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高中,数学,栏目导航,高中,数学,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二课时函数最大,(,小,),值,1/33,目标导航,课标要求,1.了解函数最大值和最小值概念及其几何意义.,2.能借助函数图象和单调性,求一些简单函数最值.,3.能利用函数最值处理相关实际应用问题.,素养达成,经过本节内容学习,使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中作用,提升学生逻辑推理、数学运算能力.,2/33,新知探求,课堂探究,3/33,新知探求,素养养成,【,情境导学,】,导入,如图所表示是某市房管局公布,年,10,月,年,9,月该市房价走势图,:,4/33,想一想,1:从导入图中能否得出10月9月房价最大值?,(在5月,房价到达最大值,约为27 000元),想一想,2:从导入图中能否得出10月9月房价最小值?,(,在,年,12,月,房价到达最小值,约为,25 400,元,),5/33,知识探究,1.,最大值,(1),定义,:,普通地,设函数,y=f(x),定义域为,I,假如存在实数,M,满足,:,对于任意,xI,都有,f(x),M;,存在,x,0,I,使得,.,那么,称,M,是函数,y=f(x),最大值,.,(2),几何意义,:,函数,y=f(x),最大值是图象最,点,坐标,.,探究,:,若函数,f(x)M,则,M,一定是函数最大值吗,?,答案,:,不一定,只有定义域内存在一点,x,0,使,f(x,0,)=M,时,M,才是函数最大值,不然不是,.,f(x,0,)=M,纵,高,6/33,2.最小值,(1)定义:普通地,设函数y=f(x)定义域为I,假如存在实数M满足:,对于任意xI,都有f(x),M;,存在x,0,I,使得,.,那么,称M是函数y=f(x)最小值.,(2)几何意义:函数y=f(x)最小值是图象最,点,坐标.,f(x,0,)=M,低,纵,7/33,【,拓展延伸,】,最值求法,(1),作出函数图象,尤其是分段函数或解析式含有绝对值函数,从图象直接观察可得最值,.,(2),求出函数值域,其边界即为最值,此时要注意边界值能否取到,(,即最值是否存在,).,(3),利用函数单调性求最值,以下能够作为结论使用,:,若函数在闭区间,a,b,上是减函数,则,f(x),在,a,b,上最大值为,f(a),最小值为,f(b);,若函数在闭区间,a,b,上是增函数,则,f(x),在,a,b,上最大值为,f(b),最小值为,f(a).,8/33,自我检测,1.,(,最大值,),函数,f(x)=3-x,2,最大值为,(,),(A)3 (B)2,(C)0 (D)4,A,2.,(,最小值,),函数,y=-x,2,+2x-1,在,0,3,上最小值为,(,),(A)0 (B)-4,(C)-1 (D),以上都不对,B,B,9/33,4.,(,最值应用,),若函数,y=ax+1,在,1,2,上最大值与最小值差为,2,则实数,a,值是,.,答案,:,2,5.,(,最值,),函数,f(x),在,-2,+),上图象如图所表示,则函数最小值为,.,;,最大值为,.,答案:,不存在3,10/33,题型一,图象法求最值,课堂探究,素养提升,解,:,(1),函数图象如图所表示,.,由图象可知,f(x),单调递增区间为,(-,0),和,0,+),无递减区间,.,11/33,(2),依据函数图象求出函数最小值,.,解,:,(2),由函数图象可知,函数最小值为,f(0)=-1.,方法技巧,利用图象求函数最值方法:画出函数y=f(x)图象;,观察图象,找出图象最高点和最低点;,写出最值,最高点纵坐标是函数最大值,最低点纵坐标是函数最小值.,12/33,即时训练,1-1:,用,mina,b,c,表示,a,b,c,三个数中最小值,则函数,f(x)=min4x+1,x+4,-x+8,最大值是,.,解析:,在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8图象后,取位于下方部分得函数f(x)=min4x+1,x+4,-x+8图象,如图所表示.,由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.,答案,:,6,13/33,【,备用例,1】,已知函数,f(x)=,求,f(x),最大值、最小值,.,14/33,题型二,单调性法求最值,【,例,2】,已知函数,f(x)=.,(1),判断函数在区间,(-1,+),上单调性,并用定义证实你结论,;,15/33,(2),求该函数在区间,2,4,上最大值和最小值,.,方法技巧,(1),由函数单调性结合函数图象找出最高,(,低,),点纵坐标即为函数最大,(,小,),值,.,(2),分段函数最大,(,小,),值是函数整体上最大,(,小,),值,.,16/33,即时训练,2-1:,已知函数,f(x)=,x3,5.,(1),判断函数在区间,3,5,上单调性,并给出证实,;,17/33,(2),求该函数最大值和最小值,.,18/33,【,备用例,2】,求函数,y=2x-1-,最大值,.,19/33,题型三,二次函数最值,【,例,3】,已知函数,f(x)=3x,2,-12x+5,当自变量,x,在以下范围内取值时,求函数最大值和最小值,.,(1)x,R,;,解:,f(x)=3x,2,-12x+5=3(x-2),2,-7.,(1)当x,R,时,f(x)=3(x-2),2,-7-7,当x=2时,等号成立.,即函数f(x)最小值为-7,无最大值.,20/33,(2)0,3;,(3)-1,1.,解,:,(2),函数,f(x)=3(x-2),2,-7,图象如图所表示,由图可知,函数,f(x),在,0,2),上递减,在,2,3,上递增,而且,f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在,0,3,上,f(x),max,=f(0)=5,f(x),min,=f(2)=-7.,(3),由图象可知,f(x),在,-1,1,上单调递减,f(x),max,=f(-1)=20,f(x),min,=f(1)=-4.,21/33,变式探究:,(1)若本例函数解析式不变,求此函数在0,a上最大值和最 小值;,解,:,(1),由题意知,a0,f(x)=3x,2,-12x+5=3(x-2),2,-7,故此函数对称轴为,x=2,当,0a2,时,f(x),min,=f(a)=3a,2,-12a+5,f(x),max,=f(0)=5,当,2a4,时,f(x),min,=f(2)=-7,f(x),max,=f(0)=5,当,a4,时,f(x),min,=f(2)=-7,f(x),max,=f(a)=3a,2,-12a+5.,22/33,(2)若将函数,“,f(x)=3x,2,-12x+5,”,变为,“,f(x)=x,2,-2ax+2,”,则函数在-1,1上最小值怎样?,解,:,(2)f(x)=x,2,-2ax+2=(x-a),2,+2-a,2,其图象开口向上,对称轴为,x=a,a1,时,f(x),在,-1,1,上单调递减,f(x),min,=f(1)=3-2a,综上,f(x),min,=,23/33,24/33,25/33,即时训练,3-1:,已知函数,f(x)=x,2,-2ax+2,当,x-1,+),时,f(x)a,恒成立,求,a,取值范围,.,解,:,因为,f(x)=(x-a),2,+2-a,2,所以此二次函数图象对称轴为,x=a.,当,a(-,-1),时,f(x),在,-1,+),上单调递增,所以,f(x),min,=f(-1)=2a+3.,要使,f(x)a,恒成立,只需,f(x),min,a,即,2a+3a,解得,a-3,即,-3a-1.,当,a-1,+),时,f(x),min,=f(a)=2-a,2,.,要使,f(x)a,恒成立,只需,f(x),min,a,即,2-a,2,a,解得,-2a1,即,-1a1.,总而言之,实数,a,取值范围为,-3,1.,26/33,【备用例3】,已知函数f(x)=x,2,-2x-3,若xt,t+2,求函数f(x)最值.,解:,因为对称轴为x=1,当1t+2即t-1时,f(x),max,=f(t)=t,2,-2t-3,f(x),min,=f(t+2)=t,2,+2t-3.,27/33,题型四 函数最值实际应用,【,例,4】,经市场调查,某城市一个小商品在过去近,20,天内日销售量,(,单位,:,件,),与单个商品价格,(,单位,:,元,),均为时间,t(,单位,:,天,),函数,且销售量近似满足,g(t)=80-2t,单个商品价格近似满足于,f(t)=,(1),试写出该种商品日销售额,y,关于时间,t(0t20),函数解析式,;,28/33,(2),求该种商品日销售额,y,最大值与最小值,.,解,:,(2),由,(1),知当,0t10,时,y=-t,2,+10t+1 200=-(t-5),2,+1 225,函数图象开口向下,对称轴为直线,t=5,该函数在,(0,5,上单调递增,在,(5,10,上单调递减,所以,y,max,=1 225(,当,t=5,时取得,),y,min,=1 200(,当,t=10,时取得,).,当,10t20,时,y=t,2,-90t+2 000=(t-45),2,-25,图象开口向上,对称轴为直线,t=45,该函数在,(10,20,上单调递减,y,max,1 200(,当,t=10,时取得,),y,min,=600(,当,t=20,时取得,).,由知,y,max,=1 225(,当,t=5,时取得,),y,min,=600(,当,t=20,时取得,).,29/33,方法技巧,函数单调性在实际生活中应用问题,大多包括最值求解,如利润最大、用料最省等,.,解题关键是先由题意确定函数解析式,然后借助函数单调性求出最值,.,但要注意函数自变量值要使实际问题有意义,.,30/33,即,时训练,4-1:,某工厂拟建造一座平面图为如图矩形且面积为,200 m,2,三级污水处理池,因为地形限制,该污水处理池长、宽都不能超出,16 m.,假如池外墙建造单价为每米,400,元,中间两条隔墙建造单价为每米,248,元,池底建造单价为每平方米,80,元,(,池壁厚度忽略不计,且无池盖,),求当污水处理池长和宽各为多少米时,池总造价最低,并求出最低总造价,.,31/33,32/33,谢谢观赏！,33/33,
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