资源描述
11.1,随机事件概率,1/63,基础知识自主学习,课时训练,题型分类深度剖析,内容索引,2/63,基础知识自主学习,3/63,1.,概率和频率,(1),在相同条件,S,下重复,n,次试验，观察某一事件,A,是否出现，称,n,次试验中事件,A,出现次数,n,A,为事件,A,出现,，称事件,A,出现百分比,f,n,(,A,),为事件,A,出现,.,(2),对于给定随机事件,A,，在相同条件下，伴随试验次数增加，事件,A,发生,会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们能够用这个常数来刻画随机事件,A,发生可能性大小，并把这个,称为随机事件,A,概率，记作,P,(,A,).,知识梳理,频率,频数,频率,常数,4/63,2.,事件关系与运算,定义,符号表示,包含关系,假如事件A发生，则事件B一定发生，这时称事,件B 事件A(或称事件A包含于事件B),(,或,A,B,),相等关系,若,B,A,且,A,B,_,并事件,(,和事件,),若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，,称此事件为事件A与事件B (或和事件),A,B,(,或,A,B,),包含,B,A,A,B,并事件,5/63,交事件,(,积事件,),若某事件发生当且仅当 且 ，,则称此事件为事件A与事件B (或积事件),A,B,(,或,AB,),互斥事件,若,A,B,为不可能事件,(,A,B,),，那么称事件,A,与事件,B,互斥,A,B,对立事件,若AB为不可能事件，AB为必定事件，,那么称事件A与事件B_,_,事件,A,发生,事件,B,发生,交事件,互为对立事件,P,(,A,),P,(,B,),1,6/63,3.,概率几个基本性质,(1),概率取值范围：,.,(2),必定事件概率,P,(,E,),.,(3),不可能事件概率,P,(,F,),.,(4),概率加法公式,假如事件,A,与事件,B,互斥，则,P,(,A,B,),.,(5),对立事件概率,若事件,A,与事件,B,互为对立事件，则,P,(,A,),.,0,P,(,A,),1,1,0,P,(,A,),P,(,B,),1,P,(,B,),7/63,知识拓展,互斥事件与对立事件区分与联络,互斥事件与对立事件都是两个事件关系，互斥事件是不可能同时发生两个事件，而对立事件除要求这两个事件不一样时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，所以，对立事件是互斥事件特殊情况，而互斥事件未必是对立事件,.,8/63,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),事件发生频率与概率是相同,.(,),(2),随机事件和随机试验是一回事,.(,),(3),在大量重复试验中，概率是频率稳定值,.(,),(4),两个事件和事件是指两个事件都得发生,.(,),(5),对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件,.(,),(6),两互斥事件概率和为,1.(,),思索辨析,9/63,考点自测,1.,从,1,2,3,4,5,中随机选取一个数,a,，从,1,2,3,中随机选取一个数,b,，则,b,a,概率是,答案,解析,10/63,2.(,教材改编,),将一枚硬币向上抛掷,10,次，其中,“,正面向上恰有,5,次,”,是,A.,必定事件,B.,随机事件,C.,不可能事件,D.,无法确定,抛掷,10,次硬币正面向上次数可能为,0,10,，都有可能发生，正面向上,5,次是随机事件,.,答案,解析,11/63,3.,某射手在一次射击中，射中,10,环，,9,环，,8,环概率分别为,0.2,0.3,0.1,，则此射手在一次射击中不超出,8,环概率为,A.0.5 B.0.3 C.0.6 D.0.9,依题设知，此射手在一次射击中不超出,8,环概率为,1,(0.2,0.3),0.5.,答案,解析,12/63,4.(,教材改编,),袋中装有,9,个白球，,2,个红球，从中任取,3,个球，则,恰有,1,个红球和全是白球；,最少有,1,个红球和全是白球；,最少有,1,个红球和最少有,2,个白球；,最少有,1,个白球和最少有,1,个红球,.,在上述事件中，是对立事件为,_.,是互斥不对立事件，,是对立事件，,不是互斥事件,.,答案,解析,13/63,题型分类深度剖析,14/63,题型一事件关系判断,例,1,(1),从,1,2,3,，,，,7,这,7,个数中任取两个数，其中：,恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；,最少有一个是奇数和两个都是奇数；,最少有一个是奇数和两个都是偶数；,最少有一个是奇数和最少有一个是偶数,.,上述事件中，是对立事件是,A.,B.,C.,D.,答案,解析,15/63,中,“,最少有一个是奇数,”,即,“,两个奇数或一奇一偶,”,，而从,1,7,中任取两个数依据取到数奇偶性可认为共有三个事件：,“,两个都是奇数,”,、,“,一奇一偶,”,、,“,两个都是偶数,”,，故,“,最少有一个是奇数,”,与,“,两个都是偶数,”,是对立事件，易知其余都不是对立事件,.,16/63,(2),设条件甲：,“,事件,A,与事件,B,是对立事件,”,，结论乙：,“,概率满足,P,(,A,),P,(,B,),1,”,，则甲是乙,A.,充分无须要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也无须要条件,答案,解析,若事件,A,与事件,B,是对立事件，则,A,B,为必定事件，再由概率加法公式得,P,(,A,),P,(,B,),1.,设掷一枚硬币,3,次，事件,A,：,“,最少出现一次正面,”,，,17/63,(3),在,5,张电话卡中，有,3,张移动卡和,2,张联通卡，从中任取,2,张，若事件,“,2,张全是移动卡,”,概率是,，那么概率是,事件是,A.,至多有一张移动卡,B.,恰有一张移动卡,C.,都不是移动卡,D.,最少有一张移动卡,答案,解析,至多有一张移动卡包含,“,一张移动卡，一张联通卡,”,，,“,两张全是联通卡,”,两个事件，它是,“,2,张全是移动卡,”,对立事件,.,18/63,(1),准确把握互斥事件与对立事件概念,互斥事件是不可能同时发生事件，但能够同时不发生,.,对立事件是特殊互斥事件，特殊在对立两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生,.,(2),判别互斥、对立事件方法,判别互斥事件、对立事件普通用定义判断，不可能同时发生两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件,.,思维升华,19/63,跟踪训练,1,从装有两个白球和两个黄球口袋中任取,2,个球，以下给出了四组事件：,最少有,1,个白球与最少有,1,个黄球；,最少有,1,个黄球与都是黄球；,恰有,1,个白球与恰有,1,个黄球；,恰有,1,个白球与都是黄球,.,其中互斥而不对立事件共有,A.0,组,B.1,组,C.2,组,D.3,组,答案,解析,20/63,中,“,最少有,1,个白球,”,与,“,最少有,1,个黄球,”,能够同时发生，如恰好,1,个白球和,1,个黄球，,中两个事件不是互斥事件,.,中,“,最少有,1,个黄球,”,说明能够是,1,个白球和,1,个黄球或,2,个黄球，则两个事件不互斥,.,中,“,恰有,1,个白球,”,与,“,恰有,1,个黄球,”,，都是指有,1,个白球和,1,个黄球，所以两个事件是同一事件,.,中两事件不能同时发生，也可能都不发生，所以两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选,B.,21/63,题型二随机事件频率与概率,例,2,(,全国甲卷,),某险种基本保费为,a,(,单位：元,),，继续购置该险种投保人称为续保人，续保人本年度保费与其上年度出险次数关联以下：,上年度出险次数,0,1,2,3,4,5,保费,0.85,a,a,1.25,a,1.5,a,1.75,a,2,a,随机调查了该险种,200,名续保人在一年内出险情况，得到以下统计表：,出险次数,0,1,2,3,4,5,频数,60,50,30,30,20,10,22/63,(1),记,A,为事件：,“,一续保人本年度保费不高于基本保费,”,，求,P,(,A,),预计值；,解答,(2),记,B,为事件：,“,一续保人本年度保费高于基本保费但不高于基本保费,160%,”,，求,P,(,B,),预计值；,解答,23/63,(3),求续保人本年度平均保费预计值,.,解答,由所给数据得,调查,200,名续保人平均保费为,0.85,a,0.30,a,0.25,1.25,a,0.15,1.5,a,0.15,1.75,a,0.10,2,a,0.05,1.192 5,a,.,所以，续保人本年度平均保费预计值为,1.192 5,a,.,24/63,思维升华,(1),概率与频率关系,频率反应了一个随机事件出现频繁程度，频率是随机，而概率是一个确定值，通惯用概率来反应随机事件发生可能性大小，有时也用频率作为随机事件概率预计值,.,(2),随机事件概率求法,利用概率统计定义求事件概率，即经过大量重复试验，事件发生频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率,.,25/63,跟踪训练,2,(,北京,),某超市随机选取,1 000,位用户，统计了他们购置甲、乙、丙、丁四种商品情况，整理成以下统计表，其中,“”,表示购置，,“”,表示未购置,.,商品,用户人数,甲,乙,丙,丁,100,217,200,300,85,98,26/63,(1),预计用户同时购置乙和丙概率；,从统计表能够看出，在这,1 000,位用户中有,200,位用户同时购置了乙和丙，,解答,(2),预计用户在甲、乙、丙、丁中同时购置,3,种商品概率；,从统计表能够看出，在这,1 000,位用户中，有,100,位用户同时购置了甲、丙、丁，另有,200,位用户同时购置了甲、乙、丙，其它用户最多购置了,2,种商品,.,解答,27/63,(3),假如用户购置了甲，则该用户同时购置乙、丙、丁中哪种商品可能性最大？,解答,所以，假如用户购置了甲，则该用户同时购置丙可能性最大,.,28/63,题型三互斥事件、对立事件概率,命题点,1,互斥事件概率,例,3,袋中有,12,个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球概率是,，得到黑球或黄球概率是,，得到黄球或绿球概率也是,，试求得到黑球、黄球和绿球概率各是多少？,解答,29/63,方法一,从袋中选取一个球，记事件,“,摸到红球,”“,摸到黑球,”“,摸到黄球,”“,摸到绿球,”,分别为,A,，,B,，,C,，,D,，则有,30/63,又总球数是,12,，所以绿球有,12,4,5,3(,个,).,而绿球有,3,个，所以黄球有,5,3,2(,个,).,所以黑球有,12,4,3,2,3(,个,).,31/63,命题点,2,对立事件概率,例,4,某商场有奖销售中，购满,100,元商品得,1,张奖券，多购多得,.1 000,张奖券为一个开奖单位，设特等奖,1,个，一等奖,10,个，二等奖,50,个,.,设,1,张奖券中特等奖，一等奖，二等奖事件分别为,A,，,B,，,C,，求：,(1),P,(,A,),，,P,(,B,),，,P,(,C,),；,解答,32/63,(2)1,张奖券中奖概率；,解答,1,张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖,.,设,“,1,张奖券中奖,”,这个事件为,M,，则,M,A,B,C,.,A,，,B,，,C,两两互斥，,33/63,(3)1,张奖券不中特等奖且不中一等奖概率,.,解答,设,“,1,张奖券不中特等奖且不中一等奖,”,为事件,N,，则事件,N,与,“,1,张奖券中特等奖或中一等奖,”,为对立事件，,34/63,求复杂事件概率两种方法,求概率关键是分清所求事件是由哪些事件组成，求解时通常有两种方法：,(1),将所求事件转化成几个彼此互斥事件和事件，利用概率加法公式求解概率；,(2),若将一个较复杂事件转化为几个互斥事件和事件时，需要分类太多，而其对立面分类较少，可考虑利用对立事件概率公式，即,“,正难则反,”.,它惯用来求,“,最少,”,或,“,至多,”,型事件概率,.,思维升华,35/63,跟踪训练,3,经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候人数对应概率以下：,排队人数,0,1,2,3,4,5,人及,5,人以上,概率,0.1,0.16,0.3,0.3,0.1,0.04,求：,(1),至多,2,人排队等候概率；,解答,36/63,解答,记,“,无人排队等候,”,为事件,A,，,“,1,人排队等候,”,为事件,B,，,“,2,人排队等候,”,为事件,C,，,“,3,人排队等候,”,为事件,D,，,“,4,人排队等候,”,为事件,E,，,“,5,人及,5,人以上排队等候,”,为事件,F,，则事件,A,、,B,、,C,、,D,、,E,、,F,彼此互斥,.,记,“,至多,2,人排队等候,”,为事件,G,，则,G,A,B,C,，,所以,P,(,G,),P,(,A,B,C,),P,(,A,),P,(,B,),P,(,C,),0.1,0.16,0.3,0.56.,37/63,(2),最少,3,人排队等候概率,.,解答,方法一,记,“,最少,3,人排队等候,”,为事件,H,，,则,H,D,E,F,，,所以,P,(,H,),P,(,D,E,F,),P,(,D,),P,(,E,),P,(,F,),0.3,0.1,0.04,0.44.,方法二,记,“,最少,3,人排队等候,”,为事件,H,，,则其对立事件为事件,G,，,所以,P,(,H,),1,P,(,G,),0.44.,38/63,典例,(15,分,),某超市为了了解用户购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机搜集了在该超市购物,100,位用户相关数据，以下表所表示,.,用正难则反思想求互斥事件概率,思想与方法系列,26,一次购物量,1,至,4,件,5,至,8,件,9,至,12,件,13,至,16,件,17,件及以上,用户数(人),x,30,25,y,10,结算时间,(,分钟,/,人,),1,1.5,2,2.5,3,已知这,100,位用户中一次购物量超出,8,件用户占,55%.,(1),确定,x,，,y,值，并预计用户一次购物结算时间平均值；,(2),求一位用户一次购物结算时间不超出,2,分钟概率,.(,将频率视为概率,),规范解答,思想方法指导,.,39/63,若某一事件包含基本事件多，而它对立事件包含基本事件少，则可用,“,正难则反,”,思想求解,.,返回,40/63,解,(1),由已知得,25,y,10,55,，,x,30,45,，,所以,x,15,，,y,20.,2,分,该超市全部用户一次购物结算时间组成一个总体，所搜集,100,位用户一次购物结算时间可视为总体一个容量为,100,简单随机样本，用户一次购物结算时间平均值可用样本平均数预计，其预计值为,(2),记,A,为事件,“,一位用户一次购物结算时间不超出,2,分钟,”,，,A,1,，,A,2,分别表示事件,“,该用户一次购物结算时间为,2.5,分钟,”,，,“,该用户一,41/63,次购物结算时间为,3,分钟,”,，,返回,42/63,课时训练,43/63,1.(,天津,),甲、乙两人下棋，两人下成和棋概率是,，甲获胜概率是,，则甲不输概率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,44/63,2.(,教材改编,),袋中装有,3,个白球，,4,个黑球，从中任取,3,个球，则,恰有,1,个白球和全是白球；,最少有,1,个白球和全是黑球；,最少有,1,个白球和最少有,2,个白球；,最少有,1,个白球和最少有,1,个黑球,.,在上述事件中，是对立事件为,A.,B.,C.,D.,答案,解析,最少有,1,个白球和全是黑球不一样时发生，且一定有一个发生,.,中两事件是对立事件,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/63,3.(,临安中学模拟,),从一箱产品中随机地抽取一件，设事件,A,抽到一等品,，事件,B,抽到二等品,，事件,C,抽到三等品,，且已知,P,(,A,),0.65,，,P,(,B,),0.2,，,P,(,C,),0.1,，则事件,“,抽到产品不是一等品,”,概率为,A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.5,答案,解析,“,抽到产品不是一等品,”,与事件,A,是对立事件，,所求概率,P,1,P,(,A,),0.35.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/63,因为每人一个方向，故,“,甲向南,”,意味着,“,乙向南,”,是不可能，故是互斥事件，但不是对立事件，故选,A.,4.(,杭州模拟,),有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向,.,事件,“,甲向南,”,与事件,“,乙向南,”,是,A.,互斥但非对立事件,B.,对立事件,C.,相互独立事件,D.,以上都不对,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/63,5.(,蚌埠模拟,),从一篮子鸡蛋中任取,1,个，假如其重量小于,30,克概率为,0.3,，重量在,30,40,克概率为,0.5,，那么重量大于,30,克概率为,A.0.8 B.0.5 C.0.7 D.0.3,由互斥事件概率公式知重量大于,40,克概率为,1,0.3,0.5,0.2,，,又,0.5,0.2,0.7,，,重量大于,30,克概率为,0.7.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/63,6.,从存放号码分别为,1,2,3,，,，,10,卡片盒子中，有放回地取,100,次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果以下：,卡片号码,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,取到次数,13,8,5,7,6,13,18,10,11,9,则取到号码为奇数卡片频率是,A.0.53 B.0.5 C.0.47 D.0.37,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/63,7.,在,200,件产品中，有,192,件一级品，,8,件二级品，则以下事件：,在这,200,件产品中任意选出,9,件，全部是一级品；,在这,200,件产品中任意选出,9,件，全部是二级品；,在这,200,件产品中任意选出,9,件，不全是二级品,.,其中,_,是必定事件；,_,是不可能事件；,_,是随机事件,.,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/63,8.,若随机事件,A,，,B,互斥，,A,，,B,发生概率均不等于,0,，且,P,(,A,),2,a,，,P,(,B,),4,a,5,，则实数,a,取值范围是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/63,9.,在,5,张卡片上分别写有数字,1,2,3,4,5,，然后将它们混合，再任意排列,成一行，则得到数能被,2,或,5,整除概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/63,10.(,江苏苏州五中期中,),一个口袋内装有大小相同红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球概率为,0.58,，摸出红球或黑球概率为,0.62,，那么摸出红球概率为,_.,答案,解析,0.2,记事件,A,，,B,，,C,分别是摸出红球，白球和黑球，则,A,，,B,，,C,互为互斥事件且,P,(,A,B,),0.58,，,P,(,A,C,),0.62,，所以,P,(,C,),1,P,(,A,B,),0.42,，,P,(,B,),1,P,(,A,C,),0.38,，,P,(,A,),1,P,(,C,),P,(,B,),1,0.38,0.42,0.2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/63,11.,某保险企业利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车赔付结果统计以下：,赔付金额,(,元,),0,1 000,2 000,3 000,4 000,车辆数,(,辆,),500,130,100,150,120,(1),若每辆车投保金额均为,2 800,元，预计赔付金额大于投保金额概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/63,设,A,表示事件,“,赔付金额为,3 000,元,”,，,B,表示事件,“,赔付金额为,4 000,元,”,，以频率预计概率得,因为投保金额为,2 800,元，赔付金额大于投保金额对应情形是赔付金额为,3 000,元和,4 000,元，所以其概率为,P,(,A,),P,(,B,),0.15,0.12,0.27.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/63,设,C,表示事件,“,投保车辆中新司机获赔,4 000,元,”,，由已知，样本车辆中车主为新司机有,0.1,1 000,100(,辆,),，而赔付金额为,4 000,元车辆中，车主为新司机有,0.2,120,24(,辆,),，,由频率预计概率得,P,(,C,),0.24.,(2),在样本车辆中，车主是新司机占,10%,，在赔付金额为,4 000,元样本车辆中，车主是新司机占,20%,，预计在已投保车辆中，新司机获赔金额为,4 000,元概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,56/63,12.,国家射击队队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中,7,10,环概率以下表所表示：,命中环数,10,环,9,环,8,环,7,环,概率,0.32,0.28,0.18,0.12,求该射击队员射击一次：,(1),射中,9,环或,10,环概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/63,记事件,“,射击一次，命中,k,环,”,为,A,k,(,k,N,，,k,10),，则事件,A,k,之间彼此互斥,.,记,“,射击一次，射中,9,环或,10,环,”,为事件,A,，那么当,A,9,，,A,10,之一发生时，事件,A,发生，由互斥事件加法公式得,P,(,A,),P,(,A,9,),P,(,A,10,),0.28,0.32,0.6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/63,(2),命中不足,8,环概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,所以，射击一次，命中不足,8,环概率为,0.22.,又,B,A,8,A,9,A,10,，由互斥事件概率加法公式得,P,(,B,),P,(,A,8,),P,(,A,9,),P,(,A,10,),0.18,0.28,0.32,0.78.,59/63,*13.,一盒中装有,12,个球，其中,5,个红球，,4,个黑球，,2,个白球，,1,个绿球,.,从中随机取出,1,球，求：,(1),取出,1,球是红球或黑球概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/63,方法一,(,利用互斥事件求概率,),记事件,A,1,任取,1,球为红球,，,A,2,任取,1,球为黑球,，,A,3,任取,1,球为白球,，,A,4,任取,1,球为绿球,，,依据题意知，事件,A,1,，,A,2,，,A,3,，,A,4,彼此互斥，由互斥事件概率公式，得,(1),取出,1,球为红球或黑球概率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/63,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法二,(,利用对立事件求概率,),由方法一知，取出,1,球为红球或黑球对立事件为取出,1,球为白球或绿球，即,A,1,A,2,对立事件为,A,3,A,4,，所以取出,1,球为红球或黑球概率为,62/63,(2),取出,1,球是红球或黑球或白球概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,方法一,取出,1,球为红球或黑球或白球概率为,方法二,因为,A,1,A,2,A,3,对立事件为,A,4,，,63/63,
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