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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第四节导数综合应用,1/33,总纲目录,教材研读,1.,利用导数证实不等式基本步骤,考点突破,2.,一元三次方程根个数问题,考点二利用导数研究恒成立，存在性问题,考点一利用导数研究函数零点或方程根,考点三用导数证实不等式,2/33,教材研读,1.利用导数证实不等式基本步骤,(1)作差或变形.,(2)结构新函数,h,(,x,).,(3)对,h,(,x,)求导.,(4)利用,h,(,x,)判断,h,(,x,)单调性或最值.,(5)下结论.,3/33,2.一元三次方程根个数问题,令,f,(,x,)=,ax,3,+,bx,2,+,cx,+,d,(,a,0),则,f,(,x,)=3,ax,2,+2,bx,+,c,.,方程,f,(,x,)=0,判别式,=(2,b,),2,-12,ac,(1),当,0,即,b,2,3,ac,时,f,(,x,),0,恒成立,f,(,x,),在,R,上为增函数,又易知存,在,x,、,x,R,使,f,(,x,),f,(,x,)0,即,b,2,3,ac,时,方程,f,(,x,)=0,有两个实根,设为,x,1,x,2,(,x,1,m,).,a.,当,m,0,时,方程,f,(,x,)=0,有,一,个实根,;,b.,当,m,=0,时,方程,f,(,x,)=0,有,两,个实根,;,c.,当,m,0,时,方程,f,(,x,)=0,有,三,个实根,;,4/33,d.当,M,=0时,方程,f,(,x,)=0有,两,个实根;,e.当,M,0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要而不充分条件.,6/33,解析,(1)由,f,(,x,)=,x,3,+,ax,2,+,bx,+,c,得,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,.,因为,f,(0)=,c,f,(0)=,b,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线方程为,y,=,bx,+,c,.,(2)当,a,=,b,=4时,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,+4,x,+,c,所以,f,(,x,)=3,x,2,+8,x,+4.,令,f,(,x,)=0,得3,x,2,+8,x,+4=0,解得,x,=-2或,x,=-,.,7/33,x,(-,-2),-2,-,f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),c,c,-,f,(,x,)与,f,(,x,)在区间(-,+,)上情况以下表:,所以,当,c,0且,c,-,0时,存在,x,1,(-4,-2),x,2,x,3,使,得,f,(,x,1,)=,f,(,x,2,)=,f,(,x,3,)=0.,由,f,(,x,)单调性知,当且仅当,c,时,函数,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,+4,x,+,c,有三个不,同零点.,8/33,(3)证实:当,=4,a,2,-12,b,0,x,(-,+,),此时函数,f,(,x,)在区间(-,+,)上单调递增,所以,f,(,x,)不可能有三个不一样零,点.,当,=4,a,2,-12,b,=0时,f,(,x,)=3,x,2,+2,ax,+,b,只有一个零点,记作,x,0,.,当,x,(-,x,0,)时,f,(,x,)0,f,(,x,)在区间(-,x,0,)上单调递增;,当,x,(,x,0,+,)时,f,(,x,)0,f,(,x,)在区间(,x,0,+,)上单调递增.,所以,f,(,x,)不可能有三个不一样零点.,9/33,总而言之,若函数,f,(,x,)有三个不一样零点,则必有,=4,a,2,-12,b,0.,故,a,2,-3,b,0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要条件.,当,a,=,b,=4,c,=0时,a,2,-3,b,0,f,(,x,)=,x,3,+4,x,2,+4,x,=,x,(,x,+2),2,只有两个不一样零点,所以,a,2,-3,b,0不是,f,(,x,)有三个不一样零点充分条件.,所以,a,2,-3,b,0是,f,(,x,)有三个不一样零点必要而不充分条件.,10/33,方法技巧,利用导数研究方程根方法,(1)研究方程根情况,能够经过导数研究函数单调性、最大值、最,小值、改变趋势等.,(2)依据题目要求,画出函数图象走势规律,标明函数极(最)值位置.,(3)能够经过数形结合思想去分析问题,使问题求解有一个清楚、,直观整体展现.,11/33,1-1,(北京海淀高三期末,19)已知函数,f,(,x,)=2e,x,-,ax,2,-2,x,-2.,(1)求曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线方程;,(2)当,a,0时,求证:函数,f,(,x,)有且只有一个零点;,(3)当,a,0时,写出函数,f,(,x,)零点个数.(只需写出结论),12/33,解析,(1)因为函数,f,(,x,)=2e,x,-,ax,2,-2,x,-2,所以,f,(,x,)=2e,x,-2,ax,-2,故,f,(0)=0,f,(0)=0,曲线,y,=,f,(,x,)在,x,=0处切线方程为,y,=0.,(2)证实:当,a,0时,令,g,(,x,)=,f,(,x,)=2e,x,-2,ax,-2,则,g,(,x,)=2e,x,-2,a,0,故,g,(,x,)是R上增函数.又,g,(0)=0,故当,x,0时,g,(,x,)0时,g,(,x,)0.,即当,x,0时,f,(,x,)0时,f,(,x,)0.,故,f,(,x,)在(-,0)单调递减,在(0,+,)单调递增,函数,f,(,x,)最小值为,f,(0).,又,f,(0)=0,故,f,(,x,)有且仅有一个零点.,(3)当0,a,1时,f,(,x,)有两个零点.,13/33,考点二利用导数研究恒成立,存在性问题,命题方向一不等式恒成立问题,典例2,设函数,f,(,x,)=,a,e,x,-,x,-1,a,R.,(1)当,a,=1时,求,f,(,x,)单调区间;,(2)当,x,(0,+,)时,f,(,x,)0恒成立,求,a,取值范围;,(3)求证:当,x,(0,+,)时,ln,.,14/33,解析,(1)当,a,=1时,f,(,x,)=e,x,-,x,-1,则,f,(,x,)=e,x,-1.,令,f,(,x,)=0,得,x,=0.,当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,)改变情况以下表:,x,(-,0),0,(0,+,),f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,所以当,x,0时,f,(,x,)0时,f,(,x,)0,f,(,x,)在(0,+,)上单调递增.,15/33,(2)因为e,x,0,所以,f,(,x,)=,a,e,x,-,x,-10恒成立等价于,a,恒成立.,设,g,(,x,)=,x,0,+,),则,g,(,x,)=,=,当,x,0,+,)时,g,(,x,),0,所以,g,(,x,)在0,+,)上单调递减,所以,x,(0,+,)时,g,(,x,),恒成立,所以,a,1,+,).,16/33,(3)证实:当,x,(0,+,)时,ln,等价于e,x,-,x,-10.,设,h,(,x,)=e,x,-,x,-1,x,(0,+,),则,h,(,x,)=e,x,-,-,=,.,由(1)易知,x,(0,+,)时,e,x,-,x,-10恒成立,所以,x,(0,+,)时,(0,+,),有-,-10,所以,h,(,x,)0.,所以,h,(,x,)在(0,+,)上单调递增,当,x,(0,+,)时,h,(,x,),h,(0)=0.,所以当,x,(0,+,)时,ln,.,17/33,典例3,已知函数,f,(,x,)=,x,-,a,ln,x,g,(,x,)=-,(,a,0).,(1)若,a,=1,求函数,f,(,x,)极值;,(2)设函数,h,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),求函数,h,(,x,)单调区间;,(3)若存在,x,0,1,e,使得,f,(,x,0,),g,(,x,0,)成立,求,a,取值范围.,命题方向二存在性问题,18/33,解析,(1),f,(,x,)=,x,-,a,ln,x,定义域为(0,+,).,当,a,=1时,f,(,x,)=,.令,f,(,x,)=0,解得,x,=1.,当0,x,1时,f,(,x,)1时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增,所以,f,(,x,)无极大值,且当,x,=1时,函数,f,(,x,)取得极小值,极小值为,f,(1)=1-ln 1=1.,(2),h,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,)=,x,-,a,ln,x,+,其定义域为(0,+,),则,h,(,x,)=,=,.,由,a,0可得1+,a,0,当,x,(0,1+,a,)时,h,(,x,)0,19/33,所以,h,(,x,)单调递减区间为(0,1+,a,);单调递增区间为(1+,a,+,).,(3)由(2)可知,“在1,e上存在,x,0,使得,f,(,x,0,),g,(,x,0,)成立”等价于“在1,e,上存在,x,0,使得,h,(,x,0,)0成立”,即,h,(,x,)在1,e上最小值小于零.,当1+,a,e,即,a,e-1时,易知,h,(,x,)在1,e上单调递减,故,h,(,x,)在1,e上最小值为,h,(e).,由,h,(e)=e+,-,a,因为,e-1,所以,a,.,当11+,a,e,即0,a,e-1时,易知,h,(,x,)在(1,1+,a,)上单调递减,在(1+,a,e)上,单调递增,故,h,(,x,)在1,e上最小值为,h,(1+,a,)=2+,a,-,a,ln(1+,a,).,20/33,因为0ln(1+,a,)1,所以0,a,ln(1+,a,)2,即,h,(1+,a,)2,不满足题意.,总而言之,a,取值范围为,.,21/33,方法技巧,“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,普通都可经过求相关函,数最值来处理,如:当,f,(,x,)在,x,D,上存在最大值和最小值时,若,f,(,x,),g,(,a,)对于,x,D,恒成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上最小值,将原条件转化为,g,(,a,),f,(,x,),min,若,f,(,x,),g,(,a,)对于,x,D,恒成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上最大值,将原条,件转化为,g,(,a,),f,(,x,),max,;若存在,x,D,使得,f,(,x,),g,(,a,)成立,应求,f,(,x,)在,x,D,上最大值,将原条件转化为,g,(,a,),f,(,x,),max,若存在,x,D,使得,f,(,x,),g,(,a,)成,立,应求,f,(,x,)在,x,D,上最小值,将原条件转化为,g,(,a,),f,(,x,),min,.,22/33,2-1,(北京东城二模,18)设函数,f,(,x,)=(,x,2,+,ax,-,a,)e,-,x,(,a,R).,(1)当,a,=0时,求曲线,y,=,f,(,x,)在点(-1,f,(-1)处切线方程;,(2)设,g,(,x,)=,x,2,-,x,-1,若对任意,t,0,2,存在,s,0,2使得,f,(,s,),g,(,t,)成立,求,实数,a,取值范围.,23/33,解析,(1)当,a,=0时,f,(,x,)=,x,2,e,-,x,此时,f,(,x,)=(-,x,2,+2,x,)e,-,x,所以,f,(-1)=-3e,又因为,f,(-1)=e,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(-1,f,(-1)处切线方程为3e,x,+,y,+2e=0.,(2)“对任意,t,0,2,存在,s,0,2使得,f,(,s,),g,(,t,)成立”等价于“在区,间0,2上,f,(,x,)最大值大于或等于,g,(,x,)最大值”.,因为,g,(,x,)=,x,2,-,x,-1=,-,所以,g,(,x,)在0,2上最大值为,g,(2)=1.,f,(,x,)=(2,x,+,a,)e,-,x,-(,x,2,+,ax,-,a,)e,-,x,=-e,-,x,(,x,-2)(,x,+,a,),令,f,(,x,)=0,得,x,=2或,x,=-,a,.,24/33,当-,a,0,即,a,0时,f,(,x,),0在0,2上恒成立,此时,f,(,x,)在0,2上为单调递增函数,f,(,x,)最大值为,f,(2)=(4+,a,),由(4+,a,),1,得,a,e,2,-4.,当0-,a,2,即-2,a,0时,当,x,(0,-,a,)时,f,(,x,)0,此时,f,(,x,)为单调递增函数.,所以,f,(,x,)最大值为,f,(0)=-,a,或,f,(2)=(4+,a,),25/33,由-,a,1,得,a,-1;由(4+,a,),1,得,a,e,2,-4.,又因为-2,a,0,所以-20,ln,x,-,等价于,x,ln,x,-,.,设函数,g,(,x,)=,x,ln,x,.,令,g,(,x,)=1+ln,x,=0,解得,x,=,.,列表以下:,x,g,(,x,),-,0,+,g,(,x,),-,28/33,所以,函数,g,(,x,)最小值为,g,=-,故,x,ln,x,-,即ln,x,-,.,(3)曲线,y,=,f,(,x,)位于,x,轴下方.理由以下:,由(2)可知ln,x,-,所以,f,(,x,),-,=,.,设,k,(,x,)=,-,(,x,0),则,k,(,x,)=,.,令,k,(,x,)0,得0,x,1;令,k,(,x,)1.,所以,k,(,x,)在(0,1)上为增函数,在(1,+,)上为减函数.,所以当,x,0时,k,(,x,),k,(1)=0恒成立,当且仅当,x,=1时,k,(1)=0.,又因为,f,(1)=-,0,所以,f,(,x,)0恒成立.故曲线,y,=,f,(,x,)位于,x,轴下方.,29/33,规律总结,证实,f,(,x,),g,(,x,),x,(,a,b,),能够结构函数,F,(,x,)=,f,(,x,)-,g,(,x,),假如,F,(,x,)0,则,F,(,x,)在,(,a,b,)上是减函数,同时若,F,(,a,),0,由减函数定义可知,x,(,a,b,)时,有,F,(,x,),0,即证实了,f,(,x,)0时,f,(,x,),1-,.,31/33,解析,(1)由题意可得,f,(,x,)=,则,f,(1)=1,又,f,(1)=0,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(1,f,(1)处切线方程为,y,=,x,-1.,(2)证实:由题意知函数,f,(,x,)定义域为(0,+,),令,g,(,x,)=,f,(,x,)-,=ln,x,-1+,则,g,(,x,)=,-,=,令,g,(,x,)=,=0,得,x,=1.,易知当,x,1时,g,(,x,)0;当0,x,1时,g,(,x,)0,32/33,即,g,(,x,)=,f,(,x,)-,0,即,f,(,x,),1-,.,所以,g,(,x,)在(0,1)上单调递减,在(1,+,)上单调递增,所以,g,(,x,),min,=,g,(1)=0,g,(,x,),g,(1)=0,33/33,
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