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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,讲数学归纳法,1/32,考纲要求,考点分布,考情风向标,1.了解数学归纳,法原理.,2.能用数学归纳,法证实一些简,单数学命题,年新课标考查利,用数学归纳法证实不,等式；,年纲领考查利用,数学归纳法证实不等,式；,年广东考查利用,数学归纳法证实等式,数学归纳法证实命题，格式,严谨，必须严格按步骤进行；,归纳递推是证实难点，应,看准“目标”进行变形；,数学归纳法也是文理科高考,一个主要区分，普通在数,列推理与证实过程中表示,2/32,1.,利用数学归纳法证实命题要分两步，第一步是归纳奠基,(,或递推基础,),，第二步是归纳递推,(,或归纳假设,),，两步缺一不可,.,2.,用数学归纳法能够证实许多与自然数相关数学命题，,其中包含恒等式、不等式、数列通项,公式、整除性问题、几何,问题等,.,3/32,4/32,解析：,观察数列通项公式，可得分母,n,，,n,1,，,n,2,，,，,n,2,组成以,n,为首项，以,1,为公差等差数列，项数为,n,2,n,1.,故选,D.,答案：,D,5/32,6/32,答案：,C,7/32,3.,凸,n,边形有,f,(,n,),条对角线，则凸,n,1,边形有对角线数,f,(,n,1),为,(,),B.,f,(,n,),n,D.,f,(,n,),n,2,A.,f,(,n,),n,1,C.,f,(,n,),n,1,C,8/32,上述证法,(,),A.,过程全都正确,C.,归纳假设不正确,B.,n,1,验得不正,确,D.,从,n,k,到,n,k,1,推理不正确,故当,n,k,1,时，不等式成立,.,9/32,解析：,上述证实过程中，在由,n,k,改变到,n,k,1,时，不,等式证实使用是放缩法而没有使用归纳假,设,.,故选,D.,答案：,D,10/32,考点,1,用数学归纳法证实恒等式命题,11/32,12/32,所以当,n,k,1,时，等式也成立,.,由,(1)(2),可知，对于一切,n,N,*,等式都成立,.,13/32,【,规律方法,】,(1),用数学归纳法,证实等式问题，要,“先看,项”,，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，初始,值,n,0,是多少,.(2),由,n,k,时等式成立，推出,n,k,1,时等式成立，,一要找出等式两边改变,(,差异,),，明确变形目标；二要充分利,用归纳假设，进行合理变形，正确写出证实过程，不利用归纳,假设证实，就不是数学归纳法,.,14/32,【,互动探究,】,15/32,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，即有,所以当,n,k,1,时，等式也成立,.,由,(1)(2),可知，对一切,n,N,*,等式都成立,.,16/32,考点,2,用数学归纳法证实不等式命题,例,2,：,(20,16,年山东潍坊模拟,),等比数列,a,n,前,n,项和为,S,n,.,已知对任意,n,N,*,，点,(,n,，,S,n,),均在函数,y,b,x,r,(,b,0,，且,b,1,，,b,，,r,均为常数,),图象上,.,(1),求,r,值；,(2),当,b,2,时，记,b,n,2(log,2,a,n,1)(,n,N,*,).,证实：对任意,17/32,(1),解：,由题意，,S,n,b,n,r,，,r,1.,当,n,2,时，,S,n,1,b,n,1,r,，,所以,a,n,S,n,S,n,1,b,n,1,(,b,1).,因为,b,0,，且,b,1,，所以当,n,2,时，,a,n,是以,b,为公比等比数列,.,18/32,19/32,20/32,【,规律方法,】,应用数学归纳法证实不等式应注意问题：,当碰到与正整数,n,相关不等式证实时，应用其它方法,不轻易证，则可考虑应用数学归纳法,.,用数学归纳法证实不等式关键是由,n,k,成立，推证,n,k,1,时也成立，证实时用上归纳,假设后，可采取分析法、,综正当、求差,(,求商,),比较法、放缩法等证实方法,.,21/32,【,互动探究,】,2.(,年纲领,),函数,f,(,x,),x,2,2,x,3.,定义数列,x,n,以下：,x,1,2,，,x,n,1,是过两点,P,(4,5),，,Q,n,(,x,n,，,f,(,x,n,),直线,PQ,n,与,x,轴交,点横坐标,.,(1),证实：,2,x,n,x,n,1,3,；,(2),求数列,x,n,通项公式,.,22/32,23/32,24/32,即,2,x,k,1,3,也成立,.,综上可知,2,x,n,3,对任意正整数恒成立,.,下面证实,x,n,x,n,1,：,由,2,x,n,3,1,x,n,12,00,，即,x,n,x,n,1,.,综上可知,2,x,n,x,n,1,3,恒成立,.,25/32,26/32,27/32,考点,3,用数学归纳法证实整除性命题,例,3,：,试证：当,n,为正整数时，,f,(,n,),3,2,n,2,8,n,9,能被,64,整除,.,证实：,方法一，,(,1),当,n,1,时，,f,(1),3,4,8,9,64,，,命题显然成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，,f,(,k,),3,2,k,2,8,k,9,能被,64,整除,.,28/32,3,2(,k,1),2,8(,k,1),9,9(3,2,k,2,8,k,9),9,8,k,9,9,8(,k,1),9,9(3,2,k,2,8,k,9),64(,k,1),，,即,f,(,k,1),9,f,(,k,),64(,k,1),，,当,n,k,1,时命题也成立,.,依据,(1)(2),可知，对任意,n,N,*,，命题都成立,.,29/32,方法二，,(1),当,n,1,时，,f,(1),3,4,8,9,64,，命题显然成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，,f,(,k,),3,2,k,2,8,k,9,能被,64,整除,.,由归纳假设，设,3,2,k,2,8,k,9,64,m,(,m,为大于,1,自然数,),，将,3,2,k,2,64,m,8,k,9,代入,f,(,k,1),中，,得,f,(,k,1),9(64,m,8,k,9),8(,k,1),9,64(9,m,k,1),，,故当,n,k,1,时命题成立,.,依据,(1)(2),可知，对任意,n,N,*,，命题都成立,.,30/32,【,互动探究,】,3.,求证：二项式,x,2,n,y,2,n,(,n,N,*,),能被,x,y,整除,.,证实：,(1),当,n,1,时，,x,2,y,2,(,x,y,)(,x,y,),，能被,x,y,整除，命题成立,.,(2),假设当,n,k,(,k,1,，,k,N,*,),时，,x,2,k,y,2,k,能被,x,y,整除，,则当,n,k,1,时，,x,2,k,2,y,2,k,2,x,2,x,2,k,y,2,y,2,k,31/32,x,2,x,2,k,x,2,y,2,k,x,2,y,2,k,y,2,y,2,k,x,2,(,x,2,k,y,2,k,),y,2,k,(,x,2,y,2,),，,显然,x,2,k,2,y,2,k,2,能被,x,y,整除，,即当,n,k,1,时命题成立,.,由,(1)(2),知，对任意正整数,n,命题均成立,.,32/32,
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