高中数学第二章随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2省公开课一等奖新名师优质课获.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,2.3.2,离散型随机变量方差,1/63,2/63,主题,1,离散型随机变量方差与标准差,1.,怎样刻画随机变量取值稳定性,?,提醒,:,因为,E(X),反应随机变量取值平均水平,所以可,用,(x,i,-E(X),2,再结合其它量来描述,.,3/63,2.,仿照样本方差定义以及离散型随机变量均值概念,试想一想,怎样描述随机变量,X,与其对应均值,E(X),平均偏离程度,?,提醒,:,可用,(x,i,-E(X),2,(i=1,2,n),加权平均数来描述,.,4/63,结论,:,离散型随机变量方差、标准差,(1),定义,:,设离散型随机变量,X,分布列为,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,5/63,则,_,描述了,x,i,(i=1,2,n),相对于均值,E(X),偏离程度,而,D(X)=_,为这些偏离程度加,权平均，刻画了随机变量,X,与其均值,E(X),平均偏离程,度,.,称,D(X),为随机变量,X,方差，其,_,为随机变量,X,标准差,.,(x,i,-E(X),2,算术平方根,6/63,(2),意义,:,随机变量方差和标准差都反应了随机变量,取值偏离于,_,平均程度,.,方差或标准差越小,则随,机变量偏离于均值,_.,均值,平均程度越小,7/63,【,微思索,】,1.,随机变量均值反应了随机变量取值平均水平,方差与标准差反应了什么,?,提醒,:,随机变量方差与标准差都反应了随机变量,X,与其均值,E(X),平均偏离程度,.,8/63,2.,试说明方差与标准差大小与随机变量与其平均值偏离程度关系,.,提醒,:,离散型随机变量方差与标准差都反应了随机变量取值与均值偏离平均程度,方差和标准差越小,则随机变量与均值偏离平均程度越小,;,反之亦然,.,9/63,3.,随机变量方差与标准差单位各是什么,?,提醒,:,依据随机变量方差定义可知,:,方差单位是随机变量单位平方,;,而标准差单位与随机变量单位相同,.,10/63,主题,2,离散型随机变量方差性质,1.,设,X,为随机变量,Y=X+b,其中,b,为常数,试用,D(X),表示,D(Y).,提醒,:,因为,Y=X+b,所以,E(Y)=E(X)+b,所以,D(Y)=(y,i,-E(Y),2,p,i,=(x,i,+b-E(Y),2,p,i,=(x,i,+b-E(X)-b),2,p,i,=(x,i,-E(X),2,p,i,=D(X).,11/63,2.,设,X,为随机变量,Y=aX+b,其中,a,b,为常数,试用,D(X),表示,D(Y).,提醒,:,因为,Y=aX+b,所以,E(Y)=aE(X)+b,所以,D(Y)=(y,i,-E(Y),2,p,i,=(ax,i,+b-E(Y),2,p,i,=(ax,i,+b-aE(X)-b),2,p,i,=a,2,(x,i,-E(X),2,p,i,=a,2,(x,i,-E(X),2,p,i,=a,2,D(X).,12/63,结论,:,离散型随机变量方差性质,设,X,为随机变量,Y=aX+b,其中,a,b,为常数,则有,D(aX+b),=_.,a,2,D(X),13/63,【,微思索,】,1.,两点分布随机变量方差是多少,?,提醒,:,X,分布列如表,则,E(X)=p,则由随机变量,X,分布列得,D(X)=(1-p),2,p+(0-p),2,(1-p),=(1-p)p(1-p)+p=p(1-p).,X,1,0,P,p,1-p,14/63,2.,类比两点分布方差,可猜测二项分布方差是什么,.,提醒,:,若,X,B(n,p),则,D(X)=np(1-p).,15/63,【,预习自测,】,1.,以下说法中,正确是,(,),A.,离散型随机变量均值,E(X),反应了,X,取值概率平均值,B.,离散型随机变量方差,D(X),反应了,X,取值平均水平,16/63,C.,离散型随机变量均值,E(X),反应了,X,取值平均水平,D.,离散型随机变量方差,D(X),反应了,X,取值概率平均值,【,解析,】,选,C.,由离散型随机变量均值与方差定义可知,C,正确,.,17/63,2.,若,X,B(n,p),且,E(X)=1.6,D(X)=1.28,则,(,),A.n=8,p=0.2B.n=4,p=0.4,C.n=5,p=0.32D.n=7,p=0.45,【,解析,】,选,A.,因为,X,B(n,p),且,E(X)=1.6,D(X)=1.28,所以,np=1.6,np(1-p)=1.28,由解得,n=8,p=0.2.,18/63,3.,设随机变量,X,方差,D(X)=1,则,D(2X+1),值,为,(,),A.2,B.3,C.4,D.5,【,解析,】,选,C.,由,D(aX+b)=a,2,D(X),得,:D(2X+1)=4D(X)=41=4.,19/63,4.,牧场,10,头牛因误食疯牛病毒污染饲料被感染,已知该病发病率为,0.02,设发病牛头数为,X,则,D(X),等于,_.,【,解析,】,由题意知,X,B(10,0.02),所以,D(X)=10,0.02,(1-0.02)=0.196.,答案,:,0.196,20/63,5.,有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量,1,2,已知,E(,1,)=E(,2,),D(,1,)D(,2,),则自动包装机,_,质量很好,.,21/63,【,解析,】,因为,E(,1,)=E(,2,),所以甲、乙两机包装重量平均水平一样,.,D(,1,)D(,2,),说明甲机包装重量差异大,不稳定,.,所以乙机质量好,.,答案,:,乙,22/63,6.,若随机变量,X,分布列如表,:,其中,x,y,z,成等差数列,若,E(X)=,求,D(X).(,仿照教材,P66,例,4,解析过程,),X,0,1,2,P,x,y,z,23/63,【,解析,】,E(X)=0 x+1y+2z=y+2z=,又,x+y+z=1,且,2y=x+z,所以,x=,y=,z=0,所以,D(X)=,24/63,类型一随机变量方差性质及计算,【,典例,1】,(,开封高二检测,),已知随机变量,和,其中,=10+2,且,E()=22,若,分布列以下表,求,D(),及,D().,25/63,【,解题指南,】,由条件及分布列性质列出,m,n,方程组求出,m,n,值,.,再代入方差公式即可求出,D(),进而再利用方差性质计算,D().,26/63,【,解析,】,因为,E()=E(10+2)=10E()+2=22,所以,E()=2,即,:1 +2m+3n+4 =2,所以,2m+3n=,又,m+n=,由得,27/63,故,D()=(1-2),2,+(2-2),2,+(3-2),2,+(4-2),2,=,D()=D(10+2)=100D()=100 =.,28/63,【,延伸探究,】,1.,本例条件不变,试求随机变量,及,标准差,.,【,解析,】,因为,D()=,D()=,所以,与,标准差分别为,29/63,2.,若本例条件换为“,=10+2,E()=,分布,列为 ”,其余条件不变,试求,D(),D().,30/63,【,解析,】,因为,=10+2,所以,E()=10E()+2,故,E()=,所以,又因为,所以,故,D()=,D()=D(10+2)=100D()=,31/63,【,方法总结,】,1.,求离散型随机变量,方差、标准差步骤,(1),了解,意义,写出,可能取全部值,.,(2),求,取各个值概率,写出分布列,.,(3),依据分布列,由数学期望定义求出,E().,32/63,(4),依据方差、标准差定义求出,D(),.,若,B(n,p),则无须写出分布列,直接用公式计算即可,.,33/63,2.,离散型随机变量方差性质应用及运算注意点,(1),简化运算,:,当求随机变量,期望与方差时,可首先分析,是否服从二项分布,假如服从,则用公式求解,可大大降低运算量,.,(2),性质应用,:,注意利用,E(a+b)=aE()+b,及,D(a+b)=a,2,D(),求期望与方差,.,34/63,【,赔偿训练,】,随机变量,取值为,0,1,2,若,P(=0)=,E()=1,则,D()=_.,【,解题指南,】,依据离散型随机变量均值与方差相关知识计算,.,35/63,【,解析,】,设,=1,时概率为,p,则,E()=0 +1p+2 =1,解得,p=,故,D()=(0-1),2,+(1-1),2,+(2-1),2,=.,答案,:,36/63,类型二两点分布与二项分布方差,【,典例,2】,为预防风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物,.,某人一次种植了,n,株沙柳,.,各株,沙柳成活是否是相互独立,成活率为,p,设,为成活,沙柳株数,数学期望,E(),为,3,标准差 为,.,37/63,(1),求,n,和,p,值,并写出,分布列,.,(2),若有,3,株或,3,株以上沙柳未成活,则需要补种,.,求需要补种沙柳概率,.,38/63,【,解题指南,】,(1),显然随机变量,服从二项分布,利用数学期望值与方差值列出方程,解方程即可得出,n,和,p,值,.,(2),本题可看作,n,次独立重复试验,利用独立重复试验求概率即可,.,39/63,【,解析,】,由题意知,服从二项分布,B(n,p),P(=k)=p,k,(1-p),n-k,k=0,1,n.,(1),由,E()=np=3,D()=np(1-p)=,得,1-p=,从而,n=6,p=.,分布列为,40/63,(2),记,“,需要补种沙柳,”,为事件,A,则,P(A)=P(3),得,P(A)=,或,P(A)=1-P(3)=1-,所以需要补种沙柳概率为,.,41/63,【,方法总结,】,常见分布列方差求法,(1),定类型,:,二项分布与独立重复试验紧密相关,在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验,将问题转化为二项分布求解,.,(2),用公式,:,假如明确随机变量,X,服从两点分布或二项分布时,可不用列出分布列,直接由公式求出,.,42/63,【,巩固训练,】,设一次试验成功率为,p,进行,100,次独立重复试验,问当,p,为何值时,成功次数标准差值最大,?,并求其最大值,.,43/63,【,解析,】,设成功次数为随机变量,X.,由题意知,:X,B(100,p),则,因为,D(X)=100p(1-p)=100p-100p,2,把上式看作一个以,p,为自变量二次函数,易知当,p=,时,D(X),有最大值,25,所以 最大值为,5,即当,p=,时,成功次数标准,差值最大,最大值为,5.,44/63,【,赔偿训练,】,设一随机试验结果只有,A,和 且,P(A)=m,令随机变量 则,X,方差,D(X),等于,(,),A.m,B.2m(1-m),C.m(m-1)D.m(1-m),【,解析,】,选,D.,依题意,X,服从两点分布,则,D(X)=m(1-m).,45/63,类型三均值与方差综合应用,【,典例,3】,A,B,两个投资项目标利润率分别为随机变量,X,1,和,X,2,依据市场分析,X,1,和,X,2,分布列分别以下表,:,46/63,(1),在,A,B,两个投资项目上各投资,100,万元,Y,1,和,Y,2,分别表示投资项目,A,和,B,所取得利润,求方差,D(Y,1,),D(Y,2,).,(2),将,x(0 x100),万元投资项目,A,(100-x),万元投资项目,B,f(x),表示投资项目,A,所得利润方差与投资项目,B,所得利润方差和,.,求,f(x),最小值,并指出,x,为何值时,f(x),取得最小值,.,47/63,【,解题指南,】,(1)Y,1,和,Y,2,分别表示投资项目,A,和,B,所取得利润,依据两个投资项目标利润率,X,1,和,X,2,分布列,能够得到,Y,1,和,Y,2,分布列,再分别求出变量方差,.,(2),依据题意知,f(x),表示投资,A,项目所得利润方差与投资,B,项目所得利润方差和,.,写出用,x,表示方差解析式,结合二次函数最值问题,得到结果,.,48/63,【,解析,】,(1),依据题意,知,Y,1,和,Y,2,分布列分别以下表,:,49/63,从而,E(Y,1,)=50.8+100.2=6,D(Y,1,)=(5-6),2,0.8+(10-6),2,0.2=4,E(Y,2,)=20.2+80.5+120.3=8,D(Y,2,)=(2-8),2,0.2+(8-8),2,0.5+(12-8),2,0.3=12.,50/63,(2)f(x)=,当,x=,时,f(x)=3,为最小值,.,51/63,【,方法总结,】,解均值与方差综合问题时注意事项,(1),离散型随机变量分布列、均值和方差是三个紧密联络有机统一体,普通在试题中综合在一起考查,其解题关键是求出分布列,.,(2),在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件概率公式计算概率,并注意结合分布列性质,简化概率计算,.,52/63,(3),在计算均值与方差时要注意利用均值和方差性质以防止一些复杂计算,.,若随机变量,X,服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解,.,53/63,【,巩固训练,】,袋中有,20,个大小相同球,其中记上,0,号有,10,个,记上,n,号有,n,个,(n=1,2,3,4).,现从袋中任取一球,表示所取球标号,.,(1),求,分布列、均值和方差,.,(2),若,=a+b,E()=1,D()=11,试求,a,b,值,.,54/63,【,解析,】,(1),分布列为,则,E()=,D()=(0-1.5),2,+(1-1.5),2,+(2-1.5),2,+(3-1.5),2,+(4-1.5),2,=2.75.,55/63,(2),由,D()=a,2,D(),得,a,2,2.75=11,得,a=2.,又,E()=aE()+b,所以,当,a=2,时,由,1=21.5+b,得,b=-2;,当,a=-2,时,由,1=-21.5+b,得,b=4.,所以 即为所求,.,56/63,【,赔偿训练,】,甲、乙两个野生动物保护区有相同自然环境,且野生动物种类和数量也大致相等,而两个保护区内每个季度发觉违反保护条例事件次数分布列分别为,:,甲保护区,:,1,0,1,2,3,P,0.3,0.3,0.2,0.2,57/63,乙保护区,:,试评定这两个保护区管理水平,.,2,0,1,2,P,0.1,0.5,0.4,58/63,【,解析,】,甲保护区违规次数,1,均值和方差为,:,E(,1,)=00.3+10.3+20.2+30.2=1.3;,D(,1,)=(0-1.3),2,0.3+(1-1.3),2,0.3+(2-1.3),2,0.2+(3-1.3),2,0.2=1.21;,59/63,乙保护区违规次数,2,均值和方差为,:,E(,2,)=00.1+10.5+20.4=1.3.,D(,2,)=(0-1.3),2,0.1+(1-1.3),2,0.5+(2-1.3),2,0.4=0.41.,60/63,因为,E(,1,)=E(,2,),D(,1,)D(,2,),所以两个保护区内每季度发生违规平均次数是相同,但乙保护区内违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区违规事件次数相对分散和波动,.,61/63,【,课堂小结,】,1.,知识总结,62/63,2.,方法总结,离散型随机变量方差求法,(1),定义法,:,直接借助均值,利用定义式求解,.,(2),公式法,:,若,X,服从两点分布或二项分布可用公式直接求解,.,63/63,