计算流体力学电子教案.pptx

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算流体力学电子教案,1/54,目录,第一章 绪论,第二章 扩散问题有限体积法,第三章 对流扩散问题有限体积法,第四章 差分格式问题,第五章 压力-速度耦合问题有限体积法,第六章 有限体积法离散方程解法,第七章 非稳态流动问题有限体积法,第八章 边界条件处理,2/54,第二章 扩散问题有限体积法,2-1一维稳态扩散问题,FVM,计算格式,2-2 多维稳态扩散问题,FVM,求解,3/54,预备知识：高斯公式(奥氏公式）,或：,写出一维条件下奥氏公式,4/54,通用变量方程,瞬态扩散方程,稳态扩散方程,瞬态对流扩散方程,稳态对流扩散方程,压力速度耦合方程,非定常项 对流项 扩散项 源项,5/54,2-1 一维稳态扩散问题,FVM,计算格式,由通用变量方程得稳态扩散方程为：,2-1-1一维稳态扩散方程,将上式按张量运算法则展开得：,由上式得一维条件下稳态扩散方程：,上式中,为通用变量，可为温度、速度等变量；为扩散系数或粘性系数，,S,为源项。,6/54,2-1-2 求解一维稳态扩散问题步骤,第一步 生成离散网格,第二步 由控制方程(积分形式)形成离散方程组,第三步 求解方程组,7/54,第一步：生成离散网格,控制体划分,（先划分控制体后定节点,节点在控制体中心）,8/54,相关尺寸定义,（约定：大写字母代表节点，小写字母代表边界。）,9/54,第二步：由控制方程(积分形式)形成离散方程组,一维稳态扩散控制方程为：,将此控制方程在某控制体上积分:,则由奥氏公式或高斯散度定理有：,10/54,式中,，,控制体体积为,V,，全部表面积为,A，,源项在控制体中平均值为,S,上式有明确物理意义：场变量净增扩散量（即自西侧界面流入扩散流量减去东侧界面流出扩散流量）等于源项产生扩散流量。,11/54,积分方程中下标,e、w,表示控制体界面（不是节点处,）,，意味着我们需要知道扩散系数,_,和场变量 梯度在控制体东西,边界,上值,。,这些值可由,节点,处值插值得到,。,若采取线性插值,(,近似处理),，,对于均匀网格有：,12/54,同理,，,有：,于是,，,经过界面扩散流量为,13/54,接下来处理源项,，,源项可能为常数,，,也可能为场变量函数,，,对其进行线性化处理,，,得：,将以上三式代入积分后控制方程（即下式）中,14/54,将上式按场变量节点值进行整理,，,得：,令,得离散方程：,对于每一个节点（控制体）都可建立一个离散方程,，,全部节点离散方程组成一个方程组,。,15/54,由上式形成方程组是三元一次线性方程组,，,该方程特点是含有三条对角线,，,故称为三对角线性方程,。,当前可暂用,matlab,中,Ab,语句求解（高斯消元法）,。,下面用两个例题说明有限体积法怎样求一维稳态扩散问题,。,第三步：解方程组,16/54,例2,.1,用有限体积法求解无热源一维稳态导热问题图示绝热棒长0.5,m，,截面积,A=10,-2,m,2,，,左右端温度保持为,T,A,=100C，T,B,=500C。,棒材料导热系数,k=1000W/(m K)。,求绝热棒在稳定状态下温度分布,。,17/54,解：本问题控制微分方程为,可将此式与（2-1）式比较,可采取三步求解方法,。,第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元,（本问题有解析解,）,18/54,第二步：结构离散方程,对求解域中2,、3、4,节点应用离散方程(2-8),因,故有：,式中：,由此得到3个方程,19/54,对于2号控制体,对于3号控制体,对于4号控制体,5个未知数,，3,个方程,。,可见不引入边界条件是没法求解,20/54,对求解域中边界节点1,、5,离散方程需作特殊处理,。,方法依然是对微分方程在边界控制体内积分,。,微分方程为：,上式在左边界控制体上积分,，,得：,即,在上述过程中有一假定：认为,A,点温度梯度,dT/dx,与,A,点和1点温度线性相关,21/54,将（2-12）式按节点温度整理得：,将上式与,（2-8）,式对照,可知,，,边界条件能够转化成源项进入控制容积积分方程,。,即左边界离散方程能够写成：,式中,22/54,同理可对右边界控制体进行处理,，,得,式中,式中,23/54,依据以上过程能够得到左右边界控制体离散方程：,右端控制体,左端控制体,T,A,=100C，T,B,=500C,24/54,第三步 解线性方程组,本问题解析解为,：T=800 x+100,25/54,26/54,例2,.2,用有限体积法求解有内热源一维稳态导热问题图示厚度为,L=2cm,无限大平板,，,导热系数,k=0.5W/(m K)，,板内有,均匀,内热源,q=1000kW/m,3,表面温度,A、B,分别保持为,T,A,=100C，T,B,=200C。,求板内,x,向温度分布,。,27/54,解：因为板在,y、z,方向为无限大,，,所以可作为一维问题处理,，,即只考虑,x,方向,。,相对于无源问题,，,控制方程中增加了源项,。,即,第一步：生成离散网格（先控制体后节点）,生成5个单元,28/54,第二步：结构离散方程,方法一：能够直接套用公式(2-8),，,但边界节点需特殊处理。,式中,注：,方法二：也可经过对控制方程积分推导出离散方程,，,同例2,.1,过程，以下用方法求离散方程,。,29/54,30/54,因为,有,31/54,厚度,L=2cm，,导热系数,k=0.5W/(m K)，,板内,均匀,内热源,q=1000kW/m3,表面温度,A、B,分别保持为,T,A,=100C，T,B,=200C。,求板内,x,向温度分布,。,由,得控制体,2,、,3,、,4,、,1,、,5,离散方程为,32/54,33/54,34/54,（打一4个字母英文单词）,35/54,2-2 多维稳态扩散问题,FVM,求解,2-2-1二维稳态扩散问题有限体积法,第一步：生成离散网格,36/54,由通用变量方程得稳态扩散方程为：,将上式按张量运算法则展开得：,由上式得二维条件下稳态扩散方程：,下面，对上式在控制体上进行积分,第二步：结构离散方程,37/54,控制微分方程在控制体上积分：,应用高斯散度定理：,式中：,S,为控制体表面,，,、,为,S,上任一微小表面外法线与,xyz,轴夹角,积分上式得：,38/54,用线性插值方法,，,可将上式第一四项中偏导数表示为：,39/54,将以上四项表示式代入积分方程,，,得：,并对源项进行线性化处理,，,即：,整理得：,写成通用形式,40/54,通用离散方程:,式中：,第三步：求解离散方程组,以下以一个例子说明二维稳态扩散问题有限体积法求解,41/54,例2.3如图所表示二维受热平板，板厚1,cm，,材料热传导系数,k=1000W/(m.K)，,西侧,边界,有稳定热流输入,，,热流强度,q=500kW/m,2,。,东侧和南侧边界绝热,，,北侧边界保持常值温度,T,N,=100C。,求板内温度分布,。（,注意本题中,q,量纲与例2-2中,q,不一样,）,42/54,解：划分网格如图,，,x=y=0.1m,。,控制微分方程为：,离散方程：,上式中：,以上离散方程式能够处理6、7控制体。,对于边界控制体不能直接处理。,43/54,对于控制体6、7有：,对于边界控制体，可由控制积分方,程得到离散方程。,以下以第4控制体为例，说明离散方程建立过程。,先介绍传热问题中一个定律。,44/54,傅立叶定律,：热传导速率与温度梯度以及垂直于热流方向表面积成正比。,式中,d,Q,热传导速率，,W,或,J/s；,dA,等温表面面积，,m,2,；,温度梯度，/,m,或,K/m；,l,导热系数，,W/(m,),或,W/(m,K)。,负号表示热流方向与温度梯度方向相反。,数学表示式:,由上式得:,（可见热流强度,q,单位为,W/m,2,。）,45/54,在研究区域内无热源，,S=0,，故有：,由傅立叶定律,又:,46/54,整理得离散方程：,同理得其它边界控制体离散方程（对于绝热边界,q=0）,。这些方程组成了一个线性方程组。解之,，,得,板内温度分布,。,47/54,48/54,从计算结果能够看出温度分布有什么特点？,49/54,%本程序用于绘制李人宪,有限体积法,p26,例2.3等温线,x=0.05 0.05 0.05 0.05 0.15 0.15 0.15 0.15 0.25 0.25 0.25 0.25;y=0.05 0.15 0.25 0.35 0.05 0.15 0.25 0.35 0.05 0.15 0.25 0.35;T=260 242.2 205.6 146.3 222.7 211.1 178.1 129.7 212.1 196.5 166.2 124;lx=0:0.01:0.3;ly=0:0.01:0.4;X,Y=meshgrid(lx,ly);Z=griddata(x,y,T,X,Y);cs,h=contour(X,Y,Z,110:10:270,b-);clabel(cs,h,manual);,matlab,程序,50/54,2-2-2三维稳态扩散问题有限体积法,三维稳态扩散问题微分控制方程：,51/54,在三维控制体内对方程积分，,应用高斯公式，有：,对偏导项进行近似处理，如,（只有对内部控制体才如此）,52/54,式中：,由此可得离散方程：,53/54,本章内容结束,本章习题：,P34 2-1,，,2-2，2-5,54/54,