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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,6,节数学归纳法,最新考纲,1.,了解数学归纳法原理；,2.,能用数学归纳法证实一些简单数学命题,.,1/34,1.,数学归纳法,证实一个与正整数,n,相关命题，可按以下步骤进行：,(1)(,归纳奠基,),证实当,n,取,_,时命题成立；,(2)(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证实当,_,时命题也成立,.,只要完成这两个步骤，就能够断定命题对从,n,0,开始全部正整数,n,都成立,.,知,识,梳,理,第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),n,k,1,2/34,2.,数学归纳法框图表示,3/34,惯用结论与微点提醒,1.,数学归纳法证题时初始值,n,0,不一定是,1.,2.,推证,n,k,1,时一定要用上,n,k,时假设，不然不是数学归纳法,.,4/34,诊 断 自 测,1.,思索辨析,(,在括号内打,“”,或,“”,),(1),用数学归纳法证实等式,“,1,2,2,2,2,n,2,2,n,3,1,”,，验证,n,1,时，左边式子应为,1,2,2,2,2,3,.(,),(2),全部与正整数相关数学命题都必须用数学归纳法证实,.(,),(3),用数学归纳法证实问题时，归纳假设能够不用,.(,),(4),不论是等式还是不等式，用数学归纳法证实时，由,n,k,到,n,k,1,时，项数都增加了一项,.(,),5/34,解析,对于,(2),，有些命题也能够直接证实；对于,(3),，数学归纳法必须用归纳假设；对于,(4),，由,n,k,到,n,k,1,，有可能增加不止一项,.,答案,(1),(2),(3),(4),6/34,解析,三角形是边数最少凸多边形，故第一步应检验,n,3.,答案,C,7/34,8/34,答案,D,9/34,10/34,5.,用数学归纳法证实,“,当,n,为正奇数时，,x,n,y,n,能被,x,y,整除,”,，当第二步假设,n,2,k,1(,k,N,*,),命题为真时，进而需证,n,_,时，命题亦真,.,解析,因为步长为,2,，所以,2,k,1,后一个奇数应为,2,k,1.,答案,2,k,1,11/34,6.,(,宁波调研,),用数学归纳法证实,“,当,n,为正偶数时，,x,n,y,n,能被,x,y,整除,”,第一步应验证,n,_,时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成,_.,解析,因为,n,为正偶数，故第一个值,n,2,，第二步假设,n,取第,k,个正偶数成立，即,n,2,k,，故应假设成,x,2,k,y,2,k,能被,x,y,整除,.,答案,2,x,2,k,y,2,k,能被,x,y,整除,12/34,考点一用数学归纳法证实等式,证实,(1),当,n,1,时，,左边右边，所以等式成立,.,13/34,14/34,规律方法,(1),用数学归纳法证实等式问题，要,“,先看项,”,，搞清等式两边组成规律，等式两边各有多少项，初始值,n,0,是多少,.,(2),由,n,k,时等式成立，推出,n,k,1,时等式成立，一要找出等式两边改变,(,差异,),，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证实过程，不利用归纳假设证实，就不是数学归纳法,.,15/34,【训练,1,】,求证：,(,n,1)(,n,2),(,n,n,),2,n,135,(2,n,1)(,n,N,*,).,证实,(1),当,n,1,时，等式左边,2,，右边,2,，故等式成立；,(2),假设当,n,k,(,k,N,*,),时等式成立，,即,(,k,1)(,k,2),(,k,k,),2,k,135,(2,k,1),，,那么当,n,k,1,时，,左边,(,k,1,1)(,k,1,2),(,k,1,k,1),(,k,2)(,k,3),(,k,k,)(2,k,1)(2,k,2),2,k,135,(2,k,1)(2,k,1)2,2,k,1,135,(2,k,1)(2,k,1),，,所以当,n,k,1,时等式也成立,.,由,(1)(2),可知，对全部,n,N,*,等式成立,.,16/34,考点二用数学归纳法证实不等式,【例,2,】,(,浙江五校联考,),等比数列,a,n,前,n,项和为,S,n,.,已知对任意,n,N,*,，点,(,n,，,S,n,),均在函数,y,b,x,r,(,b,0,，且,b,1,，,b,，,r,均为常数,),图象上,.,(1),求,r,值；,17/34,18/34,19/34,20/34,规律方法,应用数学归纳法证实不等式应注意问题,(1),当碰到与正整数,n,相关不等式证实时，应用其它方法不轻易证，则可考虑应用数学归纳法,.,(2),用数学归纳法证实不等式关键是由,n,k,成立，推证,n,k,1,时也成立，证实时用上归纳假设后，可采取分析法、综正当、求差,(,求商,),比较法、放缩法、结构函数法等证实方法,.,21/34,22/34,23/34,24/34,考点三归纳猜测证实,25/34,26/34,规律方法,(1),利用数学归纳法能够探索与正整数,n,相关未知问题、存在性问题，其基本模式是,“,归纳,猜测,证实,”,，即先由合情推剪发觉结论，然后经逻辑推理论证结论正确性,.,(2),“,归纳,猜测,证实,”,基本步骤是,“,试验归纳猜测证实,”,.,高中阶段与数列结合问题是最常见问题,.,27/34,【训练,3,】,设函数,f,(,x,),ln(1,x,),，,g,(,x,),xf,(,x,),，,x,0,，其中,f,(,x,),是,f,(,x,),导函数,.,(1),令,g,1,(,x,),g,(,x,),，,g,n,1,(,x,),g,(,g,n,(,x,),，,n,N,*,，求,g,n,(,x,),表示式；,(2),若,f,(,x,),ag,(,x,),恒成立，求实数,a,取值范围；,(3),设,n,N,*,，猜测,g,(1),g,(2),g,(,n,),与,n,f,(,n,),大小，并加以证实,.,28/34,29/34,30/34,31/34,32/34,33/34,34/34,
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