函数单调性及分类讨论思想即可完成,.,(2),由不等式恒成立求参数取值范围思绪及关键,普通有两个解题思绪：一是分离参数；二是不分离参数,.,两种思绪都是将问题归结为求函数最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离,.,这两个思绪依据是：,a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),max,，,a,f,(,x,),恒成立,a,f,(,x,),min,.,思维升华,30/68,跟踪训练,2,(1),设函数,f,(,x,),ax,2,2,x,2,，对于满足,1,x,0,，则实数,a,取值范围为,_.,答案,解析,31/68,跟踪训练,2,已知函数,f,(,x,),x,2,2,x,，若,x,2,，,a,，求,f,(,x,),最小值,.,解答,32/68,函数,f,(,x,),x,2,2,x,(,x,1),2,1,，,对称轴为直线,x,1,，,x,1,不一定在区间,2,，,a,内，,应进行讨论，当,21,时，函数在,2,1,上单调递减，在,1,，,a,上单调递增，,则当,x,1,时，,f,(,x,),取得最小值，即,f,(,x,),min,1.,综上，当,21,时，,f,(,x,),min,1.,33/68,题型三幂函数图象和性质,则,k,等于,答案,解析,34/68,答案,解析,35/68,解,2,m,1,m,2,m,1,，得,1,m,2.,36/68,(1),幂函数形式是,y,x,(,R,),，其中只有一个参数,，所以只需一个条件即可确定其解析式,.,(2),在区间,(0,1),上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近,x,轴,(,简记为,“,指大图低,”,),，在区间,(1,，,),上，幂函数中指数越大，函数图象越远离,x,轴,.,思维升华,37/68,跟踪训,练,3,(,绍兴模拟,),幂函数图象经过点,(4,2),，若,0,a,b,0,时，函数,f,(,x,),在区间,1,2,上是增函数，最大值为,f,(2),8,a,1,4,，解得,a,；,9,分,(3),当,a,0,时，函数,f,(,x,),在区间,1,2,上是减函数，最大值为,f,(,1),1,a,4,，解得,a,3.,13,分,综上可知，,a,值为,或,3.,14,分,返回,41/68,课时训练,42/68,1.,函数,f,(,x,),x,2,mx,1,图象关于直线,x,1,对称充要条件是,A.,m,2 B.,m,2,C.,m,1 D.,m,1,已知函数,f,(,x,),x,2,mx,1,图象关于直线,x,1,对称，,则,m,2,；反之也成立,.,所以函数,f,(,x,),x,2,mx,1,图象关于直线,x,1,对称充要条件是,m,2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,43/68,2.,幂函数,y,(,m,Z,),图象如图所表示，则,m,值为,A.0 B.1 C.2 D.3,y,(,m,Z,),图象与坐标轴没有交点，,m,2,4,m,0,，即,0,m,4.,又,函数图象关于,y,轴对称且,m,Z,，,m,2,4,m,为偶数，所以,m,2.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,44/68,3.,已知二次函数,f,(,x,),满足,f,(2,x,),f,(2,x,),，且,f,(,x,),在,0,2,上是增函数，若,f,(,a,),f,(0),，则实数,a,取值范围是,A.,0,，,)B.(,，,0,C.,0,4,D.(,，,0,4,，,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/68,由题意可知函数,f,(,x,),图象开口向下，对称轴为,x,2(,如图,),，,若,f,(,a,),f,(0),，从图象观察可知,0,a,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/68,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/68,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/68,5.,若函数,f,(,x,),x,2,ax,a,在区间,0,2,上最大值为,1,，则实数,a,等于,A.,1 B.1,C.2 D.,2,答案,解析,函数,f,(,x,),x,2,ax,a,图象为开口向上抛物线，,函数最大值在区间端点处取得，,f,(0),a,，,f,(2),4,3,a,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/68,6.,已知二次函数,f,(,x,),2,ax,2,ax,1(,a,0),，若,x,1,f,(,x,2,),C.,f,(,x,1,),f,(,x,2,),D.,与,a,值相关,答案,解析,又依题意，得,x,1,0,，又,x,1,x,2,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/68,7.(,嘉兴教学测试一,),若函数,f,(,x,),是幂函数，则,f,(1),_,，若满足,f,(4),8,f,(2),，则,f,(),_.,设,f,(,x,),x,，则,f,(1),1,，,由,f,(4),8,f,(2),，得,4,8,2,，,3,，,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/68,8.,当,0,x,g,(,x,),f,(,x,).,答案,解析,h,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/68,9.,当,x,(1,2),时，不等式,x,2,mx,40,恒成立，则,m,取值范围是,_.,答案,解析,(,，,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/68,方法一,不等式,x,2,mx,40,对,x,(1,2),恒成立，,mx,f,(,a,1),实数,a,取值范围,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/68,所以,m,2,m,2,，解得,m,1,或,m,2.,又因为,f,(2,a,),f,(,a,1),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/68,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/68,13.(,余姚中学期中,),设函数,f,(,x,),x,2,px,q,(,p,，,q,R,).,(1),若,p,2,，当,x,4,，,2,时，,f,(,x,),0,恒成立，求,q,取值范围；,当,p,2,时，,f,(,x,),x,2,2,x,q,0,恒成立，,只需,f,(,x,),min,0.,易知,f,(,x,),x,2,2,x,q,在,x,4,，,2,上单调递减，,所以,f,(,x,),min,f,(,2),q,0.,即,q,取值范围为,0,，,).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/68,(2),若不等式,|,f,(,x,)|2,在区间,1,5,上无解，试求全部实数对,(,p,，,q,).,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,66/68,要使,|,f,(,x,)|2,在区间,1,5,上无解，,所以,3,p,q,1,，即,1,p,q,3,，,又,27,5,p,q,23,，,两式相加能够得到,7,p,5.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,67/68,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,可得,p,6,，代入不等式组，得,q,7.,所以满足题意实数对,(,p,，,q,),只有一对,(,6,7).,68/68,
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