高考数学复习第十六章圆锥曲线与方程16.1椭圆市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),第十六章 圆锥曲线与方程,16.1椭圆,1/124,1.,(江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,F,是椭圆,+,=1(,a,b,0)右焦点,直线,y,=,与椭圆交于,B,C,两点,且,BFC,=90,则该椭圆离心率是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,2/124,答案,解析,由已知条件易得,B,C,F,(,c,0),=,=,由,BFC,=90,可得,=0,所以,+,=0,整理得,c,2,-,a,2,+,b,2,=0,即4,c,2,-3,a,2,+(,a,2,-,c,2,)=0,亦即3,c,2,=2,a,2,所以,=,则,e,=,=,.,3/124,2.,(江苏,12,5分,0.553)在平面直角坐标系,xOy,中,椭圆,C,标准方程为,+,=1(,a,b,0),右焦,点为,F,右准线为,l,短轴一个端点为,B,.设原点到直线,BF,距离为,d,1,F,到,l,距离为,d,2,.若,d,2,=,d,1,则椭圆,C,离心率为,.,答案,解析,由题意得,d,1,=,d,2,=,-,c,=,已知,d,2,=,d,1,即,=,又,b,2,=,a,2,-,c,2,所以,e,=,.,4/124,3.,(江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)左、右焦点分别,为,F,1,F,2,离心率为,两准线之间距离为8.点,P,在椭圆,E,上,且位于第一象限,过点,F,1,作直线,PF,1,垂线,l,1,过点,F,2,作直线,PF,2,垂线,l,2,.,(1)求椭圆,E,标准方程;,(2)若直线,l,1,l,2,交点,Q,在椭圆,E,上,求点,P,坐标.,5/124,解析,本小题主要考查直线方程、直线与直线位置关系、椭圆方程、椭圆几何性质等基,础知识,考查分析问题能力和运算求解能力.,(1)设椭圆半焦距为,c,.,因为椭圆,E,离心率为,两准线之间距离为8,所以,=,=8,解得,a,=2,c,=1,于是,b,=,=,所以椭圆,E,标准方程是,+,=1.,(2)由(1)知,F,1,(-1,0),F,2,(1,0).,设,P,(,x,0,y,0,),因为,P,为第一象限点,故,x,0,0,y,0,0.,当,x,0,=1时,l,2,与,l,1,相交于,F,1,与题设不符.,当,x,0,1时,直线,PF,1,斜率为,直线,PF,2,斜率为,.,因为,l,1,PF,1,l,2,PF,2,所以直线,l,1,斜率为-,直线,l,2,斜率为-,从而直线,l,1,方程:,y,=-,(,x,+1),6/124,直线,l,2,方程:,y,=-,(,x,-1).,由,解得,x,=-,x,0,y,=,所以,Q,.,因为点,Q,在椭圆上,由对称性,得,=,y,0,即,-,=1或,+,=1.,又,P,在椭圆,E,上,故,+,=1.,由,解得,x,0,=,y,0,=,;,无解.,所以点,P,坐标为,.,7/124,4.,(江苏,17,14分,0.56)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,F,1,、,F,2,分别是椭圆,+,=1(,a,b,0),左、右焦点,顶点,B,坐标为(0,b,),连接,BF,2,并延长交椭圆于点,A,过点,A,作,x,轴垂线交椭圆于另一,点,C,连接,F,1,C,.,(1)若点,C,坐标为,且,BF,2,=,求椭圆方程;,(2)若,F,1,C,AB,求椭圆离心率,e,值.,8/124,解析,设椭圆焦距为2,c,则,F,1,(-,c,0),F,2,(,c,0).,(1)因为,B,(0,b,),所以,BF,2,=,=,a,.,又,BF,2,=,故,a,=,.,因为点,C,在椭圆上,所以,+,=1,解得,b,2,=1.,故所求椭圆方程为,+,y,2,=1.,(2)因为,B,(0,b,),F,2,(,c,0)在直线,AB,上,所以直线,AB,方程为,+,=1.,解方程组,得,所以点,A,坐标为,.,又,AC,垂直于,x,轴,由椭圆对称性,可得点,C,坐标为,.,9/124,因为直线,F,1,C,斜率为,=,直线,AB,斜率为-,且,F,1,C,AB,所以,=-1.又,b,2,=,a,2,-,c,2,整理得,a,2,=5,c,2,.故,e,2,=,.所以,e,=,.,10/124,5.,(江苏,18,16分,0.464)如图,在平面直角坐标系,xOy,中,已知椭圆,+,=1(,a,b,0)离心率,为,且右焦点,F,到左准线,l,距离为3.,(1)求椭圆标准方程;,(2)过,F,直线与椭圆交于,A,B,两点,线段,AB,垂直平分线分别交直线,l,和,AB,于点,P,C,若,PC,=2,AB,求直线,AB,方程.,11/124,解析,(1)由题意,得,=,且,c,+,=3,解得,a,=,c,=1,则,b,=1,所以椭圆标准方程为,+,y,2,=1.,(2)当,AB,x,轴时,AB,=,又,CP,=3,不合题意.,当,AB,与,x,轴不垂直时,设直线,AB,方程为,y,=,k,(,x,-1),A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),将直线,AB,方程代入椭圆方程,得(1+2,k,2,),x,2,-4,k,2,x,+2(,k,2,-1)=0,则,x,1,2,=,C,坐标为,且,AB,=,=,=,.,若,k,=0,则线段,AB,垂直平分线为,y,轴,与左准线平行,不合题意.,从而,k,0,故直线,PC,方程为,y,+,=-,则,P,点坐标为,从而,PC,=,.,12/124,因为,PC,=2,AB,所以,=,解得,k,=,1.,此时直线,AB,方程为,y,=,x,-1或,y,=-,x,+1.,13/124,考点一椭圆定义和标准方程,1.,(纲领全国改编,6,5分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左、右焦点为,F,1,、,F,2,离心率为,过,F,2,直线,l,交,C,于,A,、,B,两点.若,AF,1,B,周长为4,则,C,方程为,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,+,=1,解析,由题意及椭圆定义知4,a,=4,则,a,=,又,=,=,c,=1,b,2,=2,C,方程为,+,=1.,2.,(课标,20,12分,0.185)已知点,A,(0,-2),椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,F,是椭圆,E,右焦点,直线,AF,斜率为,O,为坐标原点.,(1)求,E,方程;,(2)设过点,A,动直线,l,与,E,相交于,P,Q,两点.当,OPQ,面积最大时,求,l,方程.,14/124,解析,(1)设,F,(,c,0),由条件知,=,得,c,=,.,又,=,所以,a,=2,b,2,=,a,2,-,c,2,=1.,故,E,方程为,+,y,2,=1.,(2)当,l,x,轴时不合题意,故设,l,:,y,=,kx,-2,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,).,将,y,=,kx,-2代入,+,y,2,=1得(1+4,k,2,),x,2,-16,kx,+12=0.,当,=16(4,k,2,-3)0,即,k,2,时,x,1,2,=,.,从而|,PQ,|=,|,x,1,-,x,2,|=,.,又点,O,到直线,PQ,距离,d,=,所以,OPQ,面积,S,OPQ,=,d,|,PQ,|=,.,15/124,设,=,t,则,t,0,S,OPQ,=,=,.,因为,t,+,4,当且仅当,t,=2,即,k,=,时等号成立,且满足,0,所以,当,OPQ,面积最大时,l,方程为,y,=,x,-2或,y,=-,x,-2.,评析,本题主要考查椭圆标准方程、几何性质,直线方程以及直线与椭圆位置关系等基,础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线综合问题,考查方程思想、函数思想、整体代换以及换元,法应用.考查学生逻辑推理能力和运算求解能力.,3.,(北京,19,14分)已知椭圆,C,:,+,=1过,A,(2,0),B,(0,1)两点.,(1)求椭圆,C,方程及离心率;,(2)设,P,为第三象限内一点且在椭圆,C,上,直线,PA,与,y,轴交于点,M,直线,PB,与,x,轴交于点,N,.求证:四边,形,ABNM,面积为定值.,16/124,解析,(1)由题意得,a,=2,b,=1.,所以椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,又,c,=,=,所以离心率,e,=,=,.,(2)设,P,(,x,0,y,0,)(,x,0,0,y,0,b,0)过点(0,),且离心率,e,=,.,(1)求椭圆,E,方程;,(2)设直线,l,:,x,=,my,-1(,m,R)交椭圆,E,于,A,B,两点,判断点,G,与以线段,AB,为直径圆位置关,系,并说明理由.,19/124,解析,(1)由已知得,解得,所以椭圆,E,方程为,+,=1.,(2)解法一:设点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),AB,中点为,H,(,x,0,y,0,).,由,得(,m,2,+2),y,2,-2,my,-3=0,所以,y,1,+,y,2,=,y,1,y,2,=-,从而,y,0,=,.,所以|,GH,|,2,=,+,=,+,=(,m,2,+1),+,my,0,+,.,=,=,=,=(1+,m,2,)(,-,y,1,y,2,),故|,GH,|,2,-,=,my,0,+(1+,m,2,),y,1,y,2,+,=,-,+,=,0,所以|,GH,|,.,20/124,故点,G,在以,AB,为直径圆外.,解法二:设点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则,=,=,.,由,得(,m,2,+2),y,2,-2,my,-3=0,所以,y,1,+,y,2,=,y,1,y,2,=-,从而,=,+,y,1,y,2,=,+,y,1,y,2,=(,m,2,+1),y,1,y,2,+,m,(,y,1,+,y,2,)+,=,+,+,=,0,所以cos0.又,不共线,所以,AGB,为锐角.,故点,G,在以,AB,为直径圆外.,评析,本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算,求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.,21/124,5.,(山东,21,14分)已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)长轴长为4,焦距为2,.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)过动点,M,(0,m,)(,m,0)直线交,x,轴于点,N,交,C,于点,A,P,(,P,在第一象限),且,M,是线段,PN,中点.过,点,P,作,x,轴垂线交,C,于另一点,Q,延长,QM,交,C,于点,B,.,(i)设直线,PM,QM,斜率分别为,k,k,证实,为定值;,(ii)求直线,AB,斜率最小值.,22/124,解析,(1)设椭圆半焦距为,c,.,由题意知2,a,=4,2,c,=2,所以,a,=2,b,=,=,.,所以椭圆,C,方程为,+,=1.,(2)(i)设,P,(,x,0,y,0,)(,x,0,0,y,0,0).,由,M,(0,m,),可得,P,(,x,0,2,m,),Q,(,x,0,-2,m,).,所以直线,PM,斜率,k,=,=,直线,QM,斜率,k,=,=-,.,此时,=-3.所以,为定值-3.,(ii)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,).,直线,PA,方程为,y,=,kx,+,m,直线,QB,方程为,y,=-3,kx,+,m,.,23/124,联立,整理得(2,k,2,+1),x,2,+4,mkx,+2,m,2,-4=0.,由,x,0,x,1,=,可得,x,1,=,.,所以,y,1,=,kx,1,+,m,=,+,m,.,同理,x,2,=,y,2,=,+,m,.,所以,x,2,-,x,1,=,-,=,y,2,-,y,1,=,+,m,-,-,m,=,所以,k,AB,=,=,=,.,由,m,0,x,0,0,可知,k,0,24/124,所以6,k,+,2,等号当且仅当,k,=,时取得.,此时,=,即,m,=,符合题意.,所以直线,AB,斜率最小值为,.,评析,本题主要考查椭圆标准方程及其几何性质,直线与椭圆位置关系,直线斜率等基础,知识,考查逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力.,考点二椭圆性质,1.,(浙江改编,2,5分)椭圆,+,=1离心率是,.,答案,解析,本题考查椭圆标准方程和几何性质.,由题意得,a,=3,c,=,离心率,e,=,=,.,25/124,2.,(课标全国文改编,12,5分)设,A,B,是椭圆,C,:,+,=1长轴两个端点.若,C,上存在点,M,满,足,AMB,=120,则,m,取值范围是,.,答案,(0,1,9,+,),解析,本题考查圆锥曲线几何性质.,当0,m,3时,椭圆,C,长轴在,x,轴上,如图(1),A,(-,0),B,(,0),M,(0,1).,图(1),26/124,当点,M,运动到短轴端点时,AMB,取最大值,此时,AMB,120,则|,MO,|,1,即03时,椭圆,C,长轴在,y,轴上,如图(2),A,(0,),B,(0,-,),M,(,0),图(2),当点,M,运动到短轴端点时,AMB,取最大值,此时,AMB,120,则|,OA,|,3,即,3,即,m,9.,综上,m,(0,1,9,+,).,27/124,易错警示,在求解本题时,要注意椭圆长轴所在坐标轴,题目中只说,A,、,B,为椭圆长轴两,个端点,并未说明椭圆长轴所在坐标轴,所以,要依据,m,与3大小关系,讨论椭圆长轴所在坐,标轴.,3.,(课标全国改编,5,5分)直线,l,经过椭圆一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到,l,距离为,其短轴长,则该椭圆离心率为,.,答案,28/124,解析,如图,|,OB,|为椭圆中心到,l,距离,则|,OA,|,OF,|=|,AF,|,OB,|,即,bc,=,a,所以,e,=,=,.,易错警示,椭圆中心到直线,l,距离为,2,b,=,轻易将短轴长误认为,b,.,评析,本题考查椭圆基本知识,利用三角形面积建立等量关系是求解关键.,29/124,4.,(课标全国改编,12,5分)已知,O,为坐标原点,F,是椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左焦点,A,B,分,别为,C,左,右顶点.,P,为,C,上一点,且,PF,x,轴.过点,A,直线,l,与线段,PF,交于点,M,与,y,轴交于点,E,.若,直线,BM,经过,OE,中点,则,C,离心率为,.,答案,30/124,解析,解法一:设点,M,(-,c,y,0,),OE,中点为,N,则直线,AM,斜率,k,=,从而直线,AM,方程为,y,=,(,x,+,a,),令,x,=0,得点,E,纵坐标,y,E,=,.,同理,OE,中点,N,纵坐标,y,N,=,.,因为2,y,N,=,y,E,所以,=,即2,a,-2,c,=,a,+,c,所以,e,=,=,.,解法二:如图,设,OE,中点为,N,由题意知|,AF,|=,a,-,c,|,BF,|=,a,+,c,|,OF,|=,c,|,OA,|=|,OB,|=,a,PF,y,轴,=,=,=,=,31/124,又,=,即,=,a,=3,c,故,e,=,=,.,评析,本题考查了直线与椭圆位置关系,考查了直线方程和中点坐标公式.,5.,(湖北改编,9,5分)已知,F,1,F,2,是椭圆和双曲线公共焦点,P,是它们一个公共点,且,F,1,PF,2,=,则椭圆和双曲线离心率倒数之和最大值为,.,答案,32/124,解析,解法一:设椭圆方程为,+,=1(,a,1,b,1,0),离心率为,e,1,双曲线方程为,-,=1(,a,2,0,b,2,0),离心率为,e,2,它们焦距为2,c,不妨设,P,为两曲线在第一象限交点,F,1,F,2,分别为左,右焦点,则易,知,解得,在,F,1,PF,2,中,由余弦定理得(,a,1,+,a,2,),2,+(,a,1,-,a,2,),2,-2(,a,1,+,a,2,)(,a,1,-,a,2,)cos 60,=4,c,2,整理得,+3,=4,c,2,所以,+,=4,即,+,=4.,设,a,=,b,=,+,=,a,b,|,a,|,b,|=,=,=,故,+,最大值是,.,解法二:不妨设,P,在第一象限,|,PF,1,|=,m,|,PF,2,|=,n,.在,PF,1,F,2,中,由余弦定理得,m,2,+,n,2,-,mn,=4,c,2,.设椭圆,长轴长为2,a,1,离心率为,e,1,双曲线实轴长为2,a,2,离心率为,e,2,它们焦距为2,c,则,+,=,=,33/124,=,.,=,=,=,易知,-,+1最小值为,.故,=,.,评析,本题考查了椭圆、双曲线定义、方程和性质;考查了利用不等式和函数求最值基本,方法.本题对运算能力要求较高.,34/124,6.,(山东理,21,14分)在平面直角坐标系,xOy,中,椭圆,E,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,焦距,为2.,(1)求椭圆,E,方程;,(2)如图,动直线,l,:,y,=,k,1,x,-,交椭圆,E,于,A,B,两点,C,是椭圆,E,上一点,直线,OC,斜率为,k,2,且,k,1,k,2,=,.,M,是线段,OC,延长线上一点,且|,MC,|,AB,|=23,M,半径为|,MC,|,OS,OT,是,M,两条切线,切点,分别为,S,T,.求,SOT,最大值,并求取得最大值时直线,l,斜率.,35/124,解析,本题考查椭圆方程,直线与椭圆、圆位置关系,考查最值求解方法和运算求解能,力.,(1)由题意知,e,=,=,2,c,=2,所以,a,=,b,=1,所以椭圆,E,方程为,+,y,2,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),联立,消,y,整理得(4,+2),x,2,-4,k,1,x,-1=0,由题意知,0,且,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-,所以|,AB,|=,|,x,1,-,x,2,|=,.,由题意可知圆,M,半径,r,=,|,AB,|=,.,36/124,由题设知,k,1,k,2,=,所以,k,2,=,所以直线,OC,方程为,y,=,x,.,联立,得,x,2,=,y,2,=,所以|,OC,|=,=,.,由题意可知sin,=,=,而,=,=,令,t,=1+2,则,t,1,(0,1),37/124,所以=,=,=,1,当且仅当,=,即,t,=2时等号成立,此时,k,1,=,所以sin,所以,所以,SOT,最大值为,.,总而言之:,SOT,最大值为,取得最大值时直线,l,斜率,k,1,=,.,思绪分析,(1)由离心率和焦距,利用基本量运算求解;(2)联立直线,l,与椭圆方程,利用距离公式求,出|,AB,|,联立直线,OC,与椭圆方程求|,OC,|,进而建立sin,与,k,1,之间函数关系,利用二次函数,性质求解.,38/124,疑难突破,把角问题转化为三角函数问题,即由sin,=,=,f,(,k,1,)求解是解题突破,口.,解题反思,最值问题普通利用函数思想方法求解,利用距离公式建立sin,与,k,1,之间函,数关系是解题关键.牢靠掌握基础知识和方法是求解前提.本题完美解答表达了数学知识、,能力、思想、方法完美结合.,7.,(北京文,19,14分)已知椭圆,C,两个顶点分别为,A,(-2,0),B,(2,0),焦点在,x,轴上,离心率为,.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)点,D,为,x,轴上一点,过,D,作,x,轴垂线交椭圆,C,于不一样两点,M,N,过,D,作,AM,垂线交,BN,于点,E,.,求证:,BDE,与,BDN,面积之比为45.,39/124,解析,本题考查椭圆方程和性质,直线方程等知识,考查运算求解能力.,(1)设椭圆,C,方程为,+,=1(,a,b,0).,由题意得,解得,c,=,.,所以,b,2,=,a,2,-,c,2,=1.,所以椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,(2)设,M,(,m,n,),则,D,(,m,0),N,(,m,-,n,).,由题设知,m,2,且,n,0.,直线,AM,斜率,k,AM,=,故直线,DE,斜率,k,DE,=-,.,所以直线,DE,方程为,y,=-,(,x,-,m,).,直线,BN,方程为,y,=,(,x,-2).,40/124,联立,解得点,E,纵坐标,y,E,=-,.,由点,M,在椭圆,C,上,得4-,m,2,=4,n,2,.,所以,y,E,=-,n,.,又,S,BDE,=,|,BD,|,y,E,|=,|,BD,|,n,|,S,BDN,=,|,BD,|,n,|,所以,BDE,与,BDN,面积之比为45.,易错警示,在设直线方程时,若设方程为,y,=,kx,+,m,则要考虑斜率不存在情况;若设方程为,x,=,ty,+,n,则要考虑斜率为0情况.,41/124,8.,(山东文,21,14分)在平面直角坐标系,xOy,中,已知椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)离心率为,椭圆,C,截直线,y,=1所得线段长度为2,.,(1)求椭圆,C,方程;,(2)动直线,l,:,y,=,kx,+,m,(,m,0)交椭圆,C,于,A,B,两点,交,y,轴于点,M,.点,N,是,M,关于,O,对称点,N,半径,为|,NO,|.设,D,为,AB,中点,DE,DF,与,N,分别相切于点,E,F,求,EDF,最小值.,42/124,解析,本题考查椭圆标准方程及圆锥曲线相关最值.,(1)由椭圆离心率为,得,a,2,=2(,a,2,-,b,2,),又当,y,=1时,x,2,=,a,2,-,得,a,2,-,=2,所以,a,2,=4,b,2,=2.,所以椭圆方程为,+,=1.,(2)设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),联立方程,得(2,k,2,+1),x,2,+4,kmx,+2,m,2,-4=0,由,0得,m,2,0,从而,y,=,t,+,在3,+,)上单调递增,所以,t,+,等号当且仅当,t,=3时成立,此时,k,=0,所以,1+3=4,44/124,由(*)得-,m,b,0)左焦点为,F,(-,c,0),右顶点为,A,点,E,坐标为,(0,c,),EFA,面积为,.,(1)求椭圆离心率;,(2)设点,Q,在线段,AE,上,|,FQ,|=,c,延长线段,FQ,与椭圆交于点,P,点,M,N,在,x,轴上,PM,QN,且直线,PM,与直线,QN,间距离为,c,四边形,PQNM,面积为3,c,.,(i)求直线,FP,斜率;,(ii)求椭圆方程.,46/124,解析,本小题主要考查椭圆标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研,究圆锥曲线性质和方程思想.考查运算求解能力,以及综合分析问题和处理问题能力.,(1)设椭圆离心率为,e,.由已知,可得,(,c,+,a,),c,=,.,又由,b,2,=,a,2,-,c,2,可得2,c,2,+,ac,-,a,2,=0,即2,e,2,+,e,-1=0.,又因为0,e,0),则直线,FP,斜率为,.,由(1)知,a,=2,c,可得直线,AE,方程为,+,=1,即,x,+2,y,-2,c,=0,与直线,FP,方程联立,可解得,x,=,y,=,即点,Q,坐标为,.由已知|,FQ,|=,c,有,+,=,整理得3,m,2,-4,m,=0,所以,m,=,即直线,FP,斜率为,.,(ii)由,a,=2,c,可得,b,=,c,故椭圆方程能够表示为,+,=1.,由(i)得直线,FP,方程为3,x,-4,y,+3,c,=0,与椭圆方程联立得,消去,y,47/124,整理得7,x,2,+6,cx,-13,c,2,=0,解得,x,=-,(舍去),或,x,=,c,.所以可得点,P,进而可得|,FP,|=,=,所以|,PQ,|=|,FP,|-|,FQ,|=,-,=,c,.,由已知,线段,PQ,长即为,PM,与,QN,这两条平行直线间距离,故直线,PM,和,QN,都垂直于直线,FP,.,因为,QN,FP,所以|,QN,|=|,FQ,|tan,QFN,=,=,所以,FQN,面积为,|,FQ,|,QN,|=,同理,FPM,面积等于,由四边形,PQNM,面积为3,c,得,-,=3,c,整理得,c,2,=2,c,又由,c,0,得,c,=2.,所以,椭圆方程为,+,=1.,48/124,方法点拨,1.求离心率惯用方法:(1)直接求,a,c,利用定义求解;(2)结构,a,c,齐次式,利用方程思,想求出离心率,e,值.,2.求直线斜率惯用方法:(1)公式法:,k,=,(,x,1,x,2,),其中两点坐标分别为(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,);(2)利用,导数几何意义求解;(3)直线方向向量,a,=(,m,n,),则,k,=,(,m,0);(4)点差法.,3.处理四边形或三角形面积问题时,注意弦长公式与整体代换思想应用.,10.,(课标,20,12分,0.185)设,F,1,F,2,分别是椭圆,C,:,+,=1(,a,b,0)左,右焦点,M,是,C,上一点,且,MF,2,与,x,轴垂直.直线,MF,1,与,C,另一个交点为,N,.,(1)若直线,MN,斜率为,求,C,离心率;,(2)若直线,MN,在,y,轴上截距为2,且|,MN,|=5|,F,1,N,|,求,a,b,.,49/124,解析,(1)依据,c,=,及题设知,M,2,b,2,=3,ac,.,将,b,2,=,a,2,-,c,2,代入2,b,2,=3,ac,解得,=,或,=-2(舍去).,故,C,离心率为,.,(2)由题意,得原点,O,为,F,1,F,2,中点,MF,2,y,轴,所以直线,MF,1,与,y,轴交点,D,(0,2)是线段,MF,1,中点,故,=4,即,b,2,=4,a,.,由|,MN,|=5|,F,1,N,|得|,DF,1,|=2|,F,1,N,|.,设,N,(,x,1,y,1,),由题意知,y,1,b,0)离心率为,点,P,(0,1)和点,A,(,m,n,)(,m,0)都,在椭圆,C,上,直线,PA,交,x,轴于点,M,.,(1)求椭圆,C,方程,并求点,M,坐标(用,m,n,表示);,(2)设,O,为原点,点,B,与点,A,关于,x,轴对称,直线,PB,交,x,轴于点,N,.问:,y,轴上是否存在点,Q,使得,OQM,=,ONQ,?若存在,求点,Q,坐标;若不存在,说明理由.,51/124,解析,(1)由题意得,解得,a,2,=2.,故椭圆,C,方程为,+,y,2,=1.,设,M,(,x,M,0).,因为,m,0,所以-1,n,b,0)左、右焦点分别为,F,1,F,2,右顶点为,A,上顶点,为,B,.已知|,AB,|=,|,F,1,F,2,|.,(1)求椭圆离心率;,(2)设,P,为椭圆上异于其顶点一点,以线段,PB,为直径圆经过点,F,1,经过原点,O,直线,l,与该圆相,切.求直线,l,斜率.,53/124,解析,(1)设椭圆右焦点,F,2,坐标为(,c,0).由|,AB,|=,|,F,1,F,2,|,可得,a,2,+,b,2,=3,c,2,又,b,2,=,a,2,-,c,2,则,=,.,所以椭圆离心率,e,=,.,(2)由(1)知,a,2,=2,c,2,b,2,=,c,2,.故椭圆方程为,+,=1.,设,P,(,x,0,y,0,).由,F,1,(-,c,0),B,(0,c,),有,=(,x,0,+,c,y,0,),=(,c,c,).,由已知,有,=0,即(,x,0,+,c,),c,+,y,0,c,=0.,又,c,0,故有,x,0,+,y,0,+,c,=0.,又因为点,P,在椭圆上,故,+,=1.,由和可得3,+4,cx,0,=0.而点,P,不是椭圆顶点,故,x,0,=-,c,代入得,y,0,=,即点,P,坐标为,.,54/124,设圆圆心为,T,(,x,1,y,1,),则,x,1,=,=-,c,y,1,=,=,c,进而圆半径,r,=,=,c,.,设直线,l,斜率为,k,依题意,直线,l,方程为,y,=,kx,.由,l,与圆相切,可得,=,r,即,=,c,整理得,k,2,-8,k,+1=0,解得,k,=4,.,所以直线,l,斜率为4+,或4-,.,评析,本题主要考查椭圆标准方程和几何性质、直线方程、圆方程等基础知识.考查用,代数方法研究圆锥曲线性质.考查运算求解能力,以及用方程思想处理问题能力.,55/124,13.,(浙江理,19,15分)如图,设椭圆,+,y,2,=1(,a,1).,(1)求直线,y,=,kx,+1被椭圆截得线段长(用,a,k,表示);,(2)若任意以点,A,(0,1)为圆心圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率取值范围.,56/124,解析,(1)设直线,y,=,kx,+1被椭圆截得线段为,AP,由,得(1+,a,2,k,2,),x,2,+2,a,2,kx,=0,故,x,1,=0,x,2,=-,.,所以|,AP,|=,|,x,1,-,x,2,|=,.,(2)假设圆与椭圆公共点有4个,由对称性可设,y,轴左侧椭圆上有两个不一样点,P,Q,满足|,AP,|=,|,AQ,|.,记直线,AP,AQ,斜率分别为,k,1,k,2,且,k,1,k,2,0,k,1,k,2,.,由(1)知,|,AP,|=,|,AQ,|=,故,=,所以(,-,)1+,+,+,a,2,(2-,a,2,),=0.,因为,k,1,k,2,k,1,k,2,0得1+,+,+,a,2,(2-,a,2,),=0,57/124,所以,=1+,a,2,(,a,2,-2),因为式关于,k,1,k,2,方程有解充要条件是1+,a,2,(,a,2,-2)1,所以,a,.,所以,任意以点,A,(0,1)为圆心圆与椭圆至多有3个公共点充要条件为1,a,由,e,=,=,得,所求离心率取值范围为0,b,0)左、右焦点分别为,F,1,F,2,焦距为2,c,.若直线,y,=,(,x,+,c,)与椭圆,一个交点,M,满足,MF,1,F,2,=2,MF,2,F,1,则该椭圆离心率等于,.,C,组 教师专用题组,答案,-1,解析,由已知得直线,y,=,(,x,+,c,)过,M,、,F,1,两点,所以直线,MF,1,斜率为,所以,MF,1,F,2,=60,则 ,MF,2,F,1,=30,F,1,MF,2,=90,如图,故,MF,1,=,c,MF,2,=,c,由点,M,在椭圆,上知:,MF,1,+,MF,2,=,c,+,c,=2,a,故,e,=,=,-1.,59/124,2.,(辽宁,20,12分)圆,x,2,+,y,2,=4切线与,x,轴正半轴,y,轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积,最小时,切点为,P,(如图),双曲线,C,1,:,-,=1过点,P,且离心率为,.,(1)求,C,1,方程;,(2)椭圆,C,2,过点,P,且与,C,1,有相同焦点,直线,l,过,C,2,右焦点且与,C,2,交于,A,B,两点,若以线段,AB,为直,径圆过点,P,求,l,方程.,60/124,解析,(1)设切点坐标为(,x,0,y,0,)(,x,0,0,y,0,0),则切线斜率为-,切线方程为,y,-,y,0,=-,(,x,-,x,0,),即,x,0,x,+,y,0,y,=,4,此时,两个坐标轴正半轴与切线围成三角形面积为,S,=,=,.由,+,=4,2,x,0,y,0,知,当且仅当,x,0,=,y,0,=,时,x,0,y,0,有最大值,即,S,有最小值,所以点,P,坐标为(,).,由题意知,解得,a,2,=1,b,2,=2,故,C,1,方程为,x,2,-,=1.,(2)由(1)知,C,2,焦点坐标为(-,0),(,0),由此设,C,2,方程为,+,=1,其中,b,1,0.,由,P,(,)在,C,2,上,得,+,=1,解得,=3,所以,C,2,方程为,+,=1.,显然,l,不是直线,y,=0.设,l,方程为,x,=,my,+,点,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),由,61/124,得(,m,2,+2),y,2,+2,my,-3=0,又,y,1,y,2,是方程根,所以,由,x,1,=,my,1,+,x,2,=,my,2,+,得,因,=(,-,x,1,-,y,1,),=(,-,x,2,-,y,2,),故由题意知,=0,所以,x,1,x,2,-,(,x,1,+,x,2,)+,y,1,y,2,-,(,y,1,+,y,2,)+4=0.,将,代入式整理得,2,m,2,-2,m,+4,-11=0,解得,m,=,-1或,m,=-,+1.所以直线,l,方程为,x,-,y,-,=0或,x,+,y,-,=0.,62/124,评析,本题考查双曲线及椭圆标准方程求法和直线与圆锥曲线位置关系.考查分类讨论思,想和方程思想应用.处理问题(2)时有两个关键点:巧设方程,x,=,my,+,使方程化简过程简,洁明了;巧用,=0,建立方程根关系,进而建立关于,m,方程,使问题得以顺利处理.本题,易错点是对,m,值求解,也是处理本题难点.,3.,(天津理,18,13分)设椭圆,+,=1(,a,b,0)左焦点为,F,离心率为,过点,F,且与,x,轴垂直,直线被椭圆截得线段长为,.,(1)求椭圆方程;,(2)设,A,B,分别为椭圆左、右顶点,过点,F,且斜率为,k,直线与椭圆交于,C,D,两点.若,+,=8,求,k,值.,63/124,解析,(1)设,F,(-,c,0),由,=,知,a,=,c,.过点,F,且与,x,轴垂直直线为,x,=-,c,代入椭圆方程有,+,=1,解得,y,=,于是,=,解得,b,=,又,a,2,-,c,2,=,b,2,从而,a,=,c,=1,所以椭圆方程为,+,=1.,(2)设点,C,(,x,1,y,1,),D,(,x,2,y,2,),由,F,(-1,0)得直线,CD,方程为,y,=,k,(,x,+1),由方程组,消去,y,整理得(2+3,k,2,),x,2,+6,k,2,x,+3,k,2,-6=0.,所以,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,.因为,A,(-,0),B,(,0),所以,+,=(,x,1,+,y,1,)(,-,x,2,-,y,2,),+(,x,2,+,y,2,)(,-,x,1,-,y,1,),=6-2,x,1,x,2,-2,y,1,y,2,=6-2,x,1,x,2,-2,k,2,(,x,1,+1)(,x,2,+1),=6-(2+2,k,2,),x,1,x,2,-2,k,2,(,x,1,+,x,2,)-2,k,2,=6+,.,64/124,由已知得6+,=8,解得,k,=,.,评析,本题主要考查椭圆标准方程和几何性质、直线方程、向量运算等基础知识.考查,用代数方法研究圆锥曲线性质.考查运算求解能力,以及用方程思想处理问题能力.,4.,(湖南,20,13分)已知抛物线,C,1,:,x,2,=4,y,焦点,F,也是椭圆,C,2,:,+,=1(,a,b,0)一个焦点,C,1,与,C,2,公共弦长为2,.,(1)求,C,2,方程;,(2)过点,F,直线,l,与,C,1,相交于,A,B,两点,与,C,2,相交于,C,D,两点,且与,同向.,(i)若|,AC,|=|,BD,|,求直线,l,斜率;,(ii)设,C,1,在点,A,处切线与,x,轴交点为,M,证实:直线,l,绕点,F,旋转时,MFD,总是钝角三角形.,65/124,解析,(1)由,C,1,:,x,2,=4,y,知其焦点,F,坐标为(0,1).因为,F,也是椭圆,C,2,一个焦点,所以,a,2,-,b,2,=1.,又,C,1,与,C,2,公共弦长为2,C,1,与,C,2,都关于,y,轴对称,且,C,1,方程为,x,2,=4,y,由此易知,C,1,与,C,2,公,共点坐标为,所以,+,=1.,联立,得,a,2,=9,b,2,=8.故,C,2,方程为,+,=1.,(2)如图,设,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),C,(,x,3,y,3,),D,(,x,4,y,4,).,(i)因与,同向,且|,AC,|=|,BD,|,所以=,从而,x,3,-,x,1,=,x,4,-,x,2,即,x,1,-,x,2,=,x,