高考数学复习第八章立体几何与空间向量8.7立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离理市赛课公开课.pptx

8.7,立体几何中向量方法,(,二,),求空间角和距离,1/101,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/101,基础知识自主学习,3/101,1.,两条异面直线所成角求法,设,a,，,b,分别是两异面直线,l,1,，,l,2,方向向量，则,知识梳理,l1与l2所成角,a与b夹角,范围,0,，,求法,cos,_,cos,2.,直线与平面所成角求法,设直线,l,方向向量为,a,，平面,法向量为,n,，直线,l,与平面,所成角为,，,a,与,n,夹角为,，则,sin,|cos,|,.,4/101,3.,求二面角大小,(1),如图,，,AB,，,CD,分别是二面角,l,两个面内与棱,l,垂直直线，则二面角大小,.,(2),如图,，,n,1,，,n,2,分别是二面角,l,两个半平面,，,法向量，则二面角大小,满足,|cos,|,，二面角平面角大小是向量,n,1,与,n,2,夹角,(,或其补角,).,|cos,n,1,，,n,2,|,5/101,知识拓展,利用空间向量求距离,(,供选取,),(1),两点间距离,设点,A,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，点,B,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),，则,AB,.,(2),点到平面距离,如图所表示，已知,AB,为平面,一条斜线段，,n,为平面,法向量，则,B,到平面,距离为,.,6/101,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),两直线方向向量所成角就是两条直线所成角,.(,),(2),直线方向向量和平面法向量所成角就是直线与平面所成角,.,(,),(3),两个平面法向量所成角是这两个平面所成角,.(,),(4),两异面直线夹角范围是,(0,，,，直线与平面所成角范围是,0,，,，二面角范围是,0,，,.(,),7/101,(5),直线,l,方向向量与平面,法向量夹角为,120,，则,l,和,所成角为,30.,(,),(6),若二面角,a,两个半平面,，,法向量,n,1,，,n,2,所成角为,，则二面角,a,大小是,.(,),8/101,考点自测,1.(,南通模拟,),已知两平面法向量分别为,m,(0,1,0),，,n,(0,1,1),，则两平面所成二面角为,_.,答案,解析,45,或,135,即,m,，,n,45.,两平面所成二面角为,45,或,180,45,135.,9/101,2.,已知向量,m,，,n,分别是直线,l,和平面,方向向量和法向量，若,cos,m,，,n,，则,l,与,所成角为,_.,30,答案,解析,设,l,与,所成角为,，,cos,m,，,n,，,sin,|cos,m,，,n,|,，,0,90,，,30.,10/101,3.(,泰州模拟,),如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,，,CA,CC,1,2,CB,，则直线,BC,1,与直线,AB,1,所成角余弦值为,_.,答案,解析,设,CA,2,，则,C,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(0,0,1),，,C,1,(0,2,0),，,B,1,(0,2,1),，,可得向量,(,2,2,1),，,(0,2,，,1),，,由向量夹角公式得,11/101,4.(,教材改编,),正三棱柱,(,底面是正三角形直棱柱,),ABC,A,1,B,1,C,1,底面,边长为,2,，侧棱长为,，则,AC,1,与侧面,ABB,1,A,1,所成角为,_.,答案,解析,12/101,以,A,为原点，以,，,(,AE,AB,),，,所在直线为坐标轴,(,如图,),建立空间直角坐标系，设,D,为,A,1,B,1,中点，,C,1,AD,为,AC,1,与平面,ABB,1,A,1,所成角，,又,C,1,AD,，,C,1,AD,.,13/101,5.,P,是二面角,AB,棱上一点，分别在平面,、,上引射线,PM,、,PN,，假如,BPM,BPN,45,，,MPN,60,，那么二面角,AB,大小为,_.,答案,解析,90,14/101,不妨设,PM,a,，,PN,b,，如图，,作,ME,AB,于,E,，,NF,AB,于,F,，,PE,a,，,PF,b,，,二面角,AB,大小为,90.,EPM,FPN,45,，,15/101,题型分类深度剖析,16/101,题型一求异面直线所成角,例,1,(,课标全国,),如图，四边形,ABCD,为菱形，,ABC,120,，,E,，,F,是平面,ABCD,同一侧两点，,BE,平面,ABCD,，,DF,平面,ABCD,，,BE,2,DF,，,AE,EC,.,(1),证实：平面,AEC,平面,AFC,；,证实,17/101,如图所表示，连结,BD,，设,BD,AC,G,，连结,EG,，,FG,，,EF,.,在菱形,ABCD,中，不妨设,GB,1.,由,ABC,120,，可得,AG,GC,.,由,BE,平面,ABCD,，,AB,BC,2,，可知,AE,EC,.,又,AE,EC,，所以,EG,，且,EG,AC,.,在,Rt,EBG,中，可得,BE,，故,DF,.,在,Rt,FDG,中，可得,FG,.,在直角梯形,BDFE,中，,从而,EG,2,FG,2,EF,2,，所以,EG,FG,.,又,AC,FG,G,，可得,EG,平面,AFC,.,因为,EG,平面,AEC,，所以平面,AEC,平面,AFC,.,18/101,(2),求直线,AE,与直线,CF,所成角余弦值,.,解答,19/101,如图，以,G,为坐标原点，分别以,，,方向为,x,轴，,y,轴正方向，,为单位长度，建立空间直角坐标系,G,xyz,，,由,(1),可得,A,(0,，,，,0),，,E,(1,0,，,),，,所以直线,AE,与直线,CF,所成角余弦值为,.,20/101,用向量法求异面直线所成角普通步骤,(1),选择三条两两垂直直线建立空间直角坐标系,.,(2),确定异面直线上两个点坐标，从而确定异面直线方向向量,.,(3),利用向量夹角公式求出向量夹角余弦值,.,(4),两异面直线所成角余弦值等于两向量夹角余弦值绝对值,.,思维升华,21/101,跟踪训练,1,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,M,、,N,分别是棱,CD,、,CC,1,中点，则异面直线,A,1,M,与,DN,所成角大小是,_.,答案,解析,90,连结,D,1,M,，在正方形,DCC,1,D,1,中，,M,、,N,分别是,CD,、,CC,1,中点，,DN,D,1,M,，又,A,1,D,1,平面,D,1,C,，,DN,平面,D,1,C,，,DN,A,1,D,1,，又,A,1,D,1,D,1,M,D,1,，,DN,平面,A,1,D,1,M,，又,A,1,M,平面,A,1,D,1,M,，,A,1,M,DN,.,即异面直线,A,1,M,与,DN,所成角为,90.,22/101,题型二求直线与平面所成角,例,2,(,全国丙卷,),如图，四棱锥,P-ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,BC,，,AB,AD,AC,3,，,PA,BC,4,，,M,为线段,AD,上一点，,AM,2,MD,，,N,为,PC,中点,.,(1),证实,MN,平面,PAB,；,证实,23/101,由已知得,AM,AD,2.,取,BP,中点,T,，连结,AT,，,TN,，,由,N,为,PC,中点知,TN,BC,，,TN,BC,2.,又,AD,BC,，故,TN,綊,AM,，四边形,AMNT,为平行四边形，于是,MN,AT,.,因为,AT,平面,PAB,，,MN,平面,PAB,，,所以,MN,平面,PAB,.,24/101,(2),求直线,AN,与平面,PMN,所成角正弦值,.,解答,25/101,取,BC,中点,E,，连结,AE,.,从而,AE,AD,，,由,AB,AC,得,AE,BC,，,以,A,为坐标原点，,方向为,x,轴正方向，建立如图所表示空间直角坐标系,A,xyz,.,26/101,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PMN,法向量，则,可取,n,(0,2,1).,设,AN,与平面,PMN,所成角为,，则,sin,，,直线,AN,与平面,PMN,所成角正弦值为,.,27/101,利用向量法求线面角方法,(1),分别求出斜线和它在平面内射影直线方向向量，转化为求两个方向向量夹角,(,或其补角,),；,(2),经过平面法向量来求，即求出斜线方向向量与平面法向量所夹锐角，取其余角就是斜线和平面所成角,.,思维升华,28/101,跟踪训练,2,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,O,为线段,BD,中点,.,设点,P,在线段,CC,1,上，直线,OP,与平面,A,1,BD,所成角为,，则,sin,取值范围是,_,答案,解析,29/101,由正方体性质易求得,sin,C,1,OA,1,，,sin,COA,1,，,注意到,C,1,OA,1,是锐角，,COA,1,是钝角，且,.,故,sin,取值范围是,，,1,30/101,题型三求二面角,例,3,(,天津,),如图，正方形,ABCD,中心为,O,，四边形,OBEF,为矩形，平面,OBEF,平面,ABCD,，点,G,为,AB,中点，,AB,BE,2.,(1),求证：,EG,平面,ADF,；,证实,几何画板展示,31/101,依题意，,OF,平面,ABCD,，,如图，以,O,为原点，分别以,方向为,x,轴，,y,轴，,z,轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得,O,(0,0,0),，,A,(,1,1,0),，,B,(,1,，,1,0),，,C,(1,，,1,0),，,D,(1,1,0),，,E,(,1,，,1,2),，,F,(0,0,2),，,G,(,1,0,0).,依题意，,(2,0,0),，,(1,，,1,2).,32/101,设,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),为平面,ADF,法向量，,不妨取,z,1,1,，可得,n,1,(0,2,1),，,又,(0,1,，,2),，可得,n,1,0,，,又因为直线,EG,平面,ADF,，,所以,EG,平面,ADF,.,33/101,(2),求二面角,O,EF,C,正弦值；,解答,34/101,易证,(,1,1,0),为平面,OEF,一个法向量，,依题意，,(1,1,0),，,(,1,1,2).,设,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),为平面,CEF,法向量，,不妨取,x,2,1,，可得,n,2,(1,，,1,1).,于是,sin,，,n,2,.,所以二面角,O,EF,C,正弦值为,.,35/101,(3),设,H,为线段,AF,上点，且,AH,HF,，求直线,BH,和平面,CEF,所成角正弦值,.,解答,36/101,由,AH,HF,，得,AH,AF,.,因为,(1,，,1,2),，,所以直线,BH,和平面,CEF,所成角正弦值为,.,37/101,利用向量法计算二面角大小惯用方法,(1),找法向量法：分别求出二面角两个半平面所在平面法向量，然后经过两个平面法向量夹角得到二面角大小，但要注意结合实际图形判断所求角大小,.,(2),找与棱垂直方向向量法：分别在二面角两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点两个向量，则这两个向量夹角大小就是二面角大小,.,思维升华,38/101,跟踪训练,3,如图,(1),，正方形,ABCD,边长为,1,，,M,，,N,分别是边,AD,，,BC,上点，,MN,与,AB,平行，且与,AC,交于点,O,.,若将四边形,ABCD,沿,MN,折成直二面角,A,MN,C,(,如图,(2),，则二面角,C,AO,B,平面角正弦值,是,_,图,(1),图,(2),答案,解析,39/101,由条件得,NM,，,NB,，,NC,两两垂直，,分别以,NM,，,NB,，,NC,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，,建立空间直角坐标系，,设,NC,m,，则,NO,m,，从而得,O,(,m,0,0),，,C,(0,0,，,m,),，,A,(1,1,m,0),设平面,AOC,法向量为,a,(,x,，,y,，,z,),，,40/101,得,取,x,1,，得,a,(1,，,1,1),又平面,AOB,一个法向量为,b,(0,0,1),，,故,sin,a,，,b,.,41/101,题型四求空间距离,(,供选取,),例,4,如图，,BCD,与,MCD,都是边长为,2,正三角形，平面,MCD,平面,BCD,，,AB,平面,BCD,，,AB,，求点,A,到平面,MBC,距离,.,解答,42/101,如图，取,CD,中点,O,，连结,OB,，,OM,，,因为,BCD,与,MCD,均为正三角形，,所以,OB,CD,，,OM,CD,，,又平面,MCD,平面,BCD,，所以,MO,平面,BCD,.,以,O,为坐标原点，直线,OC,，,BO,，,OM,分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系,O,xyz,.,因为,BCD,与,MCD,都是边长为,2,正三角形，,所以,OB,OM,，,则,O,(0,0,0),，,C,(1,0,0),，,M,(0,0,，,),，,B,(0,，,，,0),，,A,(0,，,，,),，,43/101,设平面,MBC,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,x,，可得平面,MBC,一个法向量为,n,(,，,1,1).,又,(0,0,2 ),，,所以所求距离为,d,.,44/101,求点面距普通有以下三种方法,(1),作点到面垂线，点到垂足距离即为点到平面距离；,(2),等体积法；,(3),向量法,.,其中向量法在易建立空间直角坐标系规则图形中较简便,.,思维升华,45/101,跟踪训练,4,(,四川成都外国语学校月考,),如图所表示，在四棱锥,P,ABCD,中，侧面,PAD,底面,ABCD,，侧棱,PA,PD,，,PA,PD,，底面,ABCD,为直角梯形，其中,BC,AD,，,AB,AD,，,AB,BC,1,，,O,为,AD,中点,.,(1),求直线,PB,与平面,POC,所成角余弦值；,解答,46/101,在,PAD,中，,PA,PD,，,O,为,AD,中点，,PO,AD,.,又,侧面,PAD,底面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,PO,平面,PAD,，,PO,平面,ABCD,.,在,PAD,中，,PA,PD,，,PA,PD,，,AD,2.,在直角梯形,ABCD,中，,O,为,AD,中点，,AB,AD,，,OC,AD,.,47/101,以,O,为坐标原点，,OC,为,x,轴，,OD,为,y,轴，,OP,为,z,轴建立空间直角坐标系，如图所表示，,则,P,(0,0,1),，,A,(0,，,1,0),，,B,(1,，,1,0),，,C,(1,0,0),，,D,(0,1,0),，,(1,，,1,，,1).,易证,OA,平面,POC,，,(0,，,1,0),为平面,POC,法向量，,PB,与平面,POC,所成角余弦值为,.,48/101,(2),求,B,点到平面,PCD,距离；,解答,(1,，,1,，,1),，,设平面,PCD,法向量为,u,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，得,u,(1,1,1).,则,B,点到平面,PCD,距离,d,.,49/101,(3),线段,PD,上是否存在一点,Q,，使得二面角,Q,AC,D,余弦值为,？若存在，求出,值；若不存在，请说明理由,.,解答,50/101,假设存在，且设,(0,1).,(0,，,，,1,),，,设平面,CAQ,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,Q,(0,，,，,1,).,取,z,1,，得,m,(1,，,1,，,1).,51/101,平面,CAD,一个法向量为,n,(0,0,1),，,二面角,Q,AC,D,余弦值为,，,|cos,m,，,n,|,.,整理化简，得,3,2,10,3,0.,解得,或,3(,舍去,),，,存在，且,.,52/101,典例,(16,分,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AD,AB,，,AB,DC,，,AD,DC,AP,2,，,AB,1,，点,E,为棱,PC,中点,.,(1),证实：,BE,DC,；,(2),求直线,BE,与平面,PBD,所成角正弦值；,(3),若,F,为棱,PC,上一点，满足,BF,AC,，,求二面角,F,AB,P,余弦值,.,利用空间向量求解空间角,答题模板系列,6,规范解答,答题模板,53/101,(1),证实,依题意，以点,A,为原点建立空间直角坐标系如图，,可得,B,(1,0,0),，,C,(2,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,0,2).,2,分,由,E,为棱,PC,中点，得,E,(1,1,1).,(0,1,1),，,(2,0,0),，,故,0,，所以,BE,DC,.,4,分,54/101,(2),解,(,1,2,0),，,(1,0,，,2).,设,n,(,x,，,y,，,z,),为平面,PBD,一个法向量，,不妨令,y,1,，可得,n,(2,1,1).,6,分,所以直线,BE,与平面,PBD,所成角正弦值为,.,8,分,55/101,(3),解,(1,2,0),，,(,2,，,2,2),，,(2,2,0),，,(1,0,0).,由点,F,在棱,PC,上，设,，,0,1,，,由,BF,AC,，得,0,，,所以，,2(1,2,),2(2,2,),0,，解得,，,56/101,设,n,1,(,x,，,y,，,z,),为平面,FAB,一个法向量，,取平面,ABP,法向量,n,2,(0,1,0),，,则,cos,n,1,，,n,2,易知，二面角,F,AB,P,是锐角，,不妨令,z,1,，可得,n,1,(0,，,3,1).,所以其余弦值为,.,16,分,返回,57/101,利用向量求空间角步骤,第一步：建立空间直角坐标系；,第二步：确定点坐标；,第三步：求向量,(,直线方向向量、平面法向量,),坐标；,第四步：计算向量夹角,(,或函数值,),；,第五步：将向量夹角转化为所求空间角；,第六步：反思回顾,.,查看关键点、易错点和答题规范,.,返回,58/101,课时作业,59/101,1.(,苏北四市联考,),在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,AA,1,2,，,AD,1,，,E,为,CC,1,中点，则异面直线,BC,1,与,AE,所成角余弦值为,_.,答案,解析,建立空间直角坐标系如图，,则,A,(1,0,0),，,E,(0,2,1),，,B,(1,2,0),，,C,1,(0,2,2).,所以,(,1,0,2),，,(,1,2,1).,所以异面直线,BC,1,与,AE,所成角余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/101,2.(,徐州模拟,),二面角棱上有,A,，,B,两点，直线,AC,，,BD,分别在这个二面角两个半平面内，且都垂直于,AB,.,已知,AB,4,，,AC,6,，,BD,8,，,CD,，则该二面角大小为,_.,答案,解析,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/101,如图所表示，二面角大小就是,.,所以,24,，,60,，故二面角为,60.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/101,3.,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，点,E,为,BB,1,中点，则平面,A,1,ED,与平面,ABCD,所成锐二面角余弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/101,以,A,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,A,xyz,，设棱长为,1,，,则,A,1,(0,0,1),，,E,(1,0,，,),，,D,(0,1,0),，,(0,1,，,1),，,(1,0,，,).,设平面,A,1,ED,一个法向量为,n,1,(1,，,y,，,z,),，,则有,平面,ABCD,一个法向量为,n,2,(0,0,1),，,n,1,(1,2,2).,cos,n,1,，,n,2,，,即所成锐二面角余弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/101,4.(,盐城模拟,),在三棱锥,P,ABC,中，,PA,平面,ABC,，,BAC,90,，,D,，,E,，,F,分别是棱,AB,，,BC,，,CP,中点，,AB,AC,1,，,PA,2,，则直线,PA,与平面,DEF,所成角正弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/101,以,A,为原点，,AB,，,AC,，,AP,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立如图所表示空间直角坐标系，,由,AB,AC,1,，,PA,2,，,得,A,(0,0,0),，,B,(1,0,0),，,C,(0,1,0),，,P,(0,0,2),，,D,(,，,0,0),，,E,(,，,，,0),，,F,(0,，,，,1).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,66/101,设平面,DEF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,取,z,1,，则,n,(2,0,1),，,设直线,PA,与平面,DEF,所成角为,，,直线,PA,与平面,DEF,所成角正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,67/101,5.,已知正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,CC,1,，,E,为,CC,1,中点，则直线,AC,1,到平面,BDE,距离为,_.,答案,解析,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,68/101,以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线分别为,x,轴，,y,轴，,z,轴建立空间直角坐标系,(,如图,),，,则,D,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(2,2,0),，,C,(0,2,0),，,C,1,(0,2,),，,E,(0,2,，,),，易知,AC,1,平面,BDE,.,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,BDE,法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,69/101,取,y,1,，则,n,(,1,1,，,),为平面,BDE,一个法向量，,又,(2,0,0),，,点,A,到平面,BDE,距离是,故直线,AC,1,到平面,BDE,距离为,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,70/101,6.,如图所表示，三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,侧棱长为,3,，底面边长,A,1,C,1,B,1,C,1,1,，且,A,1,C,1,B,1,90,，,D,点在棱,AA,1,上且,AD,2,DA,1,，,P,点在棱,C,1,C,上，则,最小值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,71/101,建立如图所表示空间直角坐标系，则,D,(1,0,2),，,B,1,(0,1,3),，,设,P,(0,0,，,z,),，则,(1,0,2,z,),，,(0,1,3,z,),，,0,0,(2,z,)(3,z,),(,z,),2,，,故当,z,时，,取得最小值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,72/101,7.(,无锡模拟,),在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,BC,AA,1,1,，,则直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角正弦值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,73/101,如图，建立空间直角坐标系,D,xyz,，,则,D,1,(0,0,1),，,C,1,(0,2,1),，,A,1,(1,0,1),，,B,(1,2,0).,(0,2,0),，,(,1,2,0),，,(0,2,，,1),，,设平面,A,1,BC,1,一个法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,74/101,令,y,1,，得,n,(2,1,2),，,设直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角为,，则,即直线,D,1,C,1,与平面,A,1,BC,1,所成角正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,75/101,8.,在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,2,AB,，则直线,CD,与平面,BDC,1,所成角正弦值等于,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,76/101,以,D,为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，,设,AA,1,2,AB,2,，则,D,(0,0,0),，,C,(0,1,0),，,B,(1,1,0),，,C,1,(0,1,2),，,则,(0,1,0),，,(1,1,0),，,(0,1,2).,设平面,BDC,1,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,2,，得平面,BDC,1,一个法向量为,n,(2,，,2,1).,设,CD,与平面,BDC,1,所成角为,，,则,n,，,n,，,所以有,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,77/101,9.(,连云港模拟,),已知点,E,，,F,分别在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱,BB,1,，,CC,1,上，且,B,1,E,2,EB,，,CF,2,FC,1,，则平面,AEF,与平面,ABC,所成二面角,正切值为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,78/101,如图，建立空间直角坐标系,D,xyz,，,设,DA,1,，由已知条件得,A,(1,0,0),，,E,(1,1,，,),，,F,(0,1,，,),，,(0,1,，,),，,(,1,1,，,),，,设平面,AEF,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,AEF,与平面,ABC,所成二面角为,，,由图知,为锐角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,79/101,令,y,1,，,z,3,，,x,1,，,则,n,(,1,1,，,3),，,取平面,ABC,法向量为,m,(0,0,，,1),，,则,cos,|cos,n,，,m,|,，,tan,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,80/101,10.(,南京、无锡联考,),如图，,在,三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,CA,CB,，,AB,AA,1,，,BAA,1,60.,(1),证实：,AB,A,1,C,；,证实,如图，取,AB,中点,O,，连结,OC,，,OA,1,，,A,1,B,.,CA,CB,，,OC,AB,.,AB,AA,1,，,BAA,1,60.,AA,1,B,为等边三角形，,OA,1,AB,.,OC,OA,1,O,，,AB,平面,OA,1,C,.,又,A,1,C,平面,OA,1,C,，,AB,A,1,C,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,81/101,(2),若平面,ABC,平面,AA,1,B,1,B,，,AB,CB,，求直线,A,1,C,与平面,BB,1,C,1,C,所成角正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,82/101,由,(1),知，,OC,AB,，,OA,1,AB,.,平面,ABC,平面,AA,1,B,1,B,，交线为,AB,，,OC,平面,AA,1,B,1,B,，,OA,，,OA,1,，,OC,两两垂直,.,以,O,为坐标原点，,方向为,x,轴正方向，,为单位长度，建立如图所表示空间直角坐标系,O,xyz,.,由题设知,A,(1,0,0),，,A,1,(0,，,，,0),，,C,(0,0,，,),，,B,(,1,0,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,83/101,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,BB,1,C,1,C,法向量，,可取,n,(,，,1,，,1).,直线,A,1,C,与平面,BB,1,C,1,C,所成角正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,84/101,11.(,扬州模拟,),如图，在长方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AA,1,AB,2,AD,2,，,E,为,AB,中点，,F,为,D,1,E,上一点，,D,1,F,2,FE,.,(1),证实：平面,DFC,平面,D,1,EC,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,85/101,以,D,为原点，分别以,DA,，,DC,，,DD,1,所在直线为,x,轴，,y,轴，,z,轴，,建立如图所表示空间直角坐标系,D,xyz,，,则,A,(1,0,0),，,B,(1,2,0),，,C,(0,2,0),，,D,1,(0,0,2).,E,为,AB,中点，,点,E,坐标为,(1,1,0),，,D,1,F,2,FE,，,设,n,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),是平面,DFC,法向量，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,86/101,令,y,1,，则平面,D,1,EC,一个法向量为,p,(1,1,1),，,np,(1,0,，,1)(1,1,1),0,，,令,x,1,，则平面,DFC,一个法向量为,n,(1,0,，,1),，,设,p,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),是平面,D,1,EC,法向量，,平面,DFC,平面,D,1,EC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,87/101,(2),求二面角,A,DF,C,大小,.,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,88/101,设,q,(,x,3,，,y,3,，,z,3,),是平面,ADF,法向量，,令,y,1,，则平面,ADF,一个法向量为,q,(0,1,，,1),，,设二面角,A,DF,C,平面角为,，,由题中条件可知,(,，,),，,二面角,A,DF,C,大小为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,89/101,12.(,四川,),如图，在四棱锥,P-ABCD,中，,AD,BC,，,ADC,PAB,90,，,BC,CD,AD,.,E,为棱,AD,中点，异面直线,PA,与,CD,所成角为,90.,(1),在平面,PAB,内找一点,M,，使得直线,CM,平面,PBE,，并说明理由；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,90/101,在梯形,ABCD,中，,AB,与,CD,不平行,.,延长,AB,，,DC,，相交于点,M,(,M,平面,PAB,),，,点,M,即为所求一个点,.,理由以下：,由已知，,BC,ED,且,BC,ED,.,所以四边形,BCDE,是平行四边形，,从而,CM,EB,.,又,EB,平面,PBE,，,CM,平面,PBE,，所以,CM,平面,PBE,.,(,说明：延长,AP,至点,N,，使得,AP,PN,，则所找点能够是直线,MN,上任意一点,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,91/101,(2),若二面角,P-CD-A,大小为,45,，求直线,PA,与平面,PCE,所成角正弦值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,92/101,由已知，,CD,PA,，,CD,AD,，,PA,AD,A,，,所以,CD,平面,PAD,.,于是,CD,PD,.,从而,PDA,是二面角,P-CD-A,平面角,.,所以,PDA,45.,由,PAB,90,，,且,PA,与,CD,所成角为,90,，,可得,PA,平面,ABCD,.,设,BC,1,，则在,Rt,PAD,中，,PA,AD,2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,93/101,作,Ay,AD,，以,A,为原点，以,方向分别为,x,轴，,z,轴正方向，建立如图所表示空间直角坐标系,A,xyz,，,则,A,(0,0,0),，,P,(0,0,2),，,C,(2,1,0),，,E,(1,0,0).,所以,(1,0,，,2),，,(1,1,0),，,(0,0,2).,设平面,PCE,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,94/101,设,x,2,，解得,n,(2,，,2,1).,设直线,PA,与平面,PCE,所成角为,，,所以直线,PA,与平面,PCE,所成角正弦值为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,95/101,*13.(,盐城模拟,),如图，边长为,正方形,ADEF,与梯形,ABCD,所在平面相互垂直,.,已知,AB,CD,，,AB,BC,，,DC,BC,AB,1,，点,M,在线段,EC,上,.,(1),证实：平面,BDM,平面,ADEF,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,96/101,DC,BC,1,，,DC,BC,，,BD,，,又,AD,，,AB,2,，,AD,2,BD,2,AB,2,，,ADB,90,，,AD,BD,.,又平面,ADEF,平面,ABCD,，平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,BD,平面,ADEF,，,又,BD,平面,BDM,，,平面,BDM,平面,ADEF,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,97/101,(2),判断点,M,位置，使得平面,BDM,与平面,ABF,所成锐二面角为,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,98/101,在平面,DAB,内过点,D,作,DN,AB,，垂足为,N,，,AB,CD,，,DN,CD,，,又平面,ADEF,平面,ABCD,，,平面,ADEF,平面,ABCD,AD,，,DE,AD,，,ED,平面,ABCD,，,DN,ED,，,以,D,为坐标原点，,DN,所在直线为,x,轴，,DC,所在直线为,y,轴，,DE,所在直线为,z,轴，,建立空间直角坐标系如图所表示,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,99/101,B,(1,1,0),，,C,(0,1,0),，,E,(0,0,，,),，,N,(1,0,0),，,设,M,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),，,(0,1),，,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),(0,1,，,),，,x,0,0,，,y,0,，,z,0,(1,),，,M,(0,，,，,(1,).,设平面,BDM,法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,又,(0,，,，,(1,),，,(1,1,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,100/101,令,x,1,，得,y,1,，,z,，,故,n,1,(1,，,1,，,),是平面,BDM,一个法向量,.,平面,ABF,一个法向量为,(1,0,0),，,点,M,在线段,CE,三等分点且靠近点,C,处,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,101/101,