高考数学复习第九章平面解析几何9.3圆的方程文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

,9.3,圆方程,1/51,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/51,基础知识自主学习,3/51,圆定义与方程,知识梳理,定义,平面内到 距离等于 点集合叫圆,方,程,标准,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,(,r,0),圆心,_,_,半径为,_,普通,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,充要条件：,_,圆心坐标：,_,半径,r,_,定点,定长,(,a,，,b,),r,D,2,E,2,4,F,0,4/51,知识拓展,1.,确定圆方程方法和步骤,确定圆方程主要方法是待定系数法，大致步骤为,(1),依据题意，选择标准方程或普通方程；,(2),依据条件列出关于,a,，,b,，,r,或,D,，,E,，,F,方程组；,(3),解出,a,，,b,，,r,或,D,，,E,，,F,代入标准方程或普通方程,.,5/51,2.,点与圆位置关系,点和圆位置关系有三种,.,圆标准方程,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，点,M,(,x,0,，,y,0,),(1),点在圆上：,；,(2),点在圆外：,；,(3),点在圆内：,.,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,r,2,(,x,0,a,),2,(,y,0,b,),2,0.(,),(4),方程,x,2,2,ax,y,2,0,一定表示圆,.(,),(5),若点,M,(,x,0,，,y,0,),在圆,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0,外，则,Dx,0,Ey,0,F,0.,(,),7/51,考点自测,1.(,教材改编,),圆心是,(,2,3),，且经过原点圆标准方程为,_.,(,x,2),2,(,y,3),2,13,易得,r,.,答案,解析,8/51,2.,方程,x,2,y,2,mx,2,y,3,0,表示圆，则,m,范围是,_,_.,将,x,2,y,2,mx,2,y,3,0,化为圆标准方程得,(,x,),2,(,y,1),2,1,3.,由其表示圆可得,20,，解得,m,0,，,所以圆心到直线,2,x,y,0,距离,解得,a,2,，所以圆,C,半径,r,CM,3,，,所以圆,C,方程为,(,x,2),2,y,2,9,，即,x,2,y,2,4,x,5,0.,14/51,(2)(,课标全国,),一个圆经过椭圆,1,三个顶点，且圆心在,x,轴正半轴上，则该圆标准方程为,_.,答案,解析,由题意知圆过,(4,0),，,(0,2),，,(0,，,2),三点，,(4,0),，,(0,，,2),两点垂直平分线方程为,y,1,2(,x,2),，,令,y,0,，解得,x,，圆心为,，半径为,.,所以圆标准方程为,(,x,),2,y,2,.,15/51,(1),直接法：依据圆几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程,.,(2),待定系数法,若已知条件与圆心,(,a,，,b,),和半径,r,相关，则设圆标准方程，依据已知条件列出关于,a,，,b,，,r,方程组，从而求出,a,，,b,，,r,值；,若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆普通方程，依据已知条件列出关于,D,，,E,，,F,方程组，进而求出,D,，,E,，,F,值,.,思维升华,16/51,跟踪训练,1,(,苏州一模,),圆心在直线,2,x,y,7,0,上圆,C,与,y,轴交于,A,(0,，,4),，,B,(0,，,2),两点，则圆,C,标准方程为,_.,答案,解析,设圆标准方程为,(,x,a,),2,(,y,b,),2,r,2,，,(,x,2),2,(,y,3),2,5,故圆,C,标准方程为,(,x,2),2,(,y,3),2,5.,17/51,题型二与圆相关最值问题,例,2,(,盐城检测,),已知点,(,x,，,y,),在圆,(,x,2),2,(,y,3),2,1,上，求,x,y,最大值和最小值,.,解答,设,t,x,y,，则,y,x,t,，,t,可视为直线,y,x,t,纵截距，,x,y,最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距最大值和最小值，即直线与圆相切时纵截距,.,由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，,即,1,，,解得,t,1,或,t,1.,x,y,最大值为,1,，最小值为,1.,几何画板展示,18/51,引申探究,1.,在例,2,条件下，求,最大值和最小值,.,解答,可视为点,(,x,，,y,),与原点连线斜率，,最大值和最小值就是与该圆有公共点过原点直线斜率最大值和最小值，即直线与圆相切时斜率,.,设过原点直线方程为,y,kx,，由直线与圆相切得圆心到直线距离等于半径，,即,1,，解得,k,2,或,k,2,.,最大值为,2,，最小值为,2,.,几何画板展示,19/51,2.,在例,2,条件下，求,最大值和最小值,.,解答,求它最值可视为求点,(,x,，,y,),到定点,(,1,2),距离最值，可转化为圆心,(2,，,3),到定点,(,1,2),距离与半径和或差,.,又圆心到定点,(,1,2),距离为,，,最大值为,1,，最小值为,1.,20/51,与圆相关最值问题常见类型及解题策略,(1),与圆相关长度或距离最值问题解法,.,普通依据长度或距离几何意义，利用圆几何性质数形结合求解,.,(2),与圆上点,(,x,，,y,),相关代数式最值常见类型及解法,.,形如,u,型最值问题，可转化为过点,(,a,，,b,),和点,(,x,，,y,),直线斜率最值问题；,形如,t,ax,by,型最值问题，可转化为动直线截距最值问题；,形如,(,x,a,),2,(,y,b,),2,型最值问题，可转化为动点到定点,(,a,，,b,),距离平方最值问题,.,思维升华,21/51,跟踪训练,2,(,扬州模拟,),已知实数,x,，,y,满足方程,x,2,y,2,4,x,1,0.,求：,(1),最大值和最小值；,解答,如图，方程,x,2,y,2,4,x,1,0,表示以点,(2,0),为圆心，以,为半径圆,.,设,k,，即,y,kx,，,则圆心,(2,0),到直线,y,kx,距离为半径，,即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值,.,由,，解得,k,2,3,，,k,max,，,k,min,.,22/51,(2),y,x,最小值；,解答,设,y,x,b,，则,y,x,b,，,当且仅当直线,y,x,b,与圆切于第四象限时，截距,b,取最小值，,由点到直线距离公式，得,即,b,2,，,故,(,y,x,),min,2,.,23/51,(3),x,2,y,2,最大值和最小值,.,解答,x,2,y,2,是圆上点与原点距离平方，故连结,OC,，,与圆交于,B,点，并延长交圆于,C,，则,(,x,2,y,2,),max,(,OC,),2,(2,),2,7,，,(,x,2,y,2,),min,OB,2,(2,),2,7,.,24/51,题型三与圆相关轨迹问题,例,3,(,盐城模拟,),已知圆,x,2,y,2,4,上一定点,A,(2,0),，,B,(1,1),为圆内一点，,P,，,Q,为圆上动点,.,(1),求线段,AP,中点轨迹方程；,解答,设,AP,中点为,M,(,x,，,y,),，,由中点坐标公式可知，,P,点坐标为,(2,x,2,2,y,).,因为,P,点在圆,x,2,y,2,4,上，,所以,(2,x,2),2,(2,y,),2,4,，,故线段,AP,中点轨迹方程为,(,x,1),2,y,2,1.,几何画板展示,25/51,(2),若,PBQ,90,，求线段,PQ,中点轨迹方程,.,解答,设,PQ,中点为,N,(,x,，,y,),，在,Rt,PBQ,中，,PN,BN,.,设,O,为坐标原点，连结,ON,，则,ON,PQ,，,所以,OP,2,ON,2,PN,2,ON,2,BN,2,，,所以,x,2,y,2,(,x,1),2,(,y,1),2,4.,故线段,PQ,中点轨迹方程为,x,2,y,2,x,y,1,0.,几何画板展示,26/51,求与圆相关轨迹问题时，依据题设条件不一样常采取以下方法,(1),直接法，直接依据题目提供条件列出方程,.,(2),定义法，依据圆、直线等定义列方程,.,(3),几何法，利用圆几何性质列方程,.,(4),代入法，找到要求点与已知点关系，代入已知点满足关系式等,.,思维升华,27/51,跟踪训练,3,(,天津模拟,),设定点,M,(,3,4),，动点,N,在圆,x,2,y,2,4,上运动，以,OM,、,ON,为两边作平行四边形,MONP,，求点,P,轨迹,.,解答,几何画板展示,28/51,如图所表示，设,P,(,x,，,y,),，,N,(,x,0,，,y,0,),，,则线段,OP,中点坐标为,，,线段,MN,中点坐标为,因为平行四边形对角线相互平分，,29/51,从而,又,N,(,x,3,，,y,4),在圆上，,故,(,x,3),2,(,y,4),2,4.,所以所求轨迹为圆：,(,x,3),2,(,y,4),2,4,，,但应除去两点,和,(,点,P,在直线,OM,上情况,).,30/51,典例,在平面直角坐标系,xOy,中，曲线,y,x,2,6,x,1,与坐标轴交点都在圆,C,上，求圆,C,方程,.,利用几何性质巧设方程求半径,思想与方法系列,19,本题可采取两种方法解答，即代数法和几何法,.,(1),普通解法,(,代数法,),：能够求出曲线,y,x,2,6,x,1,与坐标轴三个交点，设圆方程为普通式，代入点坐标求解析式,.,(2),巧妙解法,(,几何法,),：利用圆性质，知道圆心一定在圆上两点连线垂直平分线上，从而设圆方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法计算量小，所以平时训练多采取几何法解题,.,思想方法指导,规范解答,31/51,解,普通解法,(,代数法,),曲线,y,x,2,6,x,1,与,y,轴交点为,(0,1),，,与,x,轴交点为,(3,，,0),，,(3,，,0),，,设圆方程是,x,2,y,2,Dx,Ey,F,0(,D,2,E,2,4,F,0),，,则有,解得,故圆方程是,x,2,y,2,6,x,2,y,1,0.,32/51,巧妙解法,(,几何法,),曲线,y,x,2,6,x,1,与,y,轴交点为,(0,1),，,与,x,轴交点为,(3,，,0),，,(3,，,0).,故可设,C,圆心为,(3,，,t,),，,则有,3,2,(,t,1),2,(),2,t,2,，解得,t,1.,则圆,C,半径为,3,，,所以圆,C,方程为,(,x,3),2,(,y,1),2,9,，,即,x,2,y,2,6,x,2,y,1,0.,33/51,课时作业,34/51,1.(,南通模拟,),已知点,A,(1,，,1),，,B,(,1,1),，则以线段,AB,为直径圆标准方程是,_.,答案,解析,x,2,y,2,2,AB,中点坐标为,(0,0),，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,圆标准方程为,x,2,y,2,2.,35/51,2.,已知圆,M,圆心,M,在,y,轴上，半径为,1,，直线,l,：,y,2,x,2,被圆,M,所截得弦长为,，且圆心,M,在直线,l,下方，则圆,M,标准方程是,_.,答案,解析,x,2,(,y,1),2,1,点,M,到,l,距离,d,设,M,(0,，,a,),，所以,，,又因为,a,0,，即,a,2.,圆关于直线,y,x,2,b,成轴对称图形，,点,(1,，,3),在直线上，则,b,2.,a,b,2,a,4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,(,，,4),40/51,7.(,常州模拟,),已知圆,C,过点,(,1,0),，且圆心在,x,轴负半轴上，直线,l,：,y,x,1,被该圆所截得弦长为,，则过圆心且与直线,l,平行直线方程为,_.,答案,解析,设圆方程为,(,x,a,),2,y,2,r,2,(,a,0,，,b,0),，,由题意得,a,2,b,0,，,且,a,2,(),2,b,2,，,解得,a,2,，,b,1.,所求圆标准方程为,(,x,2),2,(,y,1),2,4.,43/51,10.(,无锡模拟,),已知两点,A,(,1,0),，,B,(0,2),，点,P,是圆,(,x,1),2,y,2,1,上,任意一点，则,PAB,面积最大值与最小值分别是,_.,答案,解析,如图，圆心,(1,0),到直线,AB,：,2,x,y,2,0,距离,d,故圆上点,P,到直线,AB,距离最大值是,最小值是,又,AB,，故,PAB,面积最大值和最小值分别,是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,44/51,11.,已知圆,C,经过,P,(4,，,2),，,Q,(,1,3),两点，且在,y,轴上截得线段长为,，半径小于,5.,(1),求直线,PQ,与圆,C,方程；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/51,由题意知直线,PQ,方程为,x,y,2,0.,因为线段,PQ,垂直平分线方程是,y,x,，,设圆心,C,(,a,，,b,),，半径为,r,，,即,y,x,1,，所以,b,a,1.,由圆,C,在,y,轴上截得线段长为,，,知,r,2,(),2,a,2,，,可得,(,a,1),2,(,b,3),2,12,a,2,，,由,得,a,1,，,b,0,或,a,5,，,b,4.,当,a,1,，,b,0,时，,r,2,13,，满足题意，,当,a,5,，,b,4,时，,r,2,37,，不满足题意,.,故圆,C,方程为,(,x,1),2,y,2,13.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/51,(2),若直线,l,PQ,，且,l,与圆,C,交于点,A,，,B,，且以线段,AB,为直径圆经过坐标原点，求直线,l,方程,.,解答,设直线,l,方程为,y,x,m,(,m,2),，,A,(,x,1,，,m,x,1,),，,B,(,x,2,，,m,x,2,).,由题意可知,OA,OB,，即,0,，,化简得,2,x,1,x,2,m,(,x,1,x,2,),m,2,0.,x,1,x,2,(,m,x,1,)(,m,x,2,),0,，,由,得,2,x,2,2(,m,1),x,m,2,12,0,，,x,1,x,2,m,1,，,x,1,x,2,，,m,4,或,m,3,，经检验都满足题意，,直线,l,方程为,x,y,4,0,或,x,y,3,0.,代入,，得,m,2,12,m,(1,m,),m,2,0,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/51,12.,在平面直角坐标系,xOy,中，已知圆,P,在,x,轴上截得线段长为,，在,y,轴上截得线段长为,.,(1),求圆心,P,轨迹方程；,解答,设,P,(,x,，,y,),，圆,P,半径为,r,.,则,y,2,2,r,2,，,x,2,3,r,2,.,y,2,2,x,2,3,，即,y,2,x,2,1.,圆心,P,轨迹方程为,y,2,x,2,1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/51,(2),若,P,点到直线,y,x,距离为,，求圆,P,方程,.,解答,设,P,点坐标为,(,x,0,，,y,0,),，,则,，即,|,x,0,y,0,|,1.,y,0,x,0,1,，即,y,0,x,0,1.,当,y,0,x,0,1,时，,由,1,，得,(,x,0,1),2,1.,r,2,3.,圆,P,方程为,x,2,(,y,1),2,3.,当,y,0,x,0,1,时，由,1,，得,(,x,0,1),2,1.,r,2,3.,圆,P,方程为,x,2,(,y,1),2,3.,总而言之，圆,P,方程为,x,2,(,y,1),2,3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/51,*13.,已知,M,为圆,C,：,x,2,y,2,4,x,14,y,45,0,上任意一点，且点,Q,(,2,3).,(1),求,MQ,最大值和最小值；,解答,由圆,C,：,x,2,y,2,4,x,14,y,45,0,，,可得,(,x,2),2,(,y,7),2,8,，,所以圆心,C,坐标为,(2,7),，半径,r,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/51,(2),若,M,(,m,，,n,),，求,最大值和最小值,.,解答,可知,表示直线,MQ,斜率，,设直线,MQ,方程为,y,3,k,(,x,2),，,即,kx,y,2,k,3,0,，,k,.,由直线,MQ,与圆,C,有交点，,可得,2,k,2,，,所以,最大值为,2,，最小值为,2,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/51,