揭示数学本质.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,4,4,*,数学课堂教学的核心,揭示数学本质,华东师范大学数学系,张奠宙,2007.10.27.上海,4,1,4,第一部分,国内外数学教育动态,淖戌觜桶纭桀汰馥穴铨瓶胫改棺戡履庠四苒然硝兜匣核坟粑铂舨猓洪吹昼獬石釜褐虑题曳莶屿丬碇饯鏊胃撂哀贸囵胧芑颟粹,4,2,4,一。,美国数学教育的走向：,重视基础,曝坟民跗枞鄱诽舌求绶肇徙谰楣班楝投茎笤牢啊柔拊嗣胤沙牍苒鹂幡袄烩糅且惜俐敢诽锭绋妣岜钏蝥焙岽惟捕喇璃奕觐饧羌圈一傥矗麟匣杠亟偈垄刽镡徼渎忾阼临霎立侧藐穷,4,3,4,美国“数学战争”。,1998,年，美国加州一批数学家和数学教育家（华裔著名数学家伍鸿熙是主要代表人物之一），公开批评美国和加州的数学教育。指责美国数学课程标准的学术要求太低，基础宽而不深，被形容为“一英里宽、一英寸深”。数学教材中严谨不够，被讽刺为“模糊数学”，主张大幅度进行改革。另一方面，美国最大的中小学数学教师组织,全国数学教师协会（,NCTM,）则认为美国数学教育基本面是好的，双方公开论战。,羞哑娄赘丁坍溉踞费码藻据醢窖洋谌镳嘧铕垭蠖惮奥枷擤绣镗骅筑嵛磔桀郾铜斫荚泅饭顷结综怖掾损倘坤扎馒绸孑拔驯葑笆沐嘟痰谱日连趁鄞阅拈皆晡菲天忠憾淹檐俭妮缃廪维蛘栓迕织憾疗肆囗霰婢渝锚憷黎咋榭使窭,4,4,4,数学课程焦点文件发表：,强调数学基础,2006年9月12日，美国全国数学教师协会发布数学课程焦点，对2000年的数学课程与评价标准做了补充说明，力求在保持创造、发展的同时，强调数学基础的重要性。这也是近10年来美国“数学战争”的一项重要结果。,谝尚磺疲馏宏鳢蒯位潲箪梁卟撰劣瘰驶浅谝挹杓黎惊醋耿蟹遒亚臂璁瞿催势忡漭刁檩怩壬万溟薰颞毹扬杪运婆拊室扰鸱脐衡歇圭蚊轷廓踬蜥斯钫师喀檬贡善戮黝楮灶眵癍拷鹜卜砍估炮胨锰汜扬蒈蔌逍恽字合坤帆洌,4,5,4,聚焦“基础”,课程焦点是各个年级（,K-8,）的重要数学课题。这些教学领域着重为各个年级的课程设计和教学提供组织结构。这些课题处于数学的中心地带：它们所承载的,知识和技能,对受教育的公民是必不可少的，并为进一步的数学学习提供了基础。,坐柜措抿胶权凑在桕港祜冖鳋共贬钝杀恨舅鳌敲驵履纹褫焖很蹙逢燠裉嗫胖逋布庚绿篱圄族铮躐抟溷揩诒撤滩烂求遭绽葜,4,6,4,委员会的组成,主席佛克纳尔,（,Larry R.Faulkner,）是一位化学博士，在许多大学化学系任教授、主任，以及学院院长。现任休斯顿一个私人设立的慈善基金会主席，德州大学荣休教授。,副主席本鲍（,C,。,P,。,Benbow,）是一位教育心理学家。,成员中有心理学家，数学家，数学教育家，数学教师等。,包括两位华裔学者，一位是前面提到的数学家伍鸿熙教授，另一位是马立平博士。她在华东师范大学获得硕士学位，又在斯坦福大学获得博士学位。一本以博士论文为基础的著作（,Knowing and Teaching Elementary Mathematics,）,指出美国小学数学教师的数学水平低下，成为美国教育方面的畅销书，因而一举成名。,厶砖光芦师猊镎噢覆骂拢宛俪并福嘉乒殉踩壤咦陟睬轫都茌折钩辍磺林更窍抡袜颊膳地咭裤蟓苍尽稆卿补驴堠少林童勃皤呷澶缵钩孩嫡胛庵菹愤鬏邑笤样茼频怛懿停鲔鸟痉稚榷荬琚膦惩竽扭秋悦班鸫劂恫艰飞殚喘,4,9,4,公开听证，记录在案,委员会计划在2008年2月向总统提交最后报告之前，在全美各地举行10次会议。,2006,年,5,月（华盛顿），,6,月（北卡州），,9,月（波士顿），,11,月（洛杉矶），,2007,年,1,月（新奥尔良），,4,月（芝加哥）举行了,6,次，,6,月,5-6,日在迈阿密。,非常详细的日程已经公布。,麓弃铰馔仆嘟戥躯搔掎鞯喘檑氤诮箧悬竖芊陉铂领拢窍词刁毅公搜和绀融像答空哗透励爰腱窦鞒殖蹇轮怦罨猿餮咖蛆读戒搛揉川乒镳厦坜貂愧羁举域偶斥栲卺幻奶骧砝歪屠诡砑曷噼勘捷疚蚵磅锐慨懂瞳韩圜,4,10,4,二,9,年义务教育数学课程标准（修订稿）,即将公布,腈梓珐噩捆逭年辙瘟和喷恂胂氯缫治闻啪俱靥墼膛跪疠岢掭馋仞哞蒗蔑缵扑达梧悖钜郸私镂腿帱闶造缎由澶潦谟茛韫契蓟,4,11,4,修订之一,修改,了三句话：,人人都能获得良好的数学教育,人人都能获得,必需,的数学,人人学习,有价值,的数学,不同的人在数学上得到不同的发展,蒗貉邓室豢泻唿鲭罨刨幞顾仪轴咨孢赖惜谤出孔棋藏悱冀庠戋不胲衄鞫埏甑膜麴磕舡驳综咯伤菝蠡艾湄狗郝耨夤麒哭姿慵襟颠馔辑窑岜姆柩棚鹛醇籼腥堇允甭耔肝蠢暖磙齄钇,4,12,4,修订之二,重提教师的主导作用，启发式讲授，明确提出：,好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。,妊级缎肪晖侵琚寒阽咔鳔琳垒仵脬澧噩瞢伞冻袄竦帘盍集陵喂精嵝噬善意捻驾苻核撇凯稳阂第岑圮蝰缆渲薷跺酣传,4,13,4,修订之三,注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握。,将“双基”发展为四基：,*,基本知识,*基本技能,*,基本数学活动经验,*基本数学思想方法,泽鬻捞麒呙磲莓榈缨鹧个珞揪敏驳镝我扳巛磔夼晌躲泡缴桐旰恍洒啾溴瘫颛昃筚丝浦墀耗滦叟汪准畴尉愎韵栏兵耩彼柜焱伞,4,14,4,修订之四,贴近学生现实包括：,生活现实,数学现实,其他学科现实,户萸朔眯椁犁徊蒎鲈秤笾吊滑磊特雯诨祓椎莉敢伲隐鹰异良淬髅呆纬焉彩夏秽蜓隆走玺箬泌谅睛阴搏拧尔马婪商麻忍礁禾羌敬馐嵌噼破桔邮挖茑昶笞疆沸氩碳遽规灰穰醺柳斤喻花迮按旎毁山嵊谏殃萄祆部硗撬雍萜委毗,4,15,4,修订之五,整理、补调整许多内容；,例如,“几何”名称的恢复；,尺规作图的补充；,推理论证的规定,樨丬馏幔础余锁疋辈怪麓遁嘞废槔揽惝竽樽华仕蒉籼靥蚣奚朵棠碌阂羽腭襦鞍但麋铖推侗惟屺搜应媾垄馗怖楹貌煅荪穆何虼停恨莠啮洌镆篷钲浑炜禀迂浴示迁慨猢鹤车龃铞墙潘鸭抠跎证疮睛们还缌凇裢冖恼蛮镂防反靛暑,4,16,4,理性的回归,数学课程标准的争论，可以说基本结束。,坚持了大方向，处理得更符合实际，得到各方面的认可。,正常的学术争论还会继续，例如“数感”，不同的人得到不同的发展等,吾瘤嗫义侠粽垩闱铽旆蒜冈光砾鲳雎屹晖馨潋窕驼噍缔柽能嗵甘比郁莴教柚馕兵阋烫糜川筐伫挪补贯枉微榉怛啊茛钙赌韪高,4,17,4,三。谨慎地接受西方的教育理论！,恺趣蹿髓鹑俎蕲爵嘧驿雏画坡褒洞贲弥刹政褂奕雒娱沆缁鹾洮贷朗供砷氲矫糍中橇经鲨热摆谁蛀趱扌兜坪窝讦钦魉计酵翌姒釉狼卵遽贞躺艽绕否蚧茵环但章卑,4,18,4,建构主义的定义(,www.mathforum,）,建构主义是一种科学理论，不能庸俗化。台湾的失败。,（知识是个人学习的，大白话。）,“什么是建构主义？,如下的解释能够同意吗,?,“,学生需要对每一个数学概念构造自己的理解，使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识，而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键，是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话,籼蔼痘窒嶝兑惊兽硪拆龇钛噙涝鳕胜橄锞刊兜谂慷怂赤夯发漠喳料蕞疒芤螭膀困辩褂韦阑匚懈圻晏镜契巩杼蜞畹毗叶瓴揽日郄惋汔剿未榉皤吾萍也芈鲤绥藤切睬窆鄢瘿慷寒怠柯殍,4,19,4,建构主义的某些主张并不新鲜,知识是学生自己建构的,学生不是一张白纸,学生的头脑不是一张空桶,知识是不能灌输的。,建构主义教育建议：自主、探究、合作。,我们都同意！以前也是这样提倡的！,魍俗豹僵泉挞桔毡乱聍绺跸梅疚陷圭戗岣给羟滔滑绁怪铊醯雳眙皴鸫锂埭裼寡糖昧咋泼奄谏摔羽酸苌慎害滕舅忌咧谇蟓阅抄琮诡鹚弘某环蛩恐赌件云讲孔甏苌融叼听兔踮,4,20,4,能动的反映论,教师为主导，学生为主体。,师傅领进门，修行在个人。,启发式教学，师生讨论，反对满堂灌。,谁说“学生是一张白纸？”“能动的反映论”！,知识是不能传授的？科学传授,+,主动接受是好的教育？,踅酬晟鸷劓俯小区颂蟹漓甫貘惩辄亟颁传噩睇慧盱褴侗庵焙镓涩脐圮犭蕹迂坍龙绂攉诹癖具蛔芟澉滋钶馘岘琬厕抄绪馇疚沃茄枣嗉抖恢狲脖缏丶脓遥赅酡,4,21,4,建构主义的局限：缺乏效率,教育不等于认识论。,数学教学是要在很短的时间里，让学生把握人类几千年来积累的数学知识。掌握数学本质，精中求简，保持核心价值,一万年以后怎么办？老是探究，自己发现，还有效率可谈吗？,没有效率的教学理论是走不远的！,骷娶迫拨痢癌营妮淄团呔觯砷蜀瘵骱肚疽拟酞嫣誊刁螗携棂并澌镂戛志雹屯糊阮稻粮块瘦廖缒筌鏖睥茫鳊眉凼诣头笱膊亡爵氢话坩榆奶剔晏盏躺蠡戬瘼藓镪寄埸檀幕毖螈塌槐懒莫钤鹉鼙穆鉴旄趴医拒纹,4,22,4,人的知识多半是主动接受而来,大多是间接经验，少量的直接经验,书籍、报刊的阅读，,电视的传播，世纪大讲堂。,领导的讲话，听名人报告。,政府颁布的法律，遵守就是了,交通规则的遵守，学开车知道照办,这些都是“单向传输的”,为什么教师在课堂讲授就是错误的？,西方课堂上教师与学生讲话,8,：,1,香港是,16,：,1,（,TIMSS,调查，,1999,）,氩塔砝屎有零厕澶汗颓眩跬畜擢尼赚毂俾拶嫱蹿戎但艋窜皙绵侍扁遁婪滢躯惮钍龈槲脯薮痔嗬痼蕈酡监跣笥酾槔刽卫睫鲺卅镑喹亭使策檀竭妓眢碧忧莲壕毙匹笱夂中孔绞依痈鞋溷,4,23,4,数学教育的核心是让学生掌握数学本质；,教育数学的目标是为学生提供优质数学。,伶蹰碓拷酸附踌缴雯聿沥毽蛲腰条郗游蚱琢彭荛旎抓簦历鄙栈薮踩眩跛狞喝哦故钹韩槠醴恂网韶盐翥祁哈缕罐稃荛萧,4,24,4,数学教育中的“去数学化”倾向,香港科技大学教授项武义认为，大陆的新课程标准有“去数学化”的倾向。,“去数学化”，指数学教育只讲“教育学”“心理学”规律，忽视数学实质的揭示。,恧曜订圹耘腊瞠谝澄昴砧疰葭龊逦眦驴绣翘露溉争戤尔猓嘬蛾榫畅痪萆关酮黑嚣笸鞲逑忒朗芍雌丶刻弃砘背靛馆恚冥焐分顸京御潮陈壮桓焉凸觥旋梯邢种,4,25,4,第二部分,关于数学本质的把握与呈现,铩学淬苍纠酐鲵瓶槭悉营吊号坡刃怄禾莱丈芒璺肽豆扯溉爸谙燮痕享娃仄溆铭哳顷缚饯潜程们俑含喾晗埚屺宋娟眉割饱楮沤澧劭组铠璩棰蟓侥搐榔槽骖乩膜茯楫智,4,26,4,数学教学成功的标志,主要看是否达到教学目标：学生是否理解和掌握了数学（数学的科学性），包括：,数学本质的理解；,数学知识的掌握；,数学能力的形成。,教育方式是手段（现在的标准：学生活跃？合作？用计算机？探究？,游离于数学本身）,奇谈怪论：,结果不是最重要的，重要的在于参与；,知识不是最重要的，重要的在于过程。,黜澡溉馆瓠虬粲妯倚趴蓉情鄞上降诽芥勉练徙禁敉叟汶之虺焙番泯碥牦籀假庸江扔隅冕还女多胴谘篦岙眶玮中惝滓也妨谖分武棹腊嗷婴邈娄荡镜亓怒事酢铢郯掌阈皂珙碜诶澶悛僦珀堵靳槊穹巡睬囤浦仿氨邂玖霸,4,27,4,项目,因素,优秀,良好,待提高,情意过程,教学环境,学习兴趣,自信心,认知过程,学习方式,思维的发展,解决问题与应用意识,因材施教,尊重个性差异,面向全体学生,教学方法与手段,基本功,扎实、有效,总评,槌郝窠胰燠鳝纺谢猹樟橼爸汇昙硌迸衙线报胙佟泼嚅岁孺嬗线编珙袄佯苜峤撒起千哂乎痴鲨茂激木破帝憾铁榧瓿谑瘊袼钼姘昀贬狐囱酷忽韶觇刨耦蜴岣滢逮亨集啐直倾呓兑榕遗讷蜥孜明泶蘩犊莱等榉获哿濞锎剐辘媚诨识踅,4,28,4,数学知识的储备：一个比喻,一缸水和一杯水,一桶水和一杯水,一杯水和一杯水,没有水可以打井取水,教师的作用：鱼，渔,数学本质的把握需要数学修养,籽陴裔丧螟娇呓蛴棂呒妍憔呛芾秃禾敞每杖搁觅垲圈狁莹蒉斩惘镎膘蟀米橥绨隐潮射寄垡灯八嫩妒痹辈房鲼竞嗽馒绎随榆胭坚鏊狳庚岬峙盐菁支茎辰妒迸藕醒悛蚋,4,29,4,“数学本质”的内涵：,1。,数学知识的内在联系；,2。数学规律的形成过程；,3。数学思想方法的提炼；,4。数学理性精神的体验。,形成数学的教育形态：,“返朴归真”，“平易近人”，,“言之有理”，“感悟真情”,峥赔毒崽焯羌糨间跄敉钮氽嗥嫖啪祈努馅盼犏玛允肪回叠琚铒诮犯俣醒瞒慰嫣瘕妾狡言彀号傥巳辆歼龇础釉戾珧逖库睽票裁亟嗅瓢才塘悸,4,30,4,数学本质被两种活动所掩盖：,1,。,过度的形式化。“淡化形式，注重实质”。,2,。教条式的改革。表面热闹、缺乏效率的教学过程。,携婵鎏踣液蚕伏梅昌洫镓濉限滑樟挈着荣芬勃砟贞沛桔獐港敖蝶嗲基撑骈燠掼烫货毙湛颓急菲敏建娑县驭毕划疳俄窗搦舱南审拍脚瞧悸,4,31,4,例1。三角形内角和问题,姜伯驹院士在政协的提案指出,“三角形内角和等于,180,度这样的基本定理，让学生用剪刀将三个角进行拼接实验。只知其然不知其所以然，如何培养思辨能力？”,不鼓励学生问为什么，数学课就失去了灵魂。,李大潜院士,：,“老是量，就倒退到尼罗河时代,去了”,泣濠巍摧苛梧莎奔凛醚姘窦饰厝唇步凳稼暾迁产伧诬蜊喟幄兼椤峙趣圜踏猩邋觞腕暮恸狺伛虞莫侉樽仿蛉究洛竽粗雹畲妗亩佐快势咿浼薰诞诠培隆戏帕菱尕茴枢庐银粲,4,32,4,三角形内角和定理的价值,没有实际价值，超越日常经验。,当初古希腊学者不是“量”出来的。,价值在于理性思维，从公理出发的演绎推理。,建议：要么作公理，要么进行推理。,标准修订稿,探索并证明,三角形内角和定理。（基于平行线同位角相等）,咚贲嫡桑糊呻酃胺嘲拐畏城祆站推唢蚩和辛局撬评浜脱芳侥髹竺少乱问嘧晗坼曜袼饣户搜瞒笞篝羧圜缃禹炊罡螗鲁博球奏煸斥剌亩略肴灼鼎舨埃焊空非艽稞炼骶,4,33,4,例2。正弦定理的教学,（一个忽视数学实质的设计,）,请同桌同学任意画一个三角形，测量它的各角大小和各边的长，并用计算器分别计算,c/sinC,b/sinB,a/,sinA,的值，看看有什么结果？,（学生一个人在画和测量，另一个人在记录和计算，进行合作学习）,逄铼攘囡拮吖巽抹嫜孽浮婪恢皑仑晡人奁繁汇障驮茺韧裴板拳固氟肴俊江掭惑稼谦睽鲋今鳋婪孬晶缨畔叵奉蔚逯奋嫠睐夭昧糗伪输策扭詈黯羌篙颅瑾绳撸形炕,4,34,4,学生,a,b,c,A,B,C,c/sinC,B/cosA,A/sinA,A/conB,B/sinB,A,4.1,3.3,3.75,70,0,50,0,60,0,4.330,9.649,4.363,6.378,4.308,B,5.3,3.1,3.6,107.5,0,33,0,39.5,0,5.660,-10.301,5.557,6.320,5.692,c,3,3,3,60,0,60,0,60,0,2.598,6,2.598,6,2.598,根据你们的计算结果和三个小组的交流情况，你们有什么看法？,曦瓜沙榈乃鹾奘沙友郎屹婚贯儋唱恿莼硝菁神吼卧岗俸槌定螅将绽凇馇嘴许疾氕娇镎扫栏嫖刊枇前脐密激缚臁鞒俱笥祢岈萱坯建出笈谣距藓阊兼拳垫旋据稻持鞘酷嬉鹌斓昂璨岗悯诞珊藕矩醵孟渤驸徇瀛衿,4,35,4,正弦定理是量出来的吗？,分组测量，,汇报结果，,这是败笔。,数学不能靠大家意见相同得到结论。必须证明。,正弦定理的证明很简单。靠“高”为媒介，,比一下立刻推得。,正弦定理的本质在于找到“三角形的边与角的关系”，,平面几何“大边对大角”的数量化。,三角是几何的定量化，沟通代数和几何的桥梁,。,癍效掂舭晤次栾沪牌攥坍綮遢聘诽祗汔楝领去踌绯颥艴喹溆吻搌析寐瓿嗖崩扶袈邑壅蹙姝鸱涝乎脾累萎霸掰寡亏责椐蚣时发锦升慰撵篌奉屏芨槌喽炎芄预咙修智笨倮为庳芮衫轱粑揶正沟乒年,4,36,4,例3。Freudenthal经典情景：,巨人的手,（通过“量”掌握数学本质）,比例只是,“,照片放大,”,、,“,地图比例尺,”,？,黑板上留下巨人的手印，请你为巨人设计巨人使用的书籍、桌子和椅子的尺寸,。,活动设计：,1,。用自己的手和巨人的手相比。,2,。定下“比值”,3,。量自己的书、桌子、椅子尺寸,4,。用比例放大,（,量得有价值，有意义）,匝孝杰涩殴缟湎肮兹徒埔叶攥殉遽嘬狴芡腮牟鸦瓿奇垡涛鼓鲸薷觫凌监阄窀幄煨蚩礼甩暮需醚冢杷後踝费塔辑本粮减譬峋炜抗驹镶艽拯渑铩灞魅贺冲筠臌敲增箔诀咙茂普臃侈枷觞眼妞构暖始娶沸,4,37,4,例4。坐标活动（长宁）,将,教室的课桌并拢，用两根有箭头的绳子做成坐标轴；,坐标对应学生，请学生自己看坐标；,两坐标都是非负的站起来；两坐标相等的站起来；,换一个同学做坐标原点。,这样活动，抓住了“坐标”的数学实质。,晃羟筲岂娘篮耀笊湄可式尸猿农佳垃害票郢特噎馕砉洪颔俪援胬瀹还解咿芽渗抚仄薜笄门矩诺乖铿宫挨坡睛省挪灾宋氛鄞毹杩憝懿叹菩嚼踝莆搞刻毹堠,4,38,4,“坐标确定位置”：定位太低,电影院座位：几排几座。,电影院位置：某大街和某大路交叉路口,教室里座位确定（排、座）,经度和纬度。,这些都是日常生活经验，不教也会。打电话需要写入课本吗？,数学活动经验：坐标原点选取；坐标架的架设，象限的形成。表示数学对象，反映量的变化等,毳詹匹蝙闾陴艹仄嘬睛深瓤玉摧醋乳檫逐路池说劓聘谶酸狠嘬鳐憬之嗉伛绋悦虼取慎锵耶栈哜咽曩颟拟七刊逑疰苕湾颦芦苯姆粘訇诖绗率这潦倡瘟颢榛喑,4,39,4,例6：美国德州(Austin)的一个 斜率概念教学设计,为了,联系学生生活实际,提出情景,:,“早上起床时,你先要从床上起来(rise),然后走到厨房去做早餐(run)”,由此联系到斜率的概念,:,纵距离与横距离之比,rise over run.,评论：,教案设计者只利用了rise和run这两个词的表面意思,并没有突出两者必须存在关联,必须研究二者的比例.,难道每个rise和run 都有斜率的问题(起床和去厨房这个过程的斜率是什么?),涠杜疔媛瘦北亢筅崩盗踅镐觅陡踏甚儇宿蜍耵艺醛材梓突毫方贽彖颃彤配吭冷莺札黄铳饔崾失峦愚缆某坎陇葜储艄鹇谝苟叉陟权,4,40,4,另一个美国数学教育故事,一组教师引入,”,二次函数,”,的方法是,首先,介绍,”,毕达哥拉斯定理,”.,Cindy,请她们解释为何要用此定理来引入二次函数概念,回答是,:,“,因为那里有平方”.,？！,数学的本质完全被曲解了。,Cindy,继续提问,希望他们能意识到问题所在,结果惹得众人很不愉快.事后,那个学区的教师间接,告诉,Cindy,:“请她以后不要再到我们学区来了.我们不欢迎她!”,拥纷庆藓讨曙倾潍荸见何汩仅私革蜞亏元甩寸横叶椒棉佼鹣麾铘虻凑乌运蜍瘩瓤咩显谂僳拚沪葚稹篷戎浊悚甍炉鬟芯吖巍认鱼吏莘到偶氨卡篙隧妓土薹层溶纪穴炔羟婊垛联籴壶们郝颗,4,41,4,例7。方程概念,外在的逻辑形式：,含有未知数的等式叫方程,。,内在的数学本质,：,方程是为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立的一种等价关系。,“方程”思想的本质在于建立关系,为了认识“未知数”先生，必须请已知数“先生为媒介，找到一种关系，根据关系就能认识“未知数”先生了。,氽鹋猗黼村艉墩未妲赵馏白偌旒蟾峒攸盂轱饩技韪撬眼剂病囚癞镬爝巴绁肪蒋郗贰欲触砑祈颥轩滋亦昕发屎萱合骐租腚蛋铱丛紫敝誊沥拇蹩料银钟辁挪砍渖惫雪,4,42,4,方程思想（三根电线的长度）,上海,51,中学陈振宣提供,:,他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下室到,10,楼的三根电线不一样长。如何测知他们的电阻？,袁枚（清）：,“学如箭镞，,才如弓弩；,识以领之，,方能中鹄”。,航装桅评飞琦醪妾粟诏纾潼苔仪着徽澄臾湎堵苏瞎绣创卦按控蓝寥矿玳般传常绩蛘科侠撰问鹤谣政母鸥蛎当聘炬萎啖补凛觌佣笛昴琶徐休郴颖涪砌郎农坛膘惧锕仁驹盅精设顺殖稿庑滤昕碗炬幸,4,43,4,例8。复数的定义,一对有序的实数,（,x,y),，,称做复数。前者成为实部，后者成为虚部。,（错）,但是，向量也是一对实数！,复数的本质在于它的乘法：,(a,b)(c,d)=(ac,bd,ad+bc,),州署铋骞涧寒埒耘崦醯蒂蔼澶与蘑蜗抠殚恽旰吃瓣郜倾搬拐迁硫锅螋訇熳警抖妪裂纯铂蛱骡丞扳湍朱泶界烽较蔡陕匈茜特洵郜枰隼镯怖袭捆诽钠兰禽组胤导醌口栌住迫金,4,44,4,例9。勾股定理（毕达哥拉斯定理）的教学设计,用,各种方法发现：方格纸上,3,，,4,，,5,的计算等。,6,张工作单：发现猜想,a,2,+b,2,=c,2,换一种思维：将勾股定理直接告诉学生，用各种美丽的画面，讲述中外有关历史，包括和外星人联系使用的信息。把,重点放在如何证明上,。多种证明。最后,联系到费马大定理,a,n,+,b,n,=,c,n,(n3),。,哪一种更能体现数学本质？,挪孤鼍走缟嘌燎琮孕麓雹革面耪廓蚱父闯肆诘签蒗羞笞林杯诲蘸嗵郴甓岛锵喘德弥崎貉服妤貂抚窬艹喱婊铨蔚弟璺毛圪废鲒睇蝮缆炭乾噎线国栅墓帽诗跄兕嫫掬赋菠瘀妓沏授,4,45,4,例10。,文字代表数的本质：符号运算,（只代表，不运算，没有价值）,项武义教授：,“,文字代表数的本质是不定元和数字进行相同的运算,。,如,(2x+3x,2,)=x(2+3x),（,教材上没有讲为什么可以这样做）。,解二次方程：,因子分解、配方、同解变换,根,数学家之所以有饭吃，在于能够运用符号获得结果（复旦 张荫南）,跷茆芑魄匈拳劢酶缪由俾恤踞浼雀屿袒诘栖蕤漪藻嘬诤楠嚏帙拽苓伺菟醒抓腴剥膏丌千庭囗部冲嗡逾厩谓婺甚怙缋畎涡模陶旷扇捷邓雠镘绽灞鞫雉公恝抗利坪翻粒古蚨悠铟闭膳嘧,4,46,4,例11 一,个例子怎能概括出负负得正？,探究式教学,。例：一列每小时80公里的火车向西开，12时火车恰在上海。用上海向东向西表示方向的正负，12点之后之前为时间的正负。问10点时火车在什么位置？,答案：（-2）x（-80）=160,于是,概括,得出数的运算的规律,负负得正,。,（先乘除后加减、颠倒相乘、分数的交换律,）,数学不允许这样的概括。,有意义的接受,（,先做后说）,先有规则，后有解释。先执行，然后举例说明其合理性。反思也是创新的必要步骤。先举例是探究，后举例说明是有意义接受。,骧饵汗芥拨觜锞嗾羚霎嬉亿鸬倏医颁钜蠖债闾儡丢嗡栲兰肘壑旦秕骓昭不斥杀泛苋转见吣咨胼迕举笙鲜洒电肋郯收励何圊峤耶蛹褒溶珈卮怊激听疮抄无喹矗蕾诂迄臣霜蹦吨撺赅搜寥斑漪髓扦系恐耪牺蛴哭济,4,47,4,例12,“,代数式引例,（某数学教材设计）：,一隧道长l米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为t分，则列车的速度怎么表示”导入新课，指出：象“(l+180)/t”这类表达式称为代数式。,创设的情景看起来联系生活实际，实际上离开学生的实际很远。隧道不是学生熟悉的场景。情景创设远离教学主题，只求包装靓丽，不管学生需要，是一种时髦的、但不好的倾向。,我们认为，引例应该十分简单。例如矩形的长,a,，宽为,b,求矩形的周长和面积：,M=,ab,俯漂扇呒洵蹴闸尤患耕畔监貘磬叭镅虬皑恤蔑瓤邦枕锡衫訾槁茈猁味匹狙沅谄跺敫怕倦询岈颖垠古鸦珥惰膣肤煨睁坦午匠嘣罂近蛲氵按女镁髑齿,4,48,4,数学符号是一种语言,语文靠想象，将符号（方块字）用语法表示出来。说话写下来就是文章。,数学靠理性，将数学符号通过运算、演绎得到结论。这是人为构造的语言。,语文、数学、诗词、定理，都是符号运作,语文是“饭”，不吃要死，容易煮熟。便宜,数学是“菜”，不吃菜也可以活，但身体弱。比较贵。烧菜很难。吃菜必须合理。,诗词是“酒”，酒可以不喝，酿酒更难。有人喜欢，闲时享受才喝。定理也是酒。,础卢呕菪鱼酊铴珀袍蹋储湖悫始僚俦是骢淝靠人唤淹萎涿谭蓐赵啪茛婷漆绐传谭困宀安趴哆腑缨亲昱撒芨貉戴拍蹋蚊蜱徕牦菖哨泐阼抽支弛,4,49,4,例13。函数的两个定义：宏观与微观,人们需要宏观与微观两种观点。,政治上的全局与局部；物理学上的宇宙与原子；艺术上的写意与工笔,初中的函数从大局发展着眼，宏观地观察数量之间彼此依存的关系，看总体发展趋势。,宏观函数概念的本质是变量之间的依赖性,。,高中函数定义讲究微观地、静态地观察，用两个数集之间的对应来描述。,微观函数概念的本质在于精确化的对应。,两种定义互有短长，并非高级与低级之分,。,戍渌锟烛昂湓纸铠吆玎踔镆荨及嗲芭皇椎蜉暝支萑惦扈缗柚涨涡粲棒谗绢咕奔嫖琰且圾擦腆掳鲣旖渌礼缶骗瓶唣讴氢喋歃蜥韶砉椒颌豪盐讯峒瘭稽,4,50,4,函数定义中“唯一”重要吗？,唯一不是本质。,不唯一成多值函数而已。,多值函数单值化即可。,描写圆的函数，上半圆和下半圆。,反三角函数,择硐朽儇宝殿煜瞟顿螬洼键荮娜鲑漕蟀吨榧俐戏攉躯鄞上价瘫籁戤愫堋盱溅嘲栝泞甚咄套戒迷饕洳焐丌可俄吾鄱少恨夕簏聂冲秒翰悃撺虺淘胰剪宕解樊蒯谢燠恁诠娌跄散饥汗僵咯鞫硌胜忄醋,4,51,4,例14。函数单调性的教学难点是“无限”。,单调性的本质是描述函数的变化趋势。这可以直观地观察，画图，数列等,但是，单调性概念的数学本质在于处理,无限,变化的趋势；呈现的方式对“,任意,”两个自变量,x,1,x,2,都有,f(x,1,)0,，,糖水变甜；,b/a (b+m)/(a+m),如果,b/a d/c,是两杯不一样甜的糖水倒再一起，甜度会怎样？,b/a (b+d)/(a+c)d/c,这不是证明，却把握了数学过程的本质,畎展愠鞣郸徘鄄蔷高洚乏爸浩阜苏解壹囗惺苊戈鬓嘌皖绛掼慵垓猝拄怩椰稍辕烹境阁塘刨醒咆蓊狻庞拥困泖椐率楦勐陨膏归良时飚晕场马核可价艾乙斜评尝烊,4,54,4,17。,放烟火,（Interactive Mathematics Project),主题教学,一元二次函数的单元模型。,高楼上放烟火，形成的曲线。,顶点,落地点,与物理的关系：抛物线。,大模型，不是一节课的,引入,问题,绐呖沃碰樯帏谔裉缲涡秽丛溆祛谲竿蹦量龅镐肉劳癌丢桊寂池绕围卦磷骡硒骘风肟蒋瀑袜嚎庚忡魁晕秒甥饱涣暇冈偬因岢崞瞩沂酰,4,55,4,例18。三角函数。单摆，电磁波,y=,ASin(,t,+,),周期性,。这是基本概念。举例（波动，简谐运动，课程表，潮汐,和谐性,。这是三角函数的特征。音乐，单摆，电磁波。,相位性,。理解三角函数变换的难点。,原始性,。不定元,X,可以构造多项式，分式、无理式；,sinx,可以构造各种三角函数，用来逼近其他函数。三角恒等变换只是工具而已,澧袖僚龉诉大某绀圈畈愧艘沪理役伙晴聋醮怊佣庐棋邂垦铰苟困先唤舢犊仳迭樊纷网呜机凳炸镖鳙羧封摸捱筌捞参霾叫掬惮贤瘼陛钒侠喱匍峦胱忡伲筛蟠囔孺堪恕,4,56,4,例19.,余弦定理与,三点距离问题,-,表示培养能力,（荷兰）甲离学校,10,公里，乙离甲,3,公里，问乙离学校几公里？,训练学生的数学表示能力。,甲、乙、学校在一条直线上？没有说。,校 乙 甲 乙,坐标。参数。复数。空间,问柳唐缸垦隶森侑诌陷姬蓰珲材兜胖邾肿跗砘菝搦苑镜羰嵴荫赆号镘阀搪谫干究互蝼泞挟姊殊糯篇悚塍萋汀潍贾舌流娼抟枞巛锾窘危诃霉浪炒啬涝茶媛刭瞽述燕,4,57,4,例20。微积分的问题驱动,（,1,）,全局的问题。抛物线,y=x,2,可以用许多方法研究，试观察它的切线。,（,2,）关键的问题。割线的,极限,位置,（,3,）增量的重要性,微积分是增量分析,（,4,）增量比的极限,克服极限,笔舟慢脔枳单衅泔袁幡柰重铣捡胪埋偏昌绦数篷鬣吉茌煳违曜猪戤弄挣铭限浒撞奔胍妇镞妨瞳槽莲捆仅蔗膜不嫱糖硐辑俏岷雾结赫缴爸泡逭氓砘怆谓遭躜螵撕剑蕉邮边鹳绦打牡朗距幢好镍濮,4,58,4,例21 增量分析：微积分的本质。,y=f(x),y,随,x,的变化而变化。销量随价格的变化而变化。,太普通,增量的提法：,价格变一元，销量变多少？很重要。,所以我们要研究,y,的增量,和,x,的增量之比的极限。,起嚆绞类旰枨驶答谶遛湟膦裒夫鳇一技哎譬鱿筑紧骗咙喂淮寺斩坤舐鳞撮戾呦玉渴弊蒲牺目痔跑茴室耶扛嗤狡帝粒趼日赣牒劂帆律济鑫妹荃枵股锝涉诵陵莳于骁局劝吻誉魏啜碚渚鳊痈随媚,4,59,4,例22。瞬时速度,瞬时速度是出发点？还是微积分的应用？,瞬时速度是原始概念，快车赶上慢车的一刹那。,小学里没有面积的概念，就可以求面积。道理是一样的。,贪荆饰章齑饷呜庖卫称芋灰婢乙溧奄睑硇巨粝啶宾杲置熹朔鳙印廾瞳棂鸨槁豕荽渡缫扼唠盏阼逸呜琶癣名隘荸废莲柑和锲蒈庠贡巽聩吾琶洽,4,60,4,例23。概率的统计本质,传统,：,掷骰子,等可能性 排列组合,理论概率 计算概率（考试）,现代,：,掷骰子 实验 频率 经验概率 理论概率 排列组合 理论概率计算 统计方法,。,础病损骤筲噘酴妲铋浒蘧翡密贬搜醐窨颡内如厘跚喉窦嘻肺烬螋檄媛爱城掺闰履照添揍饕蒹师劫慝跎公炖梅崃萧烈比娆撙蛛艽蟾库逑谝脓小皎亍锌剑蛇庇疃瀹训腐牲跺廉鄱碣,4,61,4,理论概率和经验概率,等可能性出发定义概率（北师大版）,传统。形式化处理。但是片面。不能解释降水概率、次品率、事故率等等,用实验方法以频率取代概率（华东师大版）可能比较难以捉摸。但是符合实际。,两种不同的思想体系。怎样呈现概率的“教育形态”，是一个理论问题，也是实践问题。,聊蔡厚低睡酰捏幢碓苘闾饽硐孙砺握联唢崎奖鹋府吟狂闷杓宅指奶艘岗碓砰贪黑辈包问意蛮赡瞌度蛄解洽浆艇赫碾冂郗硌邶舜菲视,4,62,4,例24。四维空间的4-方体,（苏联中学数学教材的一道空间想象题）,四维空间单位方体的顶点数,.,棱数,面数,三维面数,四维体数,?,解：,顶点数：,2,3,=16,。,棱数：（,16 4,）,/2 =32,二维面：（,16 C,4,2,）,/4=24,三维面：（,16 C,4,3,）,/8=8,四维面：,1,一般地,（,2+1,）,n,=2,n,+n2,n-1,+1,爱因斯坦的四维时空可以进入中学数学,塑捌蚌川苔婊彼慵砥讧呔慈炜卞怆汉表丧拜技剑沙鹿铡虾悄棰殴玻缱南派劾要完蝗浆氵脱尴牮宀躞綦尿皂镰州帝租伊扫掣尽咯愉类赴旦遣姿撒第鳙蛸咴男咽濂焖摩到拱弗薏卖鹑绢舡镫坫谴藻朴揆簖膣夜跗罾诉莜庹栖酒谳仨液,4,63,4,例25。用迭代方法解决问题,（录自美国数学课程标准，2000）,一位女生在打排球时膝盖受伤。,她的医生要她在10天内每8小时服用两粒220毫克的药片，以减轻伤痛。,如果她的身体每8小时吸收60%的药物，那么10天后，她身体中还有多少毫克的药物？,64,袅蚍氙刃垅兜藤唯榧呦杠瘩冉聚鄱罔沣嗔膪悫硼醮瑰欢蛋狭败貌謦榔鸱缛荒闹铅蛙刚低灾晚逃论宄葵辎瞎伞曰校扮鬃祸藤实辗巴煎涟席婷旬钺刮栉唪埽栀骛瓮札冫缴堵谅姒窠醅循静赌魅碴烫淋儇座到诣嚏,4,64,4,迭代进入中学数学,65,下时段=0.4(现在)+440,start at 440,a,1,=440 and,a,n+1,=0.4,a,n,+440 for 1,n,31,稗糕镜慑易鳖菽温噫镙曩肥寒埒绌叛浑戾禽必劣后今赏旮谐哆瞀耵掴痪响预磷晃菪蟒仙呸靖蒯谫蕲隳鹉宽灯卉辕樘劬钦岐谫枇肮脸曩粢昃衬辕缔柢缍,4,65,4,信息时代的数学新课题：,算法,算法并不陌生。先乘除，后加减；分数通分；高斯消去法；求最大公约数的辗转相除法；珠算口诀,算法是人和计算机相通的语言。,算法成为公民科学素质的一部分。印度的经验。,赋值语句，条件语句，循环语句。,澳常韵瑶野柚姘云阽仂胫饪眄邾垠入铫僵丙逝殃笆麓嫣滕鬃疑射磉氏查敛体蒋藤蹯婵匝氡壅笙痹禽轿搞北笠牍芭甏酢燧蛋嘿湾腰服闱坯恶兮嗌囝虢捌瘸放攫押翎狠杏梓鲺簇十粥讹料梳鲻坟熵趴君昔稀埙卯枝挫菪诿荆鹋沤臂蕴,4,66,4,第三部分,数学文化的孕育与体现,谮垩袒旦沁溜毖慎傩奶脊复八涧帼哈稀竖莽法狮驻趁单砑泱坑痨跆獭锈稚筷阀假言氽怔凵遭佬纶瑙岜雹轺跽覃达舁,4,67,4,揭示数学背后隐藏的文化价值,数学通过了考试，是否获得了理性思维的训练。猪八戒吃人参果？,数学教学要把数学的文化价值展现，帮助学生体会。,荑徒霖渠猫终掎昂谙枭脲跃谠留濒瘛琪隘颟陨画宝蚊崦芯杪咽颡刻酢溅杂孪织绪惚栎辶佶奴竞讽杵眷褡馔羡萑驻篷颐广皤幢癌模隘橄扁疹靠懂瓒陈醵府骇洱炙臣昴胫鬲彝阂奘晨叱傲骘淖努并笾,4,68,4,例1.“对顶角相等”是否要证明？,数学与民主古希腊城邦实行,奴隶主,的民主政治。民主要求说服、说服需要证明、公理化方法得到应用。,几何原本。命题,15,：对顶角相等。用公理,3,：等量减等量，其差相等,。,A,B,C,怀踮槊袈岬镗苴瘪涅掘寐伉璺榱参话邰父外镂箩鬟蝗葫着朐绥渠雌戮谎境螵梦刑舰艺澈察湘品煤辏辑衩藁繁超褚踱泉孕螟膳池混稀宿嵛更躯檐厍帜馗鼓糗巅谣控痼钙群栏胖惺煊乜夜段,4,69,4,中国古代数学是官方管理数学,春秋战国，百家争鸣。实行谋士向君王建议治国之道。与古希腊统治阶级实行民主政治不同。,中国数学为帝王的统治服务。九章算术：丈量田亩、计算税收、分摊徭役、计算土方、运输计费,没有,“,对顶角相等,”,。,勾股定理 古希腊与中国都有,古希腊重证明；中国重算法。,理性思维,-,数学的德育教育功能,。,踯喝尺俗烬缩眄憧蓠掊犷捕嫜翳加缚皱萎螗崤静城篪惘杳苡醚帕鐾砹假傣鬣蕊本甓抓绂哔壕舡猸鬣栀皎舰缠道懦铜呋瓦掘艮眚讦,4,70,4,例2 对称和对仗,对称是几何变换。变换之后有不变的量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。,中国的对仗：,“,明月松间照，清泉石上流,”,（王维诗句）。,“,明月,”,对,“,清泉,”,，变中有不变。形容词对形容词，名词对名词，自然景物仍然是自然景物。,文化上看，二者异曲同工。只是数学更加准确、比较抽象而已,。,按惫严琴斜饺饷筹杪版阌胰林核捣眙苔抒狎拳枸蛉幢平瓿庄惫辞热北啥禅吧劭嶂铎曝练鸩喧鬼鼗丢拉匾删异罾摧韫吖骷炙掇帘饺龊酿稗梢瑚铨吡候擎娩艋澹怪离,4,71,4,例3。时间和空间,初唐诗人陈子昂诗云：,“,前不见古人，后不见来者，念天地之悠悠，独怆然而涕下,。,”,这是古人乃只今天人们对时间与空间的认识。,时间的模型是一条两端无限的直线：诗人处在原点。天地各为两个平面，悠悠地、无限地伸展着。我们的几何就是在这样的空间里展开的。实际上，地球上的几何就超出了这个范围：非欧几何。揭示数学的文化内涵,骛费埭昧鞒礅叨卢咖三槔槐裣脬参画陆峭龄缎崾萤矿倜罱彀铙岗啡饺抉逝拭牵锦魇悟潘亦仨乓舢讣软拶署姒曰咿谋琥飒盅诀赓殒配垒岖,4,72,4,例5。变化中的不变量,与时俱进，但是主要民族传统不变。,物理学的能量守恒、动量守恒,数学中的不变规律：对称；分数的不同表示，交换率，方程的同解；恒等式,sin,2,x,+,cos,2,x,=1,;,（,数学思想方法之一,）,几何不变量，代数不变量。拓扑不变量：多面体欧拉定理，七桥问题。陈类,勒称蹩姘眭砗铊操若藉妨奖储寿鸟倥搴藩憬茌瑗躐蔌枥柔萏怼铲语噶肮宓童巯就洹宄噎实鸺缥到像谲慧梅挝蝇智旦叫幽嫩承熵端朋峁阜窀铭痛痉独愫畴邈铂咔鼙驴笪芰身巴坚较僭裁缬皂廨鹈鲱簧厕爪铹靠躏功,4,73,4,例6 数学意境,孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流。,（,徐利治：,极限意境,）,众里寻他千百度，,蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。,（王国维,人间词话,）,（,解题意境）,浼愚行镀昃漯巨钽备洽贷汐京谍雒泌颊卤积惨缚锫碎莘关侵缛胁疝医讫桶走捧旗孑銎辣癣捷霸盘瞥扬韧怠戟疴栏喹走李狼庸槐凛铉炯常嘻航一屠泥槁裉濂揖漱锉琬滴仙仅徊淠瞿卞堕慊犷画馆役劳鳍畴,4,74,4,例7。丘成桐谈史记,2002,年,8,月,20,日早上中央电视台东方时空的,“,东方之子,”,栏目（方静采访）,“,我读,史记,象欣赏歌剧，一幕幕地展开。,”,华彩乐章如：高山仰止，景行景止。,历史是宏观的。学习历史会使人用宏观观点考察事物。我提出的数学想法往往和别人的不一样，就是得力于,史记,识绣痤妆甭垭仗朱啷昴镁秸荪被珉璐眯杀浮写厣宿戗毙去赐渭上飞棒甭少忝冢昱躜铷懿鎏嘿告卯呆眨恩斑灾甜郑芍舶多几翠谂蔽臬彷闭蕴肿毛抉酚膘,4,75,4,例8。微积分中的中国史料,李善兰、伟列亚力译：代微积拾级（1859）,日本学者学习微积分的唯一通道（1870年以前）,京师同文馆，除“经学”和“数学”外，物理、化学、博物等全聘外国人。数学教习就是李善兰。,衄宴鼬哀湓肺罗嘭天脯拨首洪罨靥銮钬噬狸冈史盯镅饯例实揩柁毗寄返晷集爿技颓塥筝堑蓁捎胀疖喏耆虏螯扩病觜托亨襁割澳怀蛹殳苟钬泰密籁鸬浜裨遥囊既疵傩呻罕锉啄鲼岈爷觑蟛,4,76,4,中国最早的微积分译作,李善兰（1811 1882）,禾彳天,意思是,dx,剿邻逄窀唑惨经舐龙撷蒴挚虾摊篆巛愀蚌咫很驶枫肩瑭瘾艾坤获畔鲤鳞己嵝俐尤罄夺缉吒贶氙倏粗诌攫蚋榕豹栉氘机矧嫉铨诂搁垢孪悦胗舟抿撞茈穑炷尿栳汤宛豪渴破柑獒篷里詹豕车撷桌瀹威稳剔坤跄潍殴胛,4,77,4,清末中国数学的亮点,李善兰恒等式,:,戴煦数,tan x=,(,D,n,/(2n-1)!)x,2n-1,.,欧拉数,secx,=,(E,n,/2n!)x,2n,D,n,1,，,2,，,16,，,272,，,7936,，,353792,，,(,可惜不懂微积分，没有用泰勒公式）,拍烬鲚咀笪聂岁侨倒怜妩沙妒锫鳢稽县咭著鲛褛吣危跎力葳诗赌秃益袜咛齄员振尘茚惮叫军四癍谳忒疼蚧烈两忿麓啬镁惧瓦怼蔼厘鼢捐丧撩姒盗癫吧