资源描述
,10.1,分类计数原理与分步计数原理,1/57,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/57,基础知识自主学习,3/57,1.,分类计数原理与分步计数原理,知识梳理,原理,异同点,分类计数原理,分步计数原理,定义,假如完成一件事，有n类方式，,在第1类方式中有m1种不一样方,法，在第2类方式中有m2种不一样,方法，在第n类方式中有,mn种不一样方法，那么完成这件,事共有N 种不,同方法,假如完成一件事，需要分成n,个步骤，做第1步有m1种不一样,方法，做第2步有m2种不一样,方法，做第n步有mn种,不一样方法，那么完成这件,事共有N_,种不一样方法,m,1,m,2,m,n,m,1,m,2,m,n,4/57,区分,各种方法相互独立，用其中任,何一个方法都能够完成这件事,各个步骤相互依存，只有各,个步骤都完成才能做完这件事,5/57,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),在分类计数原理中，两类不一样方案中方法能够相同,.(,),(2),在分类计数原理中，每类方案中方法都能直接完成这件事,.(,),(3),在分步计数原理中，事情是分步完成，其中任何一个单独步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成,.(,),(4),假如完成一件事情有,n,个不一样时骤，在每一步中都有若干种不一样方法,m,i,(,i,1,2,3,，,，,n,),，那么完成这件事共有,m,1,m,2,m,3,m,n,种方法,.(,),(5),在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤方法是各不相同,.(,),思索辨析,6/57,考点自测,由分步计数原理知，用,0,1,，,，,9,十个数字组成三位数,(,可用重复数字,),个数为,9,10,10,900,，组成没有重复数字三位数个数为,9,9,8,648,，则组成有重复数字三位数个数为,900,648,252.,1.,用,0,1,，,，,9,十个数字，能够组成有重复数字三位数个数为,_.,答案,解析,252,7/57,分两步：第一步先确定横坐标，有,3,种情况，第二步再确定纵坐标，有,2,种情况，所以第一、二象限内不一样点个数是,3,2,6.,2.(,教材改编,),已知集合,M,1,，,2,3,，,N,4,5,6,，,7,，从,M,，,N,这两个集合中各选一个元素分别作为点横坐标、纵坐标，则这么坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不一样点个数是,_.,答案,解析,6,8/57,3.,满足,a,，,b,1,0,1,2,，且关于,x,方程,ax,2,2,x,b,0,有实数解有序数对,(,a,，,b,),个数为,_.,答案,解析,当,a,0,时，关于,x,方程为,2,x,b,0,，此时有序数对,(0,，,1),，,(0,0),，,(0,1),，,(0,2),均满足要求；,当,a,0,时，,4,4,ab,0,，,ab,1,，此时满足要求有序数对为,(,1,，,1),，,(,1,0),，,(,1,1),，,(,1,2),，,(1,，,1),，,(1,0),，,(1,1),，,(2,，,1),，,(2,0).,综上，满足要求有序数对共有,13,个,.,13,9/57,4.,从,0,2,中选一个数字，从,1,3,5,中选两个数字，组成无重复数字三位数，其中奇数个数为,_.,答案,解析,分两类情况讨论：第,1,类，奇偶奇，个位有,3,种选择，十位有,2,种选择，百位有,2,种选择，共有,3,2,2,12(,个,),奇数；第,2,类，偶奇奇，个位有,3,种选择，十位有,2,种选择，百位有,1,种选择，共有,3,2,1,6(,个,),奇数,.,依据分类计数原理，知共有,12,6,18(,个,),奇数,.,18,10/57,5.(,教材改编,)5,位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不一样报名方法有,_,种,.,答案,解析,每位同学都有,2,种报名方法，所以，可分五步安排,5,名同学报名，由分步计数原理，知总报名方法共,2,2,2,2,2,32(,种,).,32,11/57,题型分类深度剖析,12/57,题型一分类计数原理应用,例,1,高三一班有学生,50,人，其中男生,30,人，女生,20,人；高三二班有学生,60,人，其中男生,30,人，女生,30,人；高三三班有学生,55,人，其中男生,35,人，女生,20,人,.,(1),从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不一样选法？,解答,13/57,完成这件事有三类方法：,第一类，从高三一班任选一名学生共有,50,种选法；,第二类，从高三二班任选一名学生共有,60,种选法；,第三类，从高三三班任选一名学生共有,55,种选法,.,依据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有,50,60,55,165(,种,),不一样选法,.,14/57,(2),从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不一样选法？,解答,15/57,完成这件事有三类方法：,第一类，从高三一班男生中任选一名共有,30,种选法；,第二类，从高三二班男生中任选一名共有,30,种选法；,第三类，从高三三班女生中任选一名共有,20,种选法,.,依据分类计数原理，共有,30,30,20,80(,种,),不一样选法,.,16/57,分类标准是利用分类计数原理难点所在，重点在于抓住题目中关键词或关键元素、关键位置,.,首先依据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情任何一个方法必须属于某一类,.,思维升华,17/57,跟踪训练,1,(,全国丙卷改编,),定义,“,规范,01,数列,”,a,n,以下：,a,n,共有,2,m,项，其中,m,项为,0,，,m,项为,1,，且对任意,k,2,m,，,a,1,，,a,2,，,，,a,k,中,0,个数不少于,1,个数,.,若,m,4,，则不一样,“,规范,01,数列,”,共有,_,个,.,答案,解析,14,18/57,第一位为,0,，最终一位为,1,，中间,3,个,0,3,个,1,3,个,1,在一起时为,000111,001110,；,19/57,题型二分步计数原理应用,例,2,(1)(,全国甲卷改编,),如图，小明从街道,E,处出发，先到,F,处与小红会合，再一起到位于,G,处老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓能够选择最短路径条数为,_.,从,E,点到,F,点最短路径有,6,种，从,F,点到,G,点最短路径有,3,种，所以从,E,点到,G,点最短路径为,6,3,18(,种,).,答案,解析,18,20/57,(2),有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有,_,种不一样报名方法,.,每项限报一人，且每人至多参加一项，所以可由项目选人，第一个项目有,6,种选法，第二个项目有,5,种选法，第三个项目有,4,种选法，依据分步计数原理，可得不一样报名方法共有,6,5,4,120(,种,).,答案,解析,120,21/57,引申探究,1.,本例,(2),中，若将条件,“,每项限报一人，且每人至多参加一项,”,改为,“,每人恰好参加一项，每项人数不限,”,，则有多少种不一样报名方法？,每人都能够从这三个比赛项目中选报一项，各有,3,种不一样报名方法，依据分步计数原理，可得不一样报名方法共有,3,6,729(,种,).,解答,22/57,2.,本例,(2),中，若将条件,“,每项限报一人，且每人至多参加一项,”,改为,“,每项限报一人，但每人参加项目不限,”,，则有多少种不一样报名方法？,每人参加项目不限，所以每一个项目都能够从这六人中选出一人参赛，依据分步计数原理，可得不一样报名方法共有,6,3,216(,种,).,解答,23/57,(1),利用分步计数原理处理问题要按事件发生过程合理分步，即分步是有先后次序，而且分步必须满足：完成一件事各个步骤是相互依存，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事,.,(2),分步必须满足两个条件：一是步骤相互独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成,.,思维升华,24/57,跟踪训练,2,(1)(,无锡模拟,),用,0,1,2,3,4,5,可组成无重复数字三位数个数为,_.,答案,解析,100,可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有,5,种放法；第二步：十位数字有,5,种放法；第三步：个位数字有,4,种放法，依据分步计数原理，三位数个数为,5,5,4,100.,25/57,(2)(,徐州,质检,),五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不一样报名方法种数为,_.,五名学生争夺四项比赛冠军,(,冠军不并列,),，则取得冠军可能性有,_,种,.,4,5,五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐一学生落实，每个学生有,4,种报名方法，共有,4,5,种不一样报名方法,.,五名学生争夺四项比赛冠军，可对,4,个冠军逐一落实，每个冠军有,5,种取得可能性，共有,5,4,种取得冠军可能性,.,答案,解析,5,4,26/57,题型三两个计数原理综合应用,例,3,(1),如图，矩形对角线把矩形分成,A,，,B,，,C,，,D,四部分，现用,5,种不一样颜色给四部分涂色，每部分涂,1,种颜色，要求共边两部分颜色互异，则共有,_,种不一样涂色方法,.,答案,解析,260,27/57,区域,A,有,5,处涂色方法；区域,B,有,4,种涂色方法；,区域,C,涂色方法可分,2,类：若,C,与,A,涂同色，区域,D,有,4,种涂色方法；,若,C,与,A,涂不一样色，此时区域,C,有,3,种涂色方法，区域,D,也有,3,种涂色方法,.,所以共有,5,4,4,5,4,3,3,260(,种,),涂色方法,.,28/57,(2),假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面组成一个,“,正交线面对,”.,在一个正方体中，由两个顶点确定直线与含有四个顶点平面组成,“,正交线面对,”,个数是,_.,第,1,类，对于每一条棱，都能够与两个侧面均成,“,正交线面对,”,，这么,“,正交线面对,”,有,2,12,24(,个,),；第,2,类，对于每一条面对角线，都能够与一个对角面组成,“,正交线面对,”,，这么,“,正交线面对,”,有,12,个,.,所以正方体中,“,正交线面对,”,共有,24,12,36(,个,).,36,答案,解析,29/57,利用两个计数原理处理应用问题普通思绪,(1),搞清完成一件事是做什么,.,(2),确定是先分类后分步，还是先分步后分类,.,(3),搞清分步、分类标准是什么,.,(4),利用两个计数原理求解,.,思维升华,30/57,跟踪训练,3,如图，用,4,种不一样颜色对图中,5,个区域涂色,(4,种颜色全部使用,),，要求每个区域涂一个颜色，相邻区域不能涂相同颜色，则不一样涂色种数为,_.,答案,解析,96,31/57,按区域,1,与,3,是否同色分类：,故由分类计数原理，不一样涂色种数为,24,72,96.,32/57,现场纠错,纠错心得,(1),应用计数原了解题首先要搞清是分类还是分步,.,(2),把握完成一件事情标准，如典例,(1),没有考虑每封信只能投在一个信箱中，造成错误,.,错解展示,典例,(1),把,3,封信投到,4,个信箱，全部可能投法共有,_,种,.,(2),某人从甲地到乙地，能够乘火车，也能够坐轮船，在这一天不一样时间里，火车有,4,次，轮船有,3,次，问此人走法可有,_,种,.,利用两个基本原理处理计数问题,现场纠错系列,11,33/57,解析,(1),因为每个信箱有三种投信方法，共,4,个信箱，,所以共有,3,3,3,3,3,4,(,种,),投法,.,(2),乘火车有,4,种方法，坐轮船有,3,种方法，,共有,3,4,12(,种,),方法,.,答案,(1)3,4,(2)12,返回,34/57,解析,(1),第,1,封信投到信箱中有,4,种投法；第,2,封信投到信箱中也有,4,种投法；第,3,封信投到信箱中也有,4,种投法,.,只要把这,3,封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有,4,3,种方法,.,(2),因为某人从甲地到乙地，乘火车走法有,4,种，坐轮船走法有,3,种，每一个方法都能从甲地到乙地，依据分类加法计数原理，可得此人走法共有,4,3,7(,种,).,答案,(1)4,3,(2)7,返回,35/57,课时作业,36/57,1.(,镇江模拟,),甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且天天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不一样安排方案共有,_,种,.,答案,解析,20,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,37/57,2.,小明有,4,枚完全相同硬币，每个硬币都分正反两面,.,他想把,4,个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币正面与正面不相对，则不一样摆法有,_,种,.,答案,解析,记反面为,1,，正面为,2,，则正反依次相对有,12121212,21212121,两种；,有两枚反面相对有,21121212,21211212,21212112,三种，共,5,种摆法,.,5,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,38/57,3.,将,2,名教师，,4,名学生分成,2,个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由,1,名教师和,2,名学生组成，则不一样安排方案共有,_,种,.,答案,解析,12,由分步计数原理，不一样选派方案共有,2,6,12(,种,).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,39/57,4.(,四川改编,),用数字,0,1,2,3,4,5,组成没有重复数字五位数，其中比,40 000,大偶数共有,_,个,.,答案,解析,120,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,40/57,5.(,盐城模拟,),在高校自主招生中，某学校取得,5,个推荐名额，其中清华大学,2,名，北京大学,2,名，复旦大学,1,名，而且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校经过选拔定下,3,男,2,女共,5,个推荐对象，则不一样推荐方法共有,_,种,.,24,答案,解析,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,41/57,依据题意，分,2,种情况讨论：,故共有,12,12,24(,种,),推荐方法,.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,42/57,6.,将字母,a,，,a,，,b,，,b,，,c,，,c,排成三行两列，要求每行字母互不相同，,每列字母也互不相同，则不一样排列方法共有,_,种,.,先排第一列，因为每列字母互不相同，所以共有,种不一样排法,.,再排第二列，其中第二列第一行字母共有,2,种不一样排法，第二列第二、三行字母只有,1,种排法,.,所以共有,21,12(,种,),不一样排列方法,.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,12,答案,解析,43/57,7.(,泰州模拟,),在学校运动会百米决赛上，,8,名男运动员参加,100,米决赛,.,其中甲、乙、丙三人必须在,1,2,3,4,5,6,7,8,八条跑道奇数号跑道上，则安排这,8,名运动员比赛方式共有,_,种,.,答案,解析,2 880,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,44/57,分两步安排这,8,名运动员,.,第一步：安排甲、乙、丙三人，共有,1,3,5,7,四条跑道可安排，,安排方式有,种,.,第二步：安排另外,5,人，可在,2,4,6,8,及余下一条奇数号跑道安排，,安排方式有,120(,种,).,安排这,8,人方式有,24,120,2 880(,种,).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,45/57,8.,如图所表示，在,A,，,B,间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能造成电路不通，今发觉,A,，,B,之间线路不通，则焊接点脱落不一样情况有,_,种,.,答案,解析,四个焊点共有,2,4,种情况，其中使线路通情况有：,1,4,都通，,2,和,3,最少有一个通时线路才通，共,3,种可能,.,故不通情况有,2,4,3,13(,种,),可能,.,13,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,46/57,9.,从,1,2,3,4,7,9,六个数中，任取两个数作为对数底数和真数，则全部不一样对数值个数为,_.,当所取两个数中含有,1,时，,1,只能作真数，对数值为,0,，当所取两个数不含有,1,时，可得到,20(,个,),对数，但,log,2,3,log,4,9,，,log,3,2,log,9,4,，,log,2,4,log,3,9,，,log,4,2,log,9,3,，综上可知，共有,20,1,4,17(,个,),不一样对数值,.,17,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,答案,解析,47/57,10.,回文数是指从左到右与从右到左读都一样正整数，如,22,，,121,，,3 443,，,94 249,等,.,显然,2,位回文数有,9,个：,11,，,22,，,33,，,，,99.3,位回文数有,90,个：,101,，,111,，,121,，,，,191,，,202,，,，,999.,则,(1)4,位回文数有,_,个；,答案,解析,4,位回文数相当于填,4,个方格，首尾相同，且不为,0,，共,9,种填法，中间两位一样，有,10,种填法，共计,9,10,90(,种,),填法，即,4,位回文数有,90,个,.,90,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,48/57,(2)2,n,1(,n,N,*,),位回文数有,_,个,.,答案,解析,依据回文数定义，此问题也能够转化成填方格,.,结合分步计数原理，知有,9,10,n,种填法,.,9,10,n,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,49/57,11.,有一项活动需在,3,名老师，,6,名男同学和,8,名女同学中选人参加,.,(1),若只需一人参加，有多少种不一样选法？,解答,只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有,3,6,8,种方法，总方法数为,3,6,8,17.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,50/57,(2),若需一名老师，一名学生参加，有多少种不一样选法？,解答,分两步，先选教师共,3,种选法，再选学生共,6,8,14(,种,),选法，,由分步计数原理知，总方法数为,3,14,42.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,51/57,(3),若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不一样选法？,解答,教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为,3,6,8,种,.,由分步计数原理知，总方法数为,3,6,8,144(,种,).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,52/57,12.,如图所表示，将一个四棱锥每一个顶点染上一个颜色，并使同一条棱上两端异色，假如只有,5,种颜色可供使用，求不一样染色方法种数,.,解答,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,53/57,方法一设染色按,S,A,B,C,D,次序进行，对,S,，,A,，,B,染色，有,5,4,3,60(,种,),染色方法,.,因为,C,点颜色可能与,A,同色或不一样色，这影响到,D,点颜色选取方法数，故分类讨论：,C,与,A,同色时,(,此时,C,对颜色选取方法唯一,),，,D,应与,A,(,C,),，,S,不一样色，有,3,种选择；,C,与,A,不一样色时，,C,有,2,种可选择颜色，,D,也有,2,种颜色可供选择,.,从而对,C,、,D,染色有,1,3,2,2,7(,种,),染色方法,.,由分步计数原理，不一样染色方法种数为,60,7,420.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,54/57,方法二依据所用颜色种数分类，可分三类,.,第一类：用,3,种颜色，此时,A,与,C,，,B,与,D,分别同色，问题相当于从,5,种颜色中选,3,种涂三个点，共,=60(,种,),涂法；,第二类：用,4,种颜色，此时,A,与,C,，,B,与,D,中有且只有一组同色，涂法种数为,240,；,第三类：用,5,种颜色，涂法种数共,120(,种,).,综上可知，满足题意染色方法种数为,60,240,120,420.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,55/57,*13.,已知集合,M,3,，,2,，,1,0,1,2,，若,a,，,b,，,c,M,，则：,(1),y,ax,2,bx,c,能够表示多少个不一样二次函数？其中偶函数有多少个？,解答,a,取值有,5,种情况，,b,取值,6,种情况，,c,取值有,6,种情况，所以,y,ax,2,bx,c,能够表示,5,6,6,180(,个,),不一样二次函数,.,若二次函数为偶函数，则,b,0,，故有,5,6,30(,个,).,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,56/57,(2),y,ax,2,bx,c,能够表示多少个图象开口向上二次函数？,解答,y,ax,2,bx,c,图象开口向上时，,a,取值有,2,种情况，,b,、,c,取值都有,6,种情况，所以,y,ax,2,bx,c,能够表示,266,72(,个,),图象开口向上二次函数,.,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,1,57/57,
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