中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形试卷市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,4.3等腰三角形与直角三角形,中考数学,(广西专用),1/130,考点一等腰三角形,五年中考,A,组 -年广西中考题组,五年中考,1.(河池,12,3分)已知等边,ABC,边长为12,D,是,AB,上动点,过,D,作,DE,AC,于点,E,过,E,作,EF,BC,于点,F,过,F,作,FG,AB,于点,G,.当,G,与,D,重合时,AD,长是,(),A.3B.4C.8D.9,2/130,答案B设,AD,=2,x,ABC,是等边三角形,A,=,B,=,C,=60,DE,AC,于点,E,EF,BC,于点,F,FG,AB,于点,G,且点,G,与,D,重合,ADF,=,DEC,=,EFC,=90,AE,=,x,CE,=12-,x,CF,=6-,BF,=6+,BD,=3+,3+,+2,x,=12,x,=4,AD,=4.,故选B.,3/130,2.(贺州,7,3分)一个等腰三角形两边长分别为4,8,则它周长为,(),A.12B.16C.20D.16或20,答案C当腰长为4时,4+4=8,故此种情况不存在.,当腰长为8时,8-488+4,符合题意,故此三角形周长=8+8+4=20.故选C.,易错警示本题易错选D选项,主要是没有考虑腰长为4时不符合三角形两边之和大于第三边,这个条件.,4/130,3.(宾客,9,3分)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,BAC,=100,AB,垂直平分线,DE,分别交,AB,BC,于,点,D,E,则,BAE,等于,(),A.80,B.60,C.50,D.40,答案D,AB,=,AC,BAC,=100,B,=,C,=(180,-100,),2=40,DE,所在直线是,AB,垂直平分线,AE,=,BE,BAE,=,B,=40,故选D.,思绪分析先利用等腰三角形性质求出,B,度数,再利用中垂线性质求解.,主要考点等腰三角形及线段垂直平分线性质.,5/130,4.(桂林,16,3分)如图,在,ABC,中,A,=36,AB,=,AC,BD,平分,ABC,则图中等腰三角形个,数是,.,答案3,解析,AB,=,AC,A,=36,ABC,=,ACB,=,=72,又,BD,平分,ABC,ABD,=,CBD,=36,BDC,=72,AD,=,BD,=,BC,ABD,BCD,ABC,均为等腰三角形,故有3个.,6/130,考点二直角三角形,1.(柳州,6,3分)如图,图中直角三角形共有,(),A.1个B.2个C.3个D.4个,答案C题图中共有3个直角三角形,故选C.,7/130,2.(贺州,10,3分)如图,在,ABC,中,BAC,=90,AD,BC,垂足为,D,E,是边,BC,中点,AD,=,ED,=,3,则,BC,长为,(),A.3,B.3,C.6D.6,答案D,AD,BC,AD,=,ED,=3,AE,=,=,=3,.,又,BAC,=90,E,为,BC,中点,BC,=2,AE,=2,3,=6,.,8/130,3.(百色,6,3分)如图,ABC,中,C,=90,A,=30,AB,=12,则,BC,=,(),A.6B.6,C.6,D.12,答案A,C,=90,A,=30,BC,=,AB,=,12=6.故选A.,9/130,4.(北海,8,3分)如图,在,ABC,中,AD,为,BC,边上高,BE,为,AC,边上中线,AB,=10,BC,=12,AD,=6,连接,DE,则,DE,长为,(),A.,B.,C.2,D.2,答案B在Rt,ABD,中,AB,=10,AD,=6,依据勾股定理得,BD,=,=8,则,CD,=,BC,-,BD,=4.,在Rt,ACD,中,依据勾股定理得,AC,=,=2,又点,E,为,AC,中点,所以,DE,=,AC,=,.,故选B.,评析本题考查了勾股定理,及直角三角形斜边上中线是斜边二分之一.,10/130,5.(桂林,8,3分)以下各组线段能组成直角三角形一组是(),A.30,40,50B.7,12,13,C.5,9,12 D.3,4,6,答案AA.30,2,+40,2,=50,2,该组线段能组成直角三角形,故正确;B.7,2,+12,2,13,2,该组线,段不能组成直角三角形,故错误;C.5,2,+9,2,12,2,该组线段不能组成直角三角形,故错误;D.,3,2,+4,2,6,2,该组线段不能组成直角三角形,故错误.故选A.,11/130,6.(玉林,17,3分)如图,在四边形,ABCD,中,B,=,D,=90,A,=60,AB,=4,则,AD,取值范围是,.,答案2,AD,8,12/130,解析过,B,作,BE,AD,于,E,分别延长,AD,BC,交于,F,在Rt,ABE,中,=cos 60,AE,=4,=2.,在Rt,ABF,中,=cos 60,AF,=,=8.,故2,AD,0),则,CB,=2,x,.,=2,x,2,解得,x,=,(负值舍去).,PB,=,CB,=,.,在Rt,ABC,中,由勾股定理得,AB,=,=,=,.,当,P,在线段,OM,内时,如图.,17/130,过,A,作,AC,BM,交,MB,延长线于,C,ACB,=,AOM,=,OMB,=90,.,四边形,AOMC,是矩形.,AO,=,CM,AC,=,OM,又,AO,=2,BM,AO,=2,BC,=,BM,=,.,ABP,=90,OMB,=90,PBM,+,ABC,=90,PBM,+,BPM,=90,ABC,=,BPM,.,PMB,BCA,.,18/130,=,.,AC,PM,=,BM,CB,即,MO,PM,=6.,又,MO,=2,PO,PO,=,PM,=,MO,2,PM,2,=6.,PM,=,.,MO,=,AC,=2,.,在Rt,BPM,中,PB,=,=,=3,在Rt,ABC,中,AB,=,=,=3,.,总而言之,AB,=,或3,PB,=,或3.,19/130,B组年全国中考题组,考点一等腰三角形,1.(福建,5,4分)如图,等边三角形,ABC,中,AD,BC,垂足为,D,点,E,在线段,AD,上,EBC,=45,则,ACE,等于,(),A.15,B.30,C.45,D.60,答案A由等边三角形,ABC,中,AD,BC,垂足为点,D,可得,ACB,=60,且点,D,是,BC,中点,所,以,AD,垂直平分,BC,所以,EC,=,EB,依据等边对等角,得到,ECB,=,EBC,=45,故,ACE,=,ACB,-,ECB,=60,-45,=15,.,20/130,2.(内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形,底边长为,(),A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,不过2+2=40),则,HE,=,x,CH,=,x,过点,B,作,BG,HE,于,G,则,BG,=,x,EG,=,BGD,=,CHD,=90,又,BDG,=,CDH,BDG,CDH,=,=,=,BC,=,CD,=,又,DH,=,GH,=,HE,=,由勾股定理得,DH,2,+,CH,2,=,CD,2,即,+(,x,),2,=,解得,x,=1,DH,=,.,29/130,疑难突破这类题型中,可依据等边三角形、60,这些条件,经过补全小等边三角形,结构全等,三角形,从而实现线段转化.,30/130,考点二直角三角形,1.(陕西,6,3分)如图,在,ABC,中,AC,=8,ABC,=60,C,=45,AD,BC,垂足为,D,ABC,平,分线交,AD,于点,E,则,AE,长为,(),A.2,B.3,C.,D.,答案D,AC,=8,C,=45,AD,BC,AD,=,AC,sin 45,=4,过点,E,作,EF,AB,于点,F,BE,是,ABC,平分线,DE,=,EF,ABC,=60,AD,BC,BAE,=30,在Rt,AEF,中,EF,=,AE,又,AD,=4,DE,=,EF,AE,=,AD,=,故选D.,31/130,思绪分析首先利用,AC,长及,C,正弦求出,AD,长,进而经过角平分线性质及直角三角,形中30度角性质确定,DE,和,AE,数量关系,最终求出,AE,长.,32/130,2.(四川南充,7,3分)如图,在Rt,ABC,中,A,=30,BC,=1,点,D,E,分别是直角边,BC,AC,中点,则,DE,长为,(),A.1B.2C.,D.1+,答案A在Rt,ABC,中,A,=30,BC,=1,AB,=2.,点,D,E,分别是,BC,AC,中点,DE,=,AB,=,2=1.,33/130,3.(内蒙古包头,12,3分)如图,在Rt,ABC,中,ACB,=90,CD,AB,垂足为,D,AF,平分,CAB,交,CD,于点,E,交,CB,于点,F,.若,AC,=3,AB,=5,则,CE,长为,(),A.,B.,C.,D.,34/130,答案A过,F,作,FG,AB,于点,G,AF,平分,CAB,ACB,=90,FC,=,FG,.,易证,ACF,AGF,AC,=,AG,.,5+6=90,B,+6=90,5=,B,.,3=1+5,4=2+,B,1=2,3=4,CE,=,CF,.,AC,=3,AB,=5,BC,=4.,在Rt,BFG,中,设,CF,=,x,(,x,0),则,FG,=,x,BF,=4-,x,.,BG,=,AB,-,AG,=5-3=2.,由,BF,2,=,FG,2,+,BG,2,得(4-,x,),2,=,x,2,+2,2,解得,x,=,CE,=,CF,=,.选A.,35/130,4.(福建,13,4分)如图,Rt,ABC,中,ACB,=90,AB,=6,D,是,AB,中点,则,CD,=,.,答案3,解析依题意可知,CD,是直角三角形,ABC,斜边上中线,由“直角三角形斜边上中线等于斜,边二分之一”可得,CD,=,AB,=3.,36/130,5.(福建,15,4分)把两个一样大小含45,角三角尺按如图所表示方式放置,其中一个三,角尺锐角顶点与另一个直角顶点重合于点,A,且另三个锐角顶点,B,C,D,在同一直线上.若,AB,=,则,CD,=,.,37/130,答案,-1,解析由题意知,ABC,ADE,均为等腰直角三角形,且,AB,=,AC,=,AE,=,ED,=,由勾股定理得,BC,=,AD,=2.过,A,作,AF,BC,于,F,则,FC,=,AF,=1,在Rt,AFD,中,由勾股定理得,FD,=,故,CD,=,FD,-,FC,=,-1.,38/130,6.(湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5,cm点,B,处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁恰好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相正确点,A,处,则蚂,蚁从外壁,A,处到内壁,B,处最短距离为,cm(杯壁厚度不计).,39/130,答案20,解析如图,将圆柱侧面展开,延长,AC,至,A,使,A,C,=,AC,连接,A,B,则线段,A,B,长为蚂蚁到蜂蜜,最短距离.过,B,作,BB,AD,垂足为,B,.在Rt,A,B,B,中,B,B,=16,A,B,=14-5+3=12,所以,A,B,=,=,=20,即蚂蚁从外壁,A,处到内壁,B,处最短距离为20 cm.,40/130,7.(河南,15,3分)如图,MAN,=90,点,C,在边,AM,上,AC,=4,点,B,为边,AN,上一动点,连接,BC,A,BC,与,ABC,关于,BC,所在直线对称.点,D,E,分别为,AC,BC,中点,连接,DE,并延长交,A,B,所在直线,于点,F,连接,A,E,.当,A,EF,为直角三角形时,AB,长为,.,答案4或4,41/130,解析(1)当点,A,在直线,DE,下方时,如图1,CA,F,=90,EA,F,CA,F,A,EF,为钝角三角,形,不符合;(2)当点,A,在直线,DE,上方时,如图2.当,A,FE,=90,时,DE,AB,EDA,=90,A,B,AC,.由对称知四边形,ABA,C,为正方形,AB,=,AC,=4;当点,A,在直线,DE,上方时,如图3.当,A,EF,=90,时,A,E,AC,所以,A,EC,=,ACE,=,A,CE,A,C,=,A,E,.,A,E,=,EC,A,CE,为等边三角,形,ACB,=,A,CB,=60,在Rt,ACB,中,AB,=,AC,tan 60,=4,;当点,A,在直线,DE,上方时,EA,F,CA,B,不可能为90,.,总而言之,当,A,EF,为直角三角形时,AB,长为4或4,.,图1,42/130,图2,图3,43/130,方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,普通要找出对称中定长线段,以定点为,圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点轨迹是较为有效方法.再依据题目中所要求条,件,结合全等、相同或勾股定理等计算得出结果.,思绪分析由题意知,点,B,为边,AN,上动点,A,点对称点,A,能够在直线,DE,下方或上方.分类,讨论,当点,A,在,DE,下方时,A,EF,不可能为直角三角形,当点,A,在直线,DE,上方时,A,EF,或,A,FE,为90,时分别计算,AB,长,显然,EA,F,90,能够排除.,44/130,8.(新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在Rt,ABC,中,C,=90,BC,=2,AC,=2,点,D,是,BC,中点,点,E,是边,AB,上一动点,沿,DE,所在直线把,BDE,翻折到,B,DE,位置,B,D,交,AB,于点,F,.若,AB,F,为,直角三角形,则,AE,长为,.,答案3或2.8,45/130,解析易知,B,AF,不可能为直角.,当,B,FA,是直角时,如图1,图1,C,是直角,ABC,=,DBF,BCA,BFD,=,又,BC,=2,且易知,BD,=,AB,=4,BF,=,2,=,由翻折可知,DBE,DB,E,BE,=,B,E,EB,F,=,ABD,=30,BE,=,EB,=,2,EF,BE,=,BF,=1,AE,=4-1=3.,当,FB,A,是直角时,如图2,46/130,图2,连接,B,C,、,AD,、,BB,由翻折可知,DBE,DB,E,B,D,=,BD,=,BC,=,CD,BB,C,=90,FB,A,=,ACD,=90,Rt,ACD,Rt,AB,D,AC,=,AB,又易证,DB,B,=,CB,A,DB,B,AB,C,=,=,又,=,故可证,BB,C,DCA,CDA,=,B,BC,AD,BB,延长,DE,交,BB,于,M,可得,=,=,(*),易知,DM,垂直平分,BB,BM,=,BB,在直角三角形,BB,C,中,由,BB,2,+,B,C,2,=,BC,2,=12,=,可求得,BB,=,BM,=,.在直角三角形,DCA,中,DA,=,47/130,=,将,BM,=,AD,=,代入(*)可得,AE,=2.8.,综上,AE,=3或2.8.,疑难突破本题难点是,FB,A,为直角时怎样求,AE,突破方法是作出辅助线,B,C,、,AD,、,BB,并依据翻折证实,BB,C,DCA,然后利用相同比求出,AE,.,48/130,9.(河南,15,3分)如图,在Rt,ABC,中,A,=90,AB,=,AC,BC,=,+1,点,M,N,分别是边,BC,AB,上,动点,沿,MN,所在直线折叠,B,使点,B,对应点,B,落在边,AC,上.若,MB,C,为直角三角,形,则,BM,长为,.,答案,或1,49/130,解析在Rt,ABC,中,A,=90,AB,=,AC,B,=,C,=45,.,(1)当,MB,C,=90,时,B,MC,=,C,=45,.,设,BM,=,x,则,B,M,=,B,C,=,x,在Rt,MB,C,中,由勾股定理得,MC,=,x,x,+,x,=,+1,解得,x,=1,BM,=1.,(2)如图,当,B,MC,=90,时,点,B,与点,A,重合,此时,BM,=,B,M,=,BC,=,.,总而言之,BM,长为1或,.,50/130,10.(安徽,23,14分)如图1,Rt,ABC,中,ACB,=90,.点,D,为边,AC,上一点,DE,AB,于点,E,.点,M,为,BD,中点,CM,延长线交,AB,于点,F,.,(1)求证:,CM,=,EM,;,(2)若,BAC,=50,求,EMF,大小;,(3)如图2,若,DAE,CEM,点,N,为,CM,中点.求证:,AN,EM,.,图1 图2,51/130,解析(1)证实:由已知,在Rt,BCD,中,BCD,=90,M,为斜边,BD,中点,CM,=,BD,.,又,DE,AB,同理,EM,=,BD,CM,=,EM,.,(4分),(2)由已知得,CBA,=90,-50,=40,.,又由(1)知,CM,=,BM,=,EM,CME,=,CMD,+,DME,=2(,CBM,+,EBM,)=2,CBA,=2,40,=80,EMF,=180,-,CME,=100,.,(9分),(3)证实:,DAE,CEM,CME,=,DEA,=90,DE,=,CM,AE,=,EM,.,又,CM,=,DM,=,EM,DM,=,DE,=,EM,DEM,是等边三角形,MEF,=,DEF,-,DEM,=30,.,证法一:在Rt,EMF,中,EMF,=90,MEF,=30,=,52/130,又,NM,=,CM,=,EM,=,AE,FN,=,FM,+,NM,=,EF,+,AE,=,(,AE,+,EF,)=,AF,.,=,=,.,又,AFN,=,EFM,AFN,EFM,NAF,=,MEF,AN,EM,.,(14分),证法二:连接,AM,则,EAM,=,EMA,=,MEF,=15,53/130,AMC,=,EMC,-,EMA,=75,又,CMD,=,EMC,-,EMD,=30,且,MC,=,MD,ACM,=,(180,-30,)=75,.,由可知,AC,=,AM,又,N,为,CM,中点,AN,CM,又,EM,CF,AN,EM,.,(14分),思绪分析(1)利用直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一可证;(2)由直角三角形中两锐角,互余求出,CBA,由等腰三角形性质可得,MEB,=,MBE,MCB,=,MBC,从而可得,CME,=,DME,+,CMD,=2(,CBM,+,EBM,),最终由补角性质求出,EMF,;(3)由,DAE,CEM,可推,出,DEM,为等边三角形,从而可得,MEF,=30,下面证,AN,EM,有两个思绪:一是依据直角三角,形30,角所对直角边等于斜边二分之一可得,=,又点,N,是,CM,中点,可推出,=,从而可证,AFN,EFM,深入即可证实,AN,EM,;二是连接,AM,计算可得,AMC,=,ACM,而,N,是,CM,中点,从而,AN,CM,深入即可证实,AN,EM,.,54/130,11.(内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB,和,ECD,都是等腰直角三角形,ACB,=,ECD,=90,D,为,AB,边上一点.,(1)求证:,ACE,BCD,;,(2)求证:2,CD,2,=,AD,2,+,DB,2,.,55/130,证实(1),ACB,和,ECD,都是等腰直角三角形,CD,=,CE,AC,=,BC,ECD,=,ACB,=90,ECD,-,ACD,=,ACB,-,ACD,即,ECA,=,DCB,.,(1分),在,ACE,与,BCD,中,(3分),ACE,BCD,.,(4分),(2),ACE,BCD,AE,=,BD,.,(5分),EAC,=,BAC,=45,EAD,=90,.,在Rt,EAD,中,ED,2,=,AD,2,+,AE,2,ED,2,=,AD,2,+,BD,2,.,(6分),又,ED,2,=,EC,2,+,CD,2,=2,CD,2,2,CD,2,=,AD,2,+,DB,2,.,(7分),56/130,C组教师专用题组,考点一等腰三角形,1.(湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知,A,(2,2),B,(4,0),若在坐标轴上取点,C,使,ABC,为等腰三角形,则满足条件点,C,个数是,(),A.5B.6C.7D.8,57/130,答案A如图,当,AB,=,AC,时,以点,A,为圆心,AB,长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点,B,除,外),即,O,(0,0),C,0,(0,4),其中点,C,0,与,A,、,B,两点共线,不符合题意;当,AB,=,BC,时,以点,B,为圆心,AB,长,为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当,AC,=,BC,时,作,AB,垂直平分线,与坐标轴有,两个交点,均符合题意.所以满足条件点,C,有5个,故选A.,58/130,2.(河北,16,2分)如图,AOB,=120,OP,平分,AOB,且,OP,=2.若点,M,N,分别在,OA,OB,上,且,PMN,为等边三角形,则满足上述条件,PMN,有,(),A.1个B.2个C.3个D.3个以上,59/130,答案D如图所表示,过点,P,分别作,OA,OB,垂线,垂足分别为,C,D,连接,CD,则,PCD,为等边三,角形.在,OC,DB,上分别取,M,N,使,CM,=,DN,则,PCM,PDN,所以,CPM,=,DPN,PM,=,PN,MPN,=60,则,PMN,为等边三角形,因为满足,CM,=,DN,M,N,有没有数个,所以满足题意三角形,有没有数个.,60/130,3.(福建龙岩,8,4分)如图,在边长为,等边三角形,ABC,中,过点,C,垂直于,BC,直线交,ABC,平分线于点,P,则点,P,到边,AB,所在直线距离为,(),A.,B.,C.,D.1,答案D由题意可得,PBC,=30,在Rt,PBC,中,PC,=,BC,tan 30,=1,因为,BP,是,ABC,平分,线,所以点,P,到直线,AB,距离等于点,P,到直线,BC,距离,即为1,故选D.,61/130,4.(吉林长春,6,3分)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,过点,A,作,AD,BC,.若1=70,则,BAC,大小,为,(),A.30,B.40,C.50,D.70,答案B,AB,=,AC,B,=,C,.,AD,BC,1=,C,=70,.,B,=70,.,BAC,=40,.故选B.,62/130,5.(江苏苏州,10,3分)如图,AOB,为等腰三角形,顶点,A,坐标为(2,),底边,OB,在,x,轴上.将,AOB,绕点,B,按顺时针方向旋转一定角度后得,A,O,B,点,A,对应点,A,在,x,轴上,则点,O,坐标,为,(),A.,B.,C.,D.,63/130,答案C过,A,作,OB,边垂线,AC,垂足为,C,过,O,作,BA,边垂线,O,D,垂足为,D,因为顶点,A,坐,标为(2,),所以,C,点坐标为(2,0),所以,OC,=2,AC,=,在Rt,OAC,中,依据勾股定理得,OA,=3,所,以,AB,=3.因为,AOB,为等腰三角形,所以,C,为,OB,中点,所以,B,点坐标为(4,0),故,BO,=,BO,=4.在Rt,O,BD,和Rt,O,A,D,中,O,B,2,-,BD,2,=,O,A,2,-,A,D,2,.设,BD,=,x,则有4,2,-,x,2,=3,2,-(3-,x,),2,解得,x,=,所以,BD,=,所,以,O,D,=,又,OD,=4+,=,故,O,点坐标为,故选C.,64/130,6.(浙江绍兴,13,5分)因为木质衣架没有柔性,在挂置衣服时候不太方便操作.小敏设,计了一个衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆,OA,=,OB,=18 cm.,若衣架收拢时,AOB,=60,如图2,则此时,A,B,两点间距离是,cm.,答案18,解析连接,AB,.因为,OA,=,OB,=18 cm,收拢后,AOB,=60,所以,AOB,是正三角形,故,AB,=18 cm.,65/130,7.(湖南长沙,17,3分)如图,ABC,中,AC,=8,BC,=5,AB,垂直平分线,DE,交,AB,于点,D,交边,AC,于点,E,则,BCE,周长为,.,答案13,解析,DE,垂直平分,AB,AE,=,BE,BCE,周长为,BE,+,CE,+,BC,=,AE,+,CE,+,BC,=,AC,+,BC,=8+5=13.,评析本题考查了线段垂直平分线性质定理,即线段垂直平分线上点到这条线段两个,端点距离相等.,66/130,8.(江苏苏州,15,3分)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,=5,BC,=8.若,BPC,=,BAC,则tan,BPC,=,.,答案,解析过,A,作等腰,ABC,底边,BC,上高,AD,垂足为,D,则,AD,平分,BAC,且,D,为,BC,中点,所以,BD,=4,依据勾股定理可求出,AD,=3,又因为,BPC,=,BAC,所以,BPC,=,BAD,所以tan,BPC,=tan,BAD,=,=,.,67/130,9.(河南,11,3分)如图,在,ABC,中,按以下步骤作图:分别以点,B,、,C,为圆心,以大于,BC,长为半径作弧,两弧相交于,M,、,N,两点;作直线,MN,交,AB,于点,D,连接,CD,.若,CD,=,AC,B,=25,则,ACB,度数为,.,答案105,解析由题意知,MN,垂直平分,BC,CD,=,BD,又,CD,=,AC,AC,=,CD,=,BD,DCB,=,B,=25,A,=,CDA,=50,ACB,=180,-,A,-,B,=105,.,68/130,10(北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线垂线”尺规作图过程.,已知:直线,l,和,l,外一点,P,.,求作:直线,l,垂线,使它经过点,P,.,作法:如图,(1)在直线,l,上任取两点,A,B,;,(2)分别以点,A,B,为圆心,AP,BP,长为半径作弧,两弧相交于点,Q,;,(3)作直线,PQ,.所以直线,PQ,就是所求作垂线.,请回答:该作图依据是,.,69/130,答案三边分别相等两个三角形全等;全等三角形对应角相等;等腰三角形顶角平分线,与底边上高重合;两点确定一条直线,解析连接,PA,、,QA,、,PB,、,QB,.由题意可知,PA,=,QA,PB,=,QB,又,AB,=,AB,PAB,QAB,(三边分别相等两个三角形全等),PAB,=,QAB,(全等三角形对应角相等).,由两点确定一条直线作直线,PQ,.,PA,=,QA,AB,PQ,(等腰三角形顶角平分线与底边上高重合).,70/130,11.(贺州,16,3分)如图,在,ABC,中,分别以,AC,、,BC,为边作等边三角形,ACD,和等边三角形,BCE,连接,AE,、,BD,交于点,O,则,AOB,度数为,.,71/130,答案120,解析设,AC,与,BD,交于点,H,.,ACD,BCE,都是等边三角形,CD,=,CA,CB,=,CE,ACD,=,BCE,=60,.,ACD,+,ACB,=,BCE,+,ACB,即,DCB,=,ACE,.,在,DCB,和,ACE,中,DCB,ACE,(SAS),CDB,=,CAE,.,又,DCH,+,CHD,+,CDB,=180,AOH,+,OHA,+,CAE,=180,CHD,=,OHA,AOH,=,DCH,=60,.,AOB,=180,-,AOH,=120,.,72/130,思绪分析先证实,DCB,ACE,再利用全等三角形性质得到,CDB,=,CAE,再利用对,顶角相等及三角形内角和定理得,AOD,=,ACD,=60,即可求出,AOB,.,主要考点全等三角形判定及性质及等边三角形性质.,73/130,12.(吉林,12,3分)如图,已知线段,AB,分别以点,A,和点,B,为圆心,大于,AB,长为半径作弧,两,弧相交于,C,D,两点,作直线,CD,交,AB,于点,E,.在直线,CD,上任取一点,F,连接,FA,FB,.若,FA,=5,则,FB,=,.,答案5,解析由题意可知,EF,垂直平分,AB,所以,FB,=,FA,=5.,74/130,13.(柳州,23,8分)求证:等腰三角形两个底角相等.,(请依据下列图用符号表示已知和求证,并写出证实过程).,已知:,求证:,证实:,75/130,解析已知:在,ABC,中,AB,=,AC,.,求证:,B,=,C,.,证法一:过点,A,作,AD,BC,垂足为,D,.,则,ADB,=,ADC,=90,.,在,ABD,和,ACD,中,ABD,ACD,(HL).,B,=,C,.,证法二:过点,A,作,BAC,平分线,AD,交,BC,于点,D,.,76/130,则,BAD,=,CAD,.,在,ABD,和,ACD,中,ABD,ACD,(SAS).,B,=,C,.,证法三:过点,A,作,BC,边上中线,AD,交,BC,于点,D,.,则,BD,=,CD,.,在,ABD,和,ACD,中,ABD,ACD,(SSS).,B,=,C,.,77/130,14.(黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:,ACB,和,DCE,都是等腰直角三角形,ACB,=,DCE,=90,连接,AE,、,BD,交于点,O,.,AE,与,DC,交于点,M,BD,与,AC,交于点,N,.,(1)如图1,求证:,AE,=,BD,;,(2)如图2,若,AC,=,DC,在不添加任何辅助线情况下,请直接写出图2中四对全等直角三角形.,图1,图2,78/130,解析(1)证实:,ACB,和,DCE,都是等腰直角三角形,ACB,=,DCE,=90,AC,=,BC,DC,=,EC,ACB,+,ACD,=,DCE,+,ACD,即,BCD,=,ACE,ACE,BCD,AE,=,BD,.,(2),ACB,DCE,AON,DOM,AOB,DOE,NCB,MCE,.,79/130,15.(宁夏,21,6分)在等边,ABC,中,点,D,E,分别在边,BC,AC,上,若,CD,=2,过点,D,作,DE,AB,过,点,E,作,EF,DE,交,BC,延长线于点,F,.求,EF,长.,解析,ABC,为等边三角形,A,=,B,=,ACB,=60,DE,AB,EDF,=,B,=60,DEC,=,A,=60,CDE,为等边三角形,DE,=,CD,=2.,(4分),EF,DE,DEF,=90,在Rt,DEF,中,EF,=,DE,tan 60,=2,.,(6分),80/130,16.(北京,20,5分)如图,在,ABC,中,AB,=,AC,AD,是,BC,边上中线,BE,AC,于点,E,.,求证:,CBE,=,BAD,.,证实,AB,=,AC,AD,是,BC,边上中线,AD,BC,BAD,=,CAD,.,BE,AC,BEC,=,ADC,=90,.,CBE,=90,-,C,CAD,=90,-,C,.,CBE,=,CAD,.,CBE,=,BAD,.,81/130,17.(浙江杭州,18,8分)在,ABC,中,AB,=,AC,点,E,F,分别在,AB,AC,上,AE,=,AF,BF,与,CE,相交于点,P,.求证:,PB,=,PC,并直接写出图中其它相等线段.,解析在,AFB,和,AEC,中,AF,=,AE,A,为公共角,AB,=,AC,所以,AFB,AEC,所以,ABF,=,ACE,.,因为,AB,=,AC,所以,ABC,=,ACB,所以,PBC,=,PCB,所以,PB,=,PC,.,其余相等线段有:,BF,=,CE,;,PE,=,PF,;,BE,=,CF,.,82/130,18.(浙江温州,20,10分)如图,在等边三角形,ABC,中,点,D,E,分别在边,BC,AC,上,且,DE,AB,过,点,E,作,EF,DE,交,BC,延长线于点,F,.,(1)求,F,度数;,(2)若,CD,=2,求,DF,长.,解析(1),ABC,是等边三角形,B,=60,.,DE,AB,EDC,=,B,=60,.,EF,DE,DEF,=90,.,F,=90,-,EDC,=30,.,(2),ACB,=60,EDC,=60,EDC,是等边三角形.,ED,=,DC,=2.,DEF,=90,F,=30,DF,=2,DE,=4.,83/130,19.(重庆,25,12分)如图1,在,ABC,中,ACB,=90,BAC,=60,.点,E,是,BAC,角平分线上一,点.过点,E,作,AE,垂线,过点,A,作,AB,垂线,两垂线交于点,D,连接,DB,点,F,是,BD,中点.,DH,AC,垂足为,H,连接,EF,HF,.,(1)如图1,若点,H,是,AC,中点,AC,=2,求,AB,BD,长;,(2)如图1,求证:,HF,=,EF,;,(3)如图2,连接,CF,CE,.猜测:,CEF,是不是等边三角形?若是,请证实;若不是,请说明理由.,图1,图2,84/130,解析(1)点,H,是,AC,中点,AC,=2,AH,=,AC,=,.,(1分),ACB,=90,BAC,=60,ABC,=30,AB,=2,AC,=4,.,(2分),DA,AB,DH,AC,DAB,=,DHA,=90,.,DAH,=30,AD,=2.,(3分),在Rt,ADB,中,DAB,=90,BD,2,=,AD,2,+,AB,2,.,BD,=,=2,.,(4分),(2)证实:连接,AF,如图.,85/130,F,是,BD,中点,DAB,=90,AF,=,DF,FDA,=,FAD,.,(5分),DE,AE,DEA,=90,.,DHA,=90,DAH,=30,DH,=,AD,.,AE,平分,BAC,CAE,=,BAC,=30,.,DAE,=60,ADE,=30,.,86/130,AE,=,AD,AE,=,DH,.,(6分),FDA,=,FAD,HDA,=,EAD,=60,FDA,-,HDA,=,FAD,-,EAD,FDH,=,FAE,.,(7分),FDH,FAE,(SAS).,FH,=,FE,.,(8分),(3),CEF,是等边三角形.,(9分),理由以下:取,AB,中点,G,连接,FG,CG,.如图.,87/130,F,是,BD,中点,FG,DA,FG,=,DA,.,FGA,=180,-,DAG,=90,又,AE,=,AD,AE,=,FG,.,在Rt,ABC,中,ACB,=90,点,G,为,AB,中点,CG,=,AG,.,又,CAB,=60,GAC,为等边三角形.,(10分),AC,=,CG,ACG,=,AGC,=60,.,FGC,=30,FGC,=,EAC,.,FGC,EAC,(SAS).,(11分),CF,=,CE,ACE,=,GCF,.,ECF,=,ECG,+,GCF,=,ECG,+,ACE,=,ACG,=60,CEF,是等边三角形.,(12分),88/130,考点二直角三角形,1.(北京,6,3分)如图,公路,AC,BC,相互垂直,公路,AB,中点,M,与点,C,被湖隔开,若测得,AM,长,为1.2 km,则,M,C,两点间距离为,(),A.0.5 kmB.0.6 km,C.0.9 kmD.1.2 km,答案D,AC,BC,M,是,AB,中点,MC,=,AB,=,AM,=1.2 km.故选D.,89/130,2.(黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形,ABC,中,ACB,=90,AC,=3,点,P,为边,BC,三等,分点,连接,AP,则,AP,长为,.,答案,或,解析当,CP,=1时,依据勾股定理得,AP,=,=,;当,CP,=2时,依据勾股定理得,AP,=,=,=,故,AP,长为,或,.,90/130,3.(山东聊城,15,3分)如图,在,ABC,中,C,=90,A,=30,BD,是,ABC,平分线.若,AB,=6,则,点,D,到,AB,距离是,.,答案,解析,C,=90,A,=30,AB,=6,ABC,=60,BC,=3,BD,平分,ABC,CBD,=,ABC,=3,0,点,D,到,AB,距离等于,DC,在Rt,BDC,中,DC,=tan,DBC,BC,=,3=,点,D,到,AB,距离等于,.,91/130,4.(江西南昌,14,3分)如图,在,ABC,中,AB,=,BC,=4,AO,=,BO,P,是射线,CO,上一个动点,AOC,=60,则当,PAB,为直角三角形时,AP,长为,.,答案2或2,或2,92/130,解析由题意知,满足条件点,P