学习困难及思维方法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学学习困难与数学思维方法,石家庄学院 数信系,刘学军,数学学习困难,一个数学教师回避不了的问题！,学习困难现象在各个年龄阶段都有一个相当稳定的比例，这个比例大致保持在,10,左右。,而在某一学科或多个学科的学习中有困难的学生表现更明显，其比例也更高。国外报道为13，,国内杭州地区达到17。,这当中以数学学科领域的学习困难表现尤为突出。,数学学习困难学生的学习表现,1.基本概念、定理模糊不清。,不能正确地用数学语言再现概念，不能说明概念的体系，概念与概念之间容易混淆，一般思维能力、语言表达能力及空间想象能力都比较低。,2.学习效率低。,课上不能集中注意力，缺乏积极思考和主动参与的意识。学习重结果，轻过程。在课后不善于归纳、整理知识，不及时复习巩固所学的新知识。,3.学习能力差。,找不出问题的重点和难点，分不清楚掌握了或没掌握哪些内容，不能运用学过的相关知识解决问题，读书被动，无自觉性，阅读程度慢且易受外界干扰，思维起点低，速度慢，容量小。,4.学不得法。,没有把握学习的主动权，对知识不注重理解，而是一味地死记硬背，机械模仿。在学习上没有明确日标和计划，缺少恒心和信心。,5.作业不能独立完成。,不乐意弄清所学的内容、马虎应付，遇难不究，抄袭了事，不能说明解题的依据，不能说出作业是哪些知识点的运用，也不想寻根问底。解题时不遵循一定的步骤，解答不规范，解题过程缺乏逻辑性、不能正确灵话地运用定理、公式.或死搬硬套，更不能自我更正。,6.不重视考试，缺乏竞争意识。,考试前不认真复习、马虎应付，对考试缺乏信心，考场上“临时发挥”。,一、,数学学习困难的界定,1.,学习困难,指智力基本正常的学龄儿童学业成绩明显落后的一类综合征。,2.学习困难（learning difficulty）概念不一致：,学习无能（learning disability）、,学习障碍（learning disorder）,或学习技能发育障碍（academic skill development disorder）等名词常与学习困难通用。,数学学习困难主要表现,为计算错误、运算法则混乱、阅读和书写困难、问题解决能力较差以及空间组织困难等等，其中,数学问题解决能力较差表现尤为突出。,二、数学学习困难的心理分析,围绕问题解决，按照数学问题解决的思维进程和阶段性分析、探讨产生数学学习困难的心理原因。,(一)学习动机不足,任何活动都是由动机激发并维持的，学习动机是进行学习的直接动力和有效保证，同时也是影响学生数学学习效果的重要因素。,研究发现：,1、学习成绩的提高只有在认知和元认知策略与动机的结合使用下才能取得。,这说明：数学学习困难学生由于自身缺乏学习数学的动机，再怎样有效的解题方法策略对他们也是无济于事。,2、学习成绩不同的儿童在学习动机的表现上也各不相同：,数学学习困难的学生在学习动机上表现为动机不足、不稳定、持续时间短，且多为外部动机；而学习成绩优秀的儿童有稳定的学习动机，且多为对数学本身的内部动机。,3、缺少学习动机数学学习困难成就感和自我效能感缺乏自信心数学学习困难,恶性循环。,因此，数学学习动机的缺乏就会导致学生在学习数学上的困难，动机不足是学生数学学习困难的一个重要原因。,表现在具体学习中：,有困难看书不懂，答题不会，,毅力欠缺的学生产生了畏难感，怕数学，烦数学越不想学成绩就越差越差就越不想学。,心理学研究表明，当学生的心理处于压抑、不满、失去信心时将直接阻碍、削弱甚至中断智力活动，破坏学习的动力。,数学学习困难学生大都缺乏数学学习的兴趣、热情和主动性，敏感、自卑、自暴自弃是他们的共同心理。而我们的教育教学活动在现有教学模式下，很难做到因人施教，很难把注意力投向学生的情感培养上。,有关研究显示：智力因素对学习成绩的贡献率为22%，而非智力因素对学习成绩的贡献率为59%。,(二)数学问题表征能力较差,数学问题解决能力差是学业不良学生表现最为明显的一个方面。数学问题本身也最能体现数学的精髓，因此，,衡量学生的数学水平，可从数学问题的解决入手，并以此作为评价标准。,研究表明：,建构一个恰当的问题表征是数学问题解决关键环节。正确的表征是解决问题的必要前提，在错误的或者不完整的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解。,内部表征能力,被认为是影响学生解决数学问题的重要因素之一。,研究结论：,1、学生的数学表征能力，尤其是空间表象能力与数学成绩之间呈正相关：,学习困难儿童在解决数学问题时，由于没有能够形成有效的数学表征，对抽象的数学材料就难以理解；,而一些,数学成绩较好的学生,，在解决数学问题时，能够把抽象的数学符号转化为形象的表征系统，以更具操作性和复杂关系的形式对信息进行编码和处理。,2、学习困难学生与学习成绩优秀学生,的存贮能力相差很大。,没有相应的表征存贮能力，在头脑中就难以对数学问题进行完整有效的加工，自然也就难以取得良好的问题解决效果。,数学学习较差的学生往往难以摆脱问题的具体内容，难以把问题的各种数学成分联系起来,。,也就是说学习困难学生仅仅是对数学问题进行零散加工和表面表征，难以对问题形成实质表征和理解。,3、不同的表征方式会产生不同的结果：,空间形象表征会有利于数学问题的解决；而使用表面图片表征则不会对问题解决产生促进作用。,一些学生对采取何种数学符号表征没有足够的、有效的经验或策略，因此就采取一种最为简易的方式线性方式进行表征，而这种方式与数学问题的成功解决成负相关。,学习困难学生的空间形象表征能力不足，问题表征方式非常单一，惯于采用线性化方式理解问题，从而缺乏解决问题的有效性。,所有这些都充分说明：,数学问题表征能力较差或者缺乏适当的问题表征方式,是数学学习困难的,最为明显和,重要原因。,3、“知识断层”,有些学生一般只对结论感兴趣，但对通过观察、推导、找出数量之间的内在联系，揭示他们的共同属性，抽象概括出数学规律，概念等一系列思维过程不能引起重视，不愿参与探讨过程。这种心理防碍了学生形成知识系统结构，同时，没有通过自己努力而获得的结论终究不会形成牢固的知识概念。因而在使用知识时往往会出现,“知识断层”,现象。,(三)缺少灵活的解题策略,研究发现：,数学问题解决的成功与否，与学生的解题策略有很大的关系。,在数学学习上，学习困难学生采用相对无效策略或完全不使用策略；与其他学生相比，他们往往表现为缺乏适当的解题步骤和规则系统，不能区分相关的数量关系，不能正确理解题意和选择适当的认知策略和操作等。,许多数学学习困难学生往往相信只有唯一正确答案或唯一的解答方式。缺乏解题策略是学生不能正确解决较复杂应用题的重要原因。,数学成绩优秀的学生在分析和检验阶段用时较多，在计算和阅读阶段用时少；而学习困难学生则正好相反。,长期以来，不少学者尝试着通过对学生进行专门的数学思维方法的学习、解题思维的训练，或结合应用题教学开展思维策略训练，来提高学生的解题水平和数学成绩。,(四)元认知水平较低,元认知就是对认知的认知，具体地说，是关于个人自己认知过程的知识和监控、调节这些过程的能力。(Flavell),元认知的实质是对认知活动的自我意识和自我调节。,元认知包括,元认知知识和元认知控制,。,元认知知识包括：,(1),有关个人作为学习者的知识。,可再分为三类：,关于个体内差异的认识,(比如，正确地认识自己的兴趣、爱好、学习习惯、能力及其限度，以及如何克服自己在认知方面存在的不足等)；,关于个体间差异的认知,(比如，知道人与人之间在认知方面以及其他方面存在的种种差异)；,关于主体认知水平和影响认知活动的各种主体因素的认识,(比如，知道记忆、理解有不同的水平、知道注意在认知活动中的重要性、知道人的认知能力可以改变)。,(2)有关任务的知识。,在有关认知材料方面，主体对材料的性质、材料的长度、材料的熟悉性、材料的结构特点、材料的呈现方式、材料的逻辑性等因素的认识，都会影响我们的认知活动的进行和结果。,(3)有关学习策略及其使用方面的知识。,比如，进行认知活动有哪些策略、各种认知策略的优点和不足是什么、它们应用的条件和情境如何、对于不同的认知活动和不同的认知任务，什么样的策略可能是有效的等等。,2、元认知控制,元认知控制是对认知行为的管理和控制，是主体在进行认知活动的全过程中，将自己,正在进行的认知活动作为意识对象,，不断地对其进行积极、自觉的监视、控制和调节。,元认知控制包括：,(1),计划,即根据认知活动的特定目标，在一项认知活动之前计划各种活动，预计结果、选择策略，想象出各种解决问题的方法，并预估其有效性；,(2),监视,，,即在认知活动进行的实际过程中，根据认知目标及时评价、反馈认知活动的结果与不足，正确估计自己达到认知目标的程度、水平；根据有效性标准评价各种认知行动、策略的效果；,(3),调节,，,即根据对认知活动结果的检查，如发现问题，则采取相应的补救措施，根据对认知策略的效果的检查，及时修正、调整认知策略。,人们发现学习不仅是对材料的识别、加工和理解认知过程，同时也是对该过程进行监控和调节的元认知过程。,在数学认知活动中，,尤其是解决数学问题的活动中，需要各种认知因素的参与，而在这个过程中，更需要不断地对认知活动进行监控和管理、选取策略，以及调整思路等，这些调控都离不开元认知的参与。,研究结论：,元认知在解决数学问题中起着非常重要的作用。元认知水平的高低在一定程度上决定了数学学习成绩。,解答数学问题水平高低的差异不在于解题者拥有的知识水平，而在于元认知水平。,即高元认知水平的人知道什么时候、如何运用知识。甚至在认知策略水平较低的情况下，具有较高元认知水平的学生的解题成绩要高于具有较高认知策略、但元认知水平较低的学生。,缺乏有效的元认知技能是产生数学困难的重要原因。,数学水平不同的学生在遇到较难的题目时，元认知方面的表现也各不相同：,1、元认知水平：,数学学习较好的学生往往会自觉地对问题进行再观察、再分析和钻研，表现出了较高的元认知水平；,而数学学习困难的学生在解决数学问题时往往不知所措，不知道自己如何去解决问题。轻易选择放弃，表现出的元认知水平较低。,2、元认知策略方面：,学习困难者表现为总是非常,刻板地,应用有关自己的、任务的和策略的三个变量上的知识，极端缺乏对行为的调节能力。,尽管有时学习困难学生也使用一些元认知策略，但它们与优秀学生的元认知策略有本质的区别，对问题解决没有积极的指导作用。,三、影响学业成绩的有关因素,（一）环境因素：,家庭环境：职业文化层次、家庭氛围、教养方式等；,例如，,父母离异等给学生造成很大的影响。调查显示，身处这种家庭环境中的学困生占85%，还有学生从小在父母的溺爱中长大，不求上进。,不良社会环境和文化剥夺。,由于游戏厅，网吧等大量不良影视作品对学生的成长和学业造成很大影响，学生学习兴趣不高，注意力不集中,。,（二）教师因素：,1、教学要求上的“一刀切”和“大运动量”,课堂教学中，教师面对的是智能、基础、性格各异的学生，按教学规律，教师应该因材施教。但由于时间、精力等的限制，有此教师不能从学生的实际出发，在教学要求上攀高求难和“大运动量”，淡化了基础知识的应用，致使一部分学生“吃不了”。,2、不和谐的师生关系、教师师爱不均,在升学率的压力下，有些老师用考试成绩作为评价学生的唯一标准;有些老师甚至采用“舍卒保车”的做法，在教学过程中只重视学习好的学生，而对学习成绩欠佳的学生在学习过程中的遇到困难关心不够或是态度急燥。,教师对学习落后学生的消极期望严重影响了他们的自我概念、成就动机和抱负水平。长此以往，暂时落后的学生不仅在数学的学习上不能得到良好的发展，而且还会逐步失去对数学学习的兴趣、信心和动力，最终沦为了真正的数学学习困难学生。,3、教学方法上陷入误区,有些教师在课堂教学中一讲到底，满堂灌，教师讲学生听，忽视了学生的主体作用，违背了教学规律和教学原则。,此外，教学不讲究数学特点。数学是一门抽象的学科，因为数学的研究对象是形式化的思想材料。正因为此，很多学生抱怨数学难学。既然难点在于数学内容的“形式化”，数学教师就必须在形式化上下夫。寻找一个恰当的模型，作为数学理论和学生头脑中“数学现实”的连接点。,（三）教材因素,新教材加强了课程内容与实际生话及社会发展的联系，实现了课程内容的现代化、生话化。,教材中出现了大量培养学生观察问题、解决问题的数学题目，如通过实验操作观察特殊平行四边形的性质，找几何图形的重心等.新教材中还出现了移动话费、球赛等很多现代化的问题。因此，新教材对教师和学生提出了更高的要求。,数学学习困难,是一个多因一果问题，,是古老又现代的问题，,是一个永恒存在的问题。,面对它，我们该做些什么？,数学思维方法,数学思维活动,数学是人类的一种活动，数学学习与其说是学习数学知识，倒不如说是学习数学的思维活动。,日本数学家米山国藏认为，对于学生们而言，作为知识的数学，通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等,(,若培养了这方面的素质的话,),都随时随地发生作用，让他们受益终生。,数学思维方法,数学是一门思维科学，其基本思维方法包括,观察、实验、联想、比较、分类、抽象、概括、类比、归纳、猜想、分析、综合、演绎、一般化、特殊化,等等。,所以，数学思维方法是对数学内容的思维运动形式的认识。因此，学习数学思维，就是学习数学思维运动形式。这样，数学的思维方法就成为学生数学学习的重要方面。,义务教育数学课程标准,（,关于课程内容）,在数学教学中，应当注重发展学生的,数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。,推理能力主要表现在：,能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；,能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在与他人交流的过程中，能用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。,推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。,推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。,推理包括合情推理和演绎推理：,合情推理,是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；,演绎推理,是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。,在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,义务教育数学课程标准,（,课程目标）,“总体目标”中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：,1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、,基本思想、基本活动经验。,“四基”,义务教育数学课程标准,（,课程目标）,2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，,运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。,普通高中数学课程标准,课程的基本理念,4注重提高学生的数学思维能力：,高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。,人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。,这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断,。,数学发现的方法,数学基本思维方法,观察法,观察法,观察是人们对周围世界客观事物和现象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，,研究和确定它们的性质和关系,，,从而获取经验材料的种方法。,数学观察则是对数学问题在客观情境下,考察其数量关系及图形性质的方法,。,观察,重要的,心理活动,观察是一种重要的,心理活动，,是感知的特殊形式，是有目的、有计划、有组织的主动知觉。在观察过程中，包含着积极的思维活动，知觉和思维密切地联系着。这样才能观察深刻，从而发现观察对象的本质和内在的联系。,观察法对数学学习的意义,在学生数学学习和研究中，常常通过观察来搜集新材料、发现新事实，通过观察认识数学的本质、揭示数学的规律、探求数学的思想和方法。,任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。,早在,200,多年前，德国数学家哥德巴赫,(G,Goldbach),提出了一个命题：“凡大于,4,的偶数都可以表示成两个素数的和。”,由于这个命题至今还未能被证明，人们称它为“哥德巴赫猜想”，,它的发现完全来源于观察。,课标第14，23页,例1 在下列横线上填上合适的数字，并说明理由：,1，1，2，1，1，2，；,例2 完成序列，并说明理由。,0.5，1.5，4.5，。,例,1,已知数列1，-4，9，-16，试求出这个数列的前,n,项和。,观察,1=1,1+(-4)=-3,1+(-4)+9=6,1+(-4)+9+(-16)=-10,试总结出一般规律。,解,：学生可能会,观察,计算出数列的前几项和看看（特殊化）:,S,1,=1，,S,2,=1+(-4)=-3=-(1+2)，,S,3,=1+(-4)+9=6=1+2+3，,S,4,=1+(-4)+9+(-16)=-10=-(1+2+3+4)，,从而归纳猜想出（一般化）：,S,n,=(-1),n+1,(1+2+3+4+n)=(-1),n+1。,例2,（小学）,观察,1=1,3+5=8,7+9+11=27,13+15+17+19=64,21+23+25+27+29=125,试总结出一般规律。,例3 用小学数学方法计算：,1+3+5+7+99=?,解：观察可见：,1+3=2,2,1+3+5=3,2,1+3+5+7=4,2,1+3+5+,+99=50,2,=2500,例如，求和,例1,已知都是实数，求证,思维障碍：,很多学生看到这个不等式证明题，马上想到采用分析法、综合法等，而此题利用这些方法证明很繁。,学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因，是对这个公式不熟，进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此，平时应多注意数学公式、定理的运用练习。,已知，,试求：的最大值。,解,由 得,又,当 时，有最大值，,最大值为,最大值为,这种解法由于忽略了 这一条件，致使计算结果出现错误。因此，要注意观察审题，不仅要从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中,发现其隐蔽条件,，,既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，这样，才能正确地解题，提高思维的变通性。,观察在学生数学学习中的作用,(1),有利于数学概念的建构,在数学概念建构学习中，要依赖于对事物的观察，并通过观察得到事物的本质特征，进而形成概念。,数学概念是现实世界中事物、现象的数量关系、空间形式的基本属性在人们头脑中的反映。,大多数数学概念特别是中学数学中的有关数、形、函数的概念，在周围环境中都有它的现实原型，都可以用观察法发现得到。,数学概念又是高度概括、高度抽象的产物，只有从学生接触过或认识过的事物入手，密切联系实际原型、实物和图表等，才能使学生较容易地理解、掌握数学概念。,(2),有利于数学发现学习,数学发现学习是学生在数学活动中，亲自发现数学知识的一种学习形式。在发现学习过程中，重要的是从对事物的观察开始。,例如，学生通过对一元二次方程的两个根的关系的观察而发现根与系数的关系。,(3),有利于获得解题的方法和途径,学生数学学习中很重要的一项内容是解题。而成功的解题有赖于对题目条件(结论)的深入观察。,观察法广泛地应用于探索解题方法及途径。通过对问题条件的认真观察，可以找出已知与未知的连结点，挖掘条件的内在规律，从而促进问题的解决。,(4),有利于培养学生的数学观察力,学生学习数学不仅要学习数学知识，更重要的是培养能力。观察能力是数学的一种重要能力。,它是培养学生综合数学能力的前提。,要特别注意那些连问题还没有看明白就贸然动手解题的学生，让他们一定养成认真观察题目的条件和结论的习惯，并通过具体的例题使他们体会到仔细观察、认真审题的效果。,学生通过观察不仅能得到观察方法，而且还可提高自己的观察技巧，从而提高了观察能力。,数学基本思维方法,实验法,一、实验法的界定,实验是人们根据定的研究目的，利用仪器或工具对周围世界的客观事物与现象，进行人为的控制、模拟，排除干扰，突出主要因素，在最有利的条件下,考察和研究它们的性质和关系,，从而获取经验材料的种方法。,在实验中，人们要,变革和控制,被研究的对象，这使得实验法比观察能更好地发挥人的主观能动性，因而实验是比观察更有力的认识手段。一般说来，观察是实验的前提，实验则是观察的证实和发展。,回顾数学的发展过程，有许多的数学结论和性质法则是通过实验得来的。,例如，一些图形的面积和体积大多是通过测量求得的；三角形的重心也是通过实验得来的等等。,在中学数学教学中，实验法也有着广泛的应用。,在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集新材料、获得新知识，而且常常导致数学的发现和理论的创新。,费马与欧拉,二、实验法在数学中的作用,在数学学习与解题活动中，观察和实验也有着重要的作用。,通过观察和实验，不仅可以帮助形成数学概念、探求数学命题，而且可以帮助发现解题途径，从而实现解题思路的突破。,例,4,(,小学、初中,),证明三角形的三个内角之和等于,180,实验1,以硬纸片为材料，剪出一个任意三角形，用量角器量它的三个角，求其和,实验,2,先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行,(,图,-,（）,),，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合,(,图,-,（）,),，最后得（图,-,（）所示结果，观察、猜想三角形三内角的和。,实验,3,设所剪出的纸片三角形为,ABC,，剪下,A,与,B,把它们和,C,拼在一起,(,图,-,),，这时可发现,CD,恰为,BC,的延长线。,通过上述实验我们有理由确信，三角形的三内角之和等于,180,从实验,3,还可以得到有关证明方法的启迪。,例5 平面上n条彼此相交而无三条直线共点的直线，把平面分割成多少部分?,实验等于找出了下面计算公式：,S,1,=1+1,S,2,=1+1+2,S,3,=1+1+2+3,S,4,=1+1+2+3+4,由此可获得公式：,S,n,=1+1+2+3+,+,n,=1+1/2,n,(,n,+1).,例,6,圆柱侧面展开图,提出问题：圆柱面上的椭圆在圆柱侧面展开图中是什么形状,?,学生猜想：圆弧、抛物线段等二次曲线的一部分。,实验观察：要学生自制长方形纸片围住水杯，按纸片接头所在母线,AB,的位置分三种情形,(,如图,-8,，,5-9,，,5-10),画出截面的截口,(,无法精确，近似即可,),，其中图,5-10,中的,A,，,B,是半圆弧的中点。,观察相应展开图的形状,(,如图,5-11,，,5-12,，,5-13),。,学生惊讶：正弦曲线或余弦曲线,!,探求论证：建立坐标系，证明展开图中的曲线方程为,y,=,A,sin(,x,+,)+,B,或,y,=,A,cos(,x,+,)+,B,的形式,。,三、数学实验的种类,定性试验,用来判断数学对象间的某种关系或性质是否存在的试验。,例如，在论证某定理的正确性之后，常给学生一些满足定理条件的正向例子，去验证定理。有时也常给学生一些不满足定理条件的反例，从而去强化定理的条件。,定量试验,用来测定某对象的数值、数量之间关系的试验。,例7,在,ABC,中，若,c,n,=,a,n,+,b,n,(,n,2)，问,ABC,为何种三角形？,分析,最明显的是，若,c,2,=,a,2,+,b,2,，则,ABC,为直角三角形。但现在题目中的,n,大于,2,，所以我们一下难以说出结论来。可以先取一些特殊情况考察。,比如，取,n,=3，,a,=1，,b,=2，作出这个三角形的草图，得到一个锐角三角形。观察另外一些特例，发现还是锐角三角形。,进而猜想:若,c,n,=,a,n,+,b,n,(,n,2)，则,ABC,为锐角三角形。,证明,在,ABC,中，因为,c,n,=,a,n,+,b,n,(,n,2)，所以,c,为,ABC,的最大边，为此只需验证,C,为锐角即可。,问题转化为证明:,a,2,+,b,2,c,2,，而该式等价于(,a,2,+,b,2,),c,n-2,c,n,，因此问题又归为证明 (,a,2,+,b,2,),c,n-2,-,c,n,0,把已知式,c,n,=,a,n,+,b,n,代入上式左边，得,(,a,2,+,b,2,),c,n-2,-,a,n,-b,n,=a,2,(,c,n-2,-,a,n-2,)+,b,2,(,c,n-2,-,b,n-2,),0，,从而cos,C,0，,C,为锐角。,(此题的解决过程是:,取特殊情况实验、观察，作出合情推理，然后再证明。在证明过程中，又多次将问题转化，以达目的。),数学基本思维方法,联想法,一、联想法的概念,联想是思维的一种形式，也是记忆的一种表现，既所谓浮想联翩。,联想是回忆旧知识,发现新知识的重要手段，既所谓举一反三，由此及彼，触类旁通等。,二、联想的数学意义,联想是数学问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。,因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，不断深入。,三、联想的方法,1、接近联想（形似联想）,由概念、原理、法则的接近而产生的联想。它是由命题的已知条件和结论的外表形态与结构特征联想到相关、相似的定义、公式、法则、图形等。,大量存在于课后练习题中。,2、类比联想（对比联想）,从有类似和相似特点的数、式、图形以及相似的内容和性质等进行的联想。,例如，求证：正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值。,由相关平面问题的证明联想到空间图形问题。,3、逆向联想,从问题的正面联想到问题的反面。特别是从正面解题遇到困难时，所产生的从逆向解决问题的联想。,常表现为使用具体的倒推发、反证法、同一法等间接解题方法。,例如，已知p、p+10、p+14是质数，求p,4、横向联想,由数学个分支之间、数学与其他学科之间产生的联想。,各学科之间的练习和相互渗透为这种联想提供了可能。,例如，求证三角形中线相交于一点。,四、联想能力的培养,1、重视基础知识，掌握知识之间的纵横联系，注重知识之间的系统化。,知识点扎实、知识间关系分丰富，联想的范围越广泛、解题方法越灵活。,2、给学生自由联想的机会，学会控制联想和自由联想的结合。,3、教学中有意识引导学生进行问题引申推广的练习。,数学基本思维方法,尝 试,一、,尝试的概念,尝试是将初步意想发展付诸实施，试探是否可行，是否有进展，是否可以接近目标，是否能缩小解答所在的范围等等。,尝试是,探索,式思维的一种重要方法。,尝试的思维方法,1、简单化，化难为易；,从简单处入手,分解化，化繁为简。,例1：,所表示曲线系的每一曲线上,例2：,设,求证：对一切实数a都有f(a)0,2、特殊化，寻找突破口。,特殊化是从原思维对象所在的范围转化为比它小的，且被它所包含的范围内进行思维的方法。,波利亚指出：“特殊化是从考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合中一个较小集合，或仅仅一个对象。”,例如，当我们见到多边形的内角和公式为时，可以用它的一个特殊化情形三角形来检验：(3-2)180=180，于是可以初步接受多边形内角和的公式。这就是特殊化的思维方法。,特殊化简便、易行，是数学学习过程的好办法，是“以退求进”的思维方法。,2、特殊化，寻找突破口。,(1)使用特例，巧妙解题。,例,3：,求证：无论,k,为何值，直线,都通过一定点。,分析,题目没有给出这个定点。因此，首先要探索这个定点。用特殊化方法：任取,k,=0和1，则得直线,y,=2，,y,=,x,+1.,(2)利用特例，推翻某一结论。,特殊化作为某一结论的特殊形式，一个结论的推翻，只要一个反例即可。,例,如：,在一个三角形中，令内切圆的半径为,r,，外接圆的半径为,R,，最长的高为,H,，则,（3）分析特例，寻找启示；,例4：,如图所示，设两圆 内切于A,其半径分别为R、r(R,r),任作一直线垂直于连心线所在直线，并使其在连心线同侧分别交两圆于B、C，,求证：,ABC外接圆面积为定值。,（4）利用特例，奠定基础；,例5：如图所示，设,ABC外心为O，垂心H，BC中点为M，,求证OM=AH,。,3、变换角度，选择主攻方向,如果直接求解（证）有困难时，尝试换个角度看问题，通过各种变易手段，选择主攻方向。,1、变易论题,例6 已知二次方程:,的系数a,bd,c 组成等差数列。,求证:上述两个方程至少有一个方程有实根。,2、数形转换,例7 已知：不等式,的解集是,求:a,b的值,3、反客为主,例8 解方程：,数学基本思维方法,归纳法,一归 纳的意义和价值,归纳,是对同类事物中的各种特殊事物所蕴含的同一性或相似性而得出此类事物的一般性结论的思维过程。,即通过对特例的观察和综合去发现一般规律。,归纳是人类探索和发现真理的主要工具,。,归纳的数学意义：,许多数学的基本概念和方法的建立、,重要问题的发现和解决、研究成果的获得，都是由一些特殊的例子归纳概括出而来。,中学数学教材中,的很多定理、法则、公式大量问题，基本上是由对特例的观察、研究、分析开始，继而引导出一般性结论，最终用演绎法或数学归纳法给出严格证明。,在中学数学教学中，教师应在传授知识的同时，,有意识地传授,些猜想的方法，引导学生主动、自觉地运用这些方法去获取知识。这对于培养学生的创造能力有着重要的作用,。,二归 纳原理,归纳原理可用图式表示为：,S1具有性质P，,S2具有性质P，,Sn具有性质P,S=（S1,S2,S3，Sn，）,S类的所有事物都具有性质P,三、归纳法的类型,（一）,完全归纳法,完全归纳法,是根据对某一事物的全体对象的考察，发现它们都具有的某种属性，而推出这类事物都有这种属性的一般性结论的推理方法。,完全归纳法可分为穷举归纳法和分类归纳法。,（）穷举归纳法,穷举归纳法是对,具有有限个,对象的某类事物进行研究时，将它的每个对象,一一进行考察,，结果它们都具有某种属性，从而得出这类事物都具有某种属性的一般性结论的归纳推理。,穷举法的推理形式,：,x,1,具有性质F,x,2,具有性质F,x,n,具有性质F,x,1,x,2,x,n,=A,得出：A类事物具有性质F,例1：,证明：,（）类分法归纳法,类分法是指对,具有有限个,对象的某类事物进行研究时，,将这类事物划分,为互相排斥，且其外延之和等于该类事物的几个子类，并对他们分别进行考察。如果这些子类都具有某些属性，就得出这类事物都具有某种属性的一般性结论的归纳推理。,类举法的推理形式：,A1具有性质F,A2具有性质F,An具有性质F,A1 A2 An=A,得出：A类事物具有性质F,例2：,某商店有3kg、5kg两种包装的糖果，数量极为充足，保证供应。求证凡购买8kg以上整公斤的糖果时，都可以不用拆包装。,优势与不足：,由于完全归纳穷尽了被考察对象的每一个（类）后才作出结论，因此结论是确凿无疑的，从而它是一种严格的推理方法。,然而，,尽管完全归纳法是一种严格的证明方法，但它要求对研究对象的所有情况都要逐一研究到，因此，当研究对象包含的情况很多，甚至是无限时，对研究对象逐一进行考察将无法实现，所以完全归纳法的使用有其局限性。,（二）不完全归纳法,根据对某类事物,部分对象,具有某种属性的考察，而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法叫做不完全归纳法。,不完全归纳法可分为,枚举归纳法,和,因果关系归纳法。,由于不完全归纳法只是从对部分对象的研究而推出对所有对象的结论，没有全部考察所有对象的情况，所以由它所推出的结论未必真实、可靠，其结论的正确与否必须用其它方法给予理论上的严格证明，或需要经过反复的实践检验。,因此，不完全归纳所得到的猜想，一般来说不一定可靠，不能作为数学中的严格推理方法。,不完全归纳推理形式：,X,1,具有性质F,X,2,具有性质F,X,n,具有性质F,x,1,x,2,x,n,是A的子集,得出：A类事物具有性质F,通常所说的归纳法是不完全归纳法,（）枚举归纳法,枚举归纳法是,根据某类事物,n个特殊对象，,具有某种属性的考察而得出这类事物都具有这种属性的一般性结论的推理方法。,枚举归纳法虽然不是严格的论证方法，但它有助于发现解决问题的线索、提供研究的方向。,费马与欧拉,（）因果关系归纳法,因果关系归纳法是,以某类事物的部分对象的因果关系为前提而得出一般性结论的推理方法。,枚举归纳法虽然不是严格的论证方法，但它有助于发现解决问题的线索、提供研究的方向。,例3：,例,4,将正整数排列如表,1,试探索：正整数,81,所在的行和列分别为,。,（本题着重考查阅读、观察、分析、归纳等能力，是名符其实的一道能力考查题。）,解,从各行观察,1,、,4,、,5,、,10,、；,4,、,8,、,10,、,12,、难以发现各数据之间的联系。从各列观察,1,、,4,、,9,、,16,、；,4,、,8,、,12,、,16,、其规律则易表达。第,1,列为，第,2,列为，第,3,列为，第,4,列为。因此，,81,只可能在第,1,列中。因为,9,2,=81,，所以,81,在第,9,行第,1,列。,进一步拓展,正整数,20,所在的行和列分别为,；,正整数,24,所在的行和列分别为,；,正整数,40,所在的行和列分别为,；,正整数,100,所在的行和列分别为,。,20在第5行第2列和第4行第3列；,24在第6行第2列和第8行第4列；,40在第10行第2列、第8行第3列和第16行第4列；,100在第10行第1列、第25行第2列、第20行第3列和第46行第4列。,例7：证明：具有下列形式：,n-1个 n个,的数是完全平均数,数学思维方法,类比推广,类比举例：,1、鲁班由带齿的草发明锯；,2、人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；,3、地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.,一、类比推广的概念,类比是根据两个或两类事物在某些,属性上相同或相似,，而推出它们在其他属性上也,可能相同或相似的思维方法,。,合情推理的由来,（1）人认识事物是一个从现象到本质的、需要若干阶段的认识过程。开始只能依据,已有,的事实和结果，运用某些判断推理的思维方法，对事物的发展趋势及发展规律提出一种推测的看法，这种推测即为,合情推理,。,（2）,合情推理,是一种合乎情理好象为真的推理，得到的结论掺杂着主观因素所以不一定为真，只有通过严格的证明才能成为真命题。,合情推理：,是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。,类比推广与归纳推理,都是数学活动中常用的合情推理,二、类比推广原理,1）A具有性质F,1,F,2,F,n,，P,B具有性质F,1,/,F,2,/,，F,n,/,得出：B具有性质P,/,其中F,1,/,F,2,/,，F,n,/,P,/,分别与F,1,F,2,F,n,P相同或相似,2）,类比推理,是由特殊到特殊的推理方法。,从具体问题或具体素材出发,观察、比较,联想、类推,猜出结论,类比推广的特点：,（1）类比的前提不蕴涵结论，即使前提真，其结论可能真也可能假，因而具有,或然性,；,（2）类比推广是探索问题解决问题与发现新结果的一种卓有成效的思维方法，其思维具有,探索发现性,。,三、类比的条件,类比的基础,是事物之间的相似性或某种一致性。只要两个对象有某个方面的相似性，就可以类比。,包括：形式上的相似，结构上的相似，内容上的相似，地位上的相似等。,类比分为,简单类比,和,复杂类比,两类。,简单,类比,的推理模式为,A,具有性质,a，b，c，d，,B,具有性质,a，b，c，,猜测：,B,也可能具有性质,d,复杂类比,的推理模式为：,A,具有性