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若,a,粒子,(,电量为,2,e,),在磁感应强度为,B,均匀磁场中沿半径为,R,圆形轨道运动，则,a,粒子德布罗意波长是,h,/,(2,eRB,),。,电子经电场加速，加速电势差为,150 V,(,不考虑相对论效应,),，其德布罗意波长为,l,=,1,10,-,10,m,。,能量和一个电子静止能量相等光子频率,n,=,1.24,10,20,Hz,；波长,l,=,0.00243,nm,；动量,p,=,2.73,10,-,22,kg,m,/,s,。,己知：,介子静能是,765 MeV,，,寿命是,2.2 10,-,24,s,。,求：它能量不确定量多大？又占其静能几分之几？,(,D,E,=,150 MeV,，,D,E,/,E,静,=,20%,),原子处于某激发态时间为,t,=,10,-,8,s,，该激发态能级宽度为多少,?,(,D,E,=,5,.,3,10,-,2,7,J,),在杨氏双缝干涉试验中，已知两缝距离为,d,，计算电子在经过双缝时横向位置不确定度。,(,d,/,p,),练习题答案,1/38,例,氢原子由原子核和一个核外电子组成。,(,1,),请利用不确定关系,D,x,D,p,，估算氢原子中最小能量。,(,2,),由薛定谔方程解得氢原子基态,波函数为 ，式中,a,0,=0.529,10,-,10,m,，为玻尔半径。求氢原子处于基态时，电子处于半径为玻尔半径球面内概率。,解：,(,1,),2/38,解得：时，,(,2,),3/38,在,经典力学,中，物体运动满足,牛顿定律,，它给,出了物体运动状态随时间改变规律。,在,量子力学,中，微观粒子运动规律用,薛定谔方程,描述。所谓微观粒子运动规律，也就是波函数,Y,随时间和空间改变规律。,Y,满足方程，薛定谔方程是量子力学基本方程，在量子力学中地位就相当于经典力学中牛顿方程地位,。,玻恩统计观点,解释了微观粒子波动性和粒子性之间关系，不过并没有说明波函数是怎样随时间改变，我们还需要知道,微观粒子运动遵照什么样规律？,12.6,薛定,谔,方程,(,Schrdinger Equation,),4/38,问题提出：,德拜：问他学生薛定谔,能不能讲一讲,De Broglie,那篇学位论文呢？,一月以后：薛定谔向大家介绍了德布罗意论文。,德拜提醒薛定谔：,“,对于波，应该有一个波动方程,”,。,因为经典力学根本没有包括波粒二象性，微观粒子运动遵照方程必定不能由经典力学导出，它必须依据试验现象重新建立。,薛定谔,(,1926,),提出了,描述微观粒子运动规律,非相对论性,薛定谔方程,.,。,狄拉克,(,1928,),提出了相对论性,狄拉克,方程,，它们是量子力学基本方程，二人分享了,1933,年,诺贝尔物理学奖。,5/38,12.6.1,自由粒子薛定谔方程,粒子在,x,方向匀速直线运动，,E,、,p,x,不变,一维自由粒子薛定谔方程,对,x,求二阶偏导,对,t,求一阶偏导,6/38,对波函数运算、变换或操作,。,：对波函数取复共轭。,：,算符 代表对波函数关于 求导；,：算符 代表对波函数关于 求导；,算符是经过对波函数作用关系来定义。,比如,算符,(,operator,),：算符 代表用 乘波函数；,7/38,定义能量算符、动量算符、坐标算符,12.6.2,薛定谔方程和哈密顿量,若粒子处于,势场,U,(,x,t,),中，,能量关系为,1.,势场中一维运动粒子薛定谔方程,算符对应关系：,作用于波函数，得薛定谔方程,8/38,2.,普通薛定谔方程,若粒子做三维运动,将势场中一维粒子薛定谔方程推广到普通情况,引入拉普拉斯算符,9/38,引入哈密顿算符,用哈密顿,算符,，薛定谔方程可写成,势函数,U,不显含时间时，,薛定谔方程可分离变量求解。,哈密顿量决定了微观粒子波函数随时间演化，外界对粒子作用，包含不能用力来表示微观相互作用，普通都能够用哈密顿量中势函数,U,(,x,t,),来概括。,而在经典力学中，改变宏观粒子运动状态原因是作用在粒子上力。,只讨论势函数,U,与时间无关情况。,10/38,(3)|,Y,|,2,给出粒子在任意时刻在任一位置出现,概率密度,。,普通薛定谔方程,利用方法：,(1),已知粒子质量,m,和它在势场中势能函数,U,形式,便可列薛定谔方程。,(2),依据初始条件、边界条件求解，得波函数,Y,。,它并非推导所得，是量子力学基本方程，描述非相对论性粒子波函数随时间演化规律。,是线性齐次微分方程，解满足态叠加原理,若 和 是薛定谔方程解，,则 也是薛定谔方程解。,方程中含有虚数,i,它是一个复数偏微分方程；其解波函数,Y,是一个复函数。复数不能直接测量。而,|,Y,|,2,代表概率密度，可测量。,11/38,3.,定态薛定谔方程,若,U=U,(,x,y,z,),，,与,t,无关，,自由运动粒子,U,=0,氢原子中电子,如：,则,(,x,y,z,;,t,),能分成二部分函数乘积,(,x,y,z,;,t,)=,(,x,y,z,),f,(,t,),比如，对于,一维,运动情况，波函数可写成,将其代入薛定,谔,方程，得,12/38,两边除以,f,，得,=,E,(,常数,),可得含变量,t,和变量,x,两个方程,：,一个是变量为,t,方程,其解为,(,A,是待定复常数，,E,有能量量纲，以后可知是粒子总能量,),即,(),(),一个是变量为,x,方程,一维定态薛定谔方程,此式解为：,(,x,),13/38,即此时，概率密度也能够用,|,(,x,),|,2,来表示，即在定态下概率分布不随时间改变，这正是定态这一名称由来。,(,x,),称为定态波函数。,对势能函数,U,与时间,t,无关一维定态问题，,只需解,定态薛定谔方程,(),式，再利用,(),式即可得波函数,(,x,t,),。,由上面能够看出：,三维直角坐标系定态薛定谔方程,或称能量本征方程,则薛定谔方程特解为：,三维：,14/38,假如一个算符作用到波函数上等于一个数乘这个波函数，则称这个波函数是该算符,本征函数,，这个数值称为该算符,本征值,，这个方程称为该算符,本征方程,。所以，,定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符本征方程，或能量算符本征方程。,利用薛定谔方程，再加上波函数标准条件，能够“自然地”得到微观粒子主要特征,量子化结果,，而不须象普朗克假设那样强制假定量子化。薛定谔方程结果，已被无数试验所证实。,定态薛定谔方程意义：,讨论,对波函数进行某种运算或作用符号称为算符。,15/38,例,一维自由运动微观粒子波函数。,其定态薛定,谔,方程为,二阶常系数常微分方程,晶体,衍射屏,自由运动区,U,=0,电子枪,K,A,令,得,它有两个特解：,16/38,沿,+,x,方向平面单色波,沿,-,x,方向平面单色波,所以，一维自由运动微观粒子波函数有以下两个解：,17/38,改写成,一类是本征值问题，给定势能函数,U,(,x,),，求粒子能量,E,和对应本征波函数,n,(,x,),；,求解两类问题：,另一类是散射问题，假设粒子以能量,E,射向势垒,U,(,x,),，计算粒子穿透势垒概率。,18/38,12.7,一维势场中粒子,12.7.1,一维无限深方势阱中粒子,12.7.2,势垒贯通,12.7.3,简谐振子,19/38,12.7.1,无限深方势阱中粒子,一、一维无限深势阱,金属中自由电子运动，是被限制在一个有限范围,称为,束缚态。,作为粗略近似，我们认为这些电子在一维无限深势阱中运动，即它势能函数为,区,区,区,(,这是一个理想化模型,),二、定态薛定谔方程,因为在,I,、,III,两区,U,(,x,)=,，,为确保波函数有限物理条件，显然应,=,0,；,=,0,U,(,x,)=0,a,0,x,U,(,x,)=,U,(,x,)=,20/38,因为,区,U,(,x,)=0,，,所以该区薛定,谔,方程为,令,则,这一方程通解为,波函数标准条件：,在,x,=0,处必须连续。,所以,A,=0,因为,B,0,，,在,x,=,a,处必须连续。,所以必有,sin,ka,=0,，,即,ka,=,n,p,，,I,(0)=,II,(0)=0,，,II,(,a,)=,III,(,a,)=0,，,其中,n,=,1,，,2,，,3,，,称为量子数。,21/38,再由归一化条件,所以,将脚标,去掉，代之以量子数,n,，最终得,无限深势阱内,粒子,定态波函数为,概率密度为,所以,区波函数形式为,22/38,若取,n,=1,，,能级,每一个,n,值，对应于一个能级。,E,称为能量本征值，,n,称为量子数。,n,只能取整数,结 果,(1),能量本征值,能量取分立值,(,能级,),能量量子化,当,m,、,a,大,时，,量子化,连续,最低能量,(,零点能,),波动性,因为,23/38,讨论,能量是量子化,：在经典力学中，粒子动能可连续取值；而量子力学结果是，能量是量子化。且由薛定谔方程自然而然地得到，不需人为假定。,零点能,：,最低能级是,n,=1,能级 ；对经,典物理来说这是不可了解，而按量子理论是能够了解。,若,E,=0,，,则,但势阱中,D,x,=,a,，所以,E,不能为零。,依据不确定关系，,相邻两个能级之差 ，可,见，,a,越大,D,E,越小，当,a,大到宏观尺度时，,D,E,0,，,能量可看作连续改变，这和经典理论相对应。,24/38,称为能量本征波函数。,全部波函数为：,(3),势阱中粒子动量为：,德布罗意波长为：,波长也量子化了，它是势阱长度,a,(,1,/,n,),两倍。粒子每一个能量本征态对应于一个,特定德布罗意波长驻波。,(2),定态波函数为：,25/38,(4),能级、对应波函数及概率密度与坐标关系图：,0,E,n,4,3,2,1,E,n,a,0,a,0,a,26/38,在波腹处找到粒子概率最大。,n,=1,n,=2,n,=3,n,=4,0,a,概率密度,27/38,把坐标原点移至势阱中点，,把上面结果中,x,改为,x,+,a,/,2,，就得到新坐标系下波函数,(,可能有正负号差异，但作为波函数是等价,),：,|x|,a,/,2,U,(,x,),0,a,/,2,-,a,/,2,x,当,n,分别为偶数和奇数时，可分别写成：,奇宇称态,偶宇称态,n,=1,，,3,，,5,，,时波函数是偶函数，这些状态叫做,偶宇称态,，,n,=2,，,4,，,6,，,时波函数是奇函数，这些态叫做,奇宇称态,。,28/38,E,O,a,x,E,1,n,=1,4,E,1,n,=2,9,E,1,n,=3,E,n,y,n,|,y,n,|,2,E,O,a,/,2,x,-,a,/,2,无限深方势阱内粒子能级、波函数和概率密度：,E,1,n,=1,4,E,1,n,=2,9,E,1,n,=3,波函数本身,无物理意义，,“,测不到，看不见,”,，是一个很抽象概念，不过它模平方给我们展示了粒子在空间,各处出现,概率密度分布图像。,29/38,三、量子力学结果,1.,微观粒子在势阱中出现位置不是均匀分布。,概率分布与量子数,n,相关。,当,n,时，,曲线成为直线，量子理论过渡到经典理论。,2.,粒子能量是量子化,(,解方程自然得来,),n,=1,，,基态能量,又称为零点能量,基态能量不为零。,n,=2,，,3,，,4,E,n,为本征值,方程解：,y,n,是与本征值对应本征函数。,30/38,例,一粒子在一维无限深方势阱中运动而处于基态。从阱宽一端到离此端点,阱宽距离内它出现概率多大？,解,：,基态波函数为：,n,=1,，,粒子从阱宽一端到离此端点,阱宽距离内它出现概率为,31/38,例,粒子在一维无限深势阱中运动，势阱宽度为,a,，,其波函数,求：在,0,x,a,区域内，粒子出现概率最大位置,x,=?,解：按题意，求概率密度曲线极大值。,当 ，,当 ，,当 ，,.,.,.,0,a,x,图示为：,32/38,例,做一维运动粒子被束缚在,0,x,a,范围内，已知其波函数为 。求：,(1),常数,A,；,(2),粒子在,0,到,a,/,2,区域内出现概率；,(3),粒子在何处出现概率最大？,解,：,(1),由归一化条件,解得,(2),粒子概率密度为,粒子在,0,到,a,/,2,区域内出现概率,(3),概率最大位置应该满足,即当,时，粒子出现概率最大。,因为,0,x a,，,故得,x=a,/,2,，,此处粒子出现概率最大。,33/38,例,一维无限深势阱中粒子定态物质波相当于两端固定弦中驻波，因而势阱宽度,a,必须等于德布罗意波半波长整数倍。,(1),试由此求出粒子能量本征值为：,(2),在核,(,线度,1.010,-,14,m),内质子和中子能够当成 是处于无限深势阱中而不能逸出，它们在核中运 动是自由。按一维无限深方势阱估算，质子从第一 激发态到基态转变时，放出能量是多少,MeV,？,解：,(1),在势阱中粒子德布罗意波长为,粒子动量为：,34/38,粒子能量为：,(2),由上式，质子基态能量为,(,n,=1,),：,第一激发态能量为：,n,=1,，,2,，,3,35/38,从第一激发态转变到基态所放出能量为：,讨论：,试验中观察到核两定态之间能量差普通就是几,MeV,，上述估算和此事实大致相符。,n,=1,n,=2,n,=3,36/38,2.,波长为,4000,平面光波朝,X,轴正向传输。若波长相对不确定量,/,=10,-,6,，则光子动量数值不确定量,p,x,=,，而光子坐标最小不确定量,x,=,。,1.,在单缝电子衍射试验中，若缝宽为,a=,0.1 nm,，电子束垂直射在单缝上，则衍射电子横向动量最小不确定量,D,p,y,=,Ns,。,小练习,4.,设一维运动粒子波函数为,其中,a,为大于零常数。,求：,(1),归一化因子,A,；,(2),粒子坐标平均值？,3.,己知粒子在宽度为,L,一维无限深方势阱中运动，其波函数为：，其中,c,待定，则,0,L,/,3,区间发觉粒子概率为,。,37/38,作业：,第,12,章：,14,，,17，18,38/38,
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