高考数学复习专题四立体几何与空间向量第3讲立体几何中的向量方法理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖P.pptx

剖析题型 提炼方法,实验解读,构建知识网络 强化答题语句,探究高考 明确考向,*,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,3,讲立体几何中向量方法,专题四立体几何与空间向量,板块三专题突破关键考点,1/79,考情考向分析,以空间几何体为载体考查空间角是高考命题重点，常与空间线面关系证实相结合，热点为二面角求解，均以解答题形式进行考查，难度主要表达在建立空间直角坐标系和准确计算上,.,2/79,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,3/79,热点分类突破,4/79,热点一利用向量证实平行与垂直,设直线,l,方向向量为,a,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，平面,，,法向量分别为,(,a,2,，,b,2,，,c,2,),，,v,(,a,3,，,b,3,，,c,3,),，则有,(1),线面平行,l,a,a,0,a,1,a,2,b,1,b,2,c,1,c,2,0.,(2),线面垂直,l,a,a,k,a,1,ka,2,，,b,1,kb,2,，,c,1,kc,2,.,(3),面面平行,v,v,a,2,a,3,，,b,2,b,3,，,c,2,c,3,.,(4),面面垂直,v,v,0,a,2,a,3,b,2,b,3,c,2,c,3,0.,5/79,例,1,如图，在底面是矩形四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，点,E,，,F,分别是,PC,，,PD,中点，,PA,AB,1,，,BC,2.,(1),求证：,EF,平面,PAB,；,证实,6/79,证实,以点,A,为原点，,AB,所在直线为,x,轴，,AD,所在直线为,y,轴，,AP,所在直线为,z,轴，建立如图所表示空间直角坐标系,A,xyz,，则,A,(0,0,0),，,B,(1,0,0),，,C,(1,2,0),，,D,(0,2,0),，,P,(0,0,1).,点,E,，,F,分别是,PC,，,PD,中点，,7/79,即,EF,AB,，,又,AB,平面,PAB,，,EF,平面,PAB,，,EF,平面,PAB,.,8/79,(2),求证：平面,PAD,平面,PDC,.,证实,9/79,证实,由,(1),可知，,即,AP,DC,，,AD,DC,.,又,AP,AD,A,，,AP,，,AD,平面,PAD,，,DC,平面,PAD,.,DC,平面,PDC,，,平面,PAD,平面,PDC,.,10/79,用向量知识证实立体几何问题，依然离不开立体几何中定理,.,如要证实线面平行，只需要证实平面外一条直线和平面内一条直线平行，即化归为证实线线平行，用向量方法证实直线,a,b,，只需证实向量,a,b,(,R,),即可,.,若用直线方向向量与平面法向量垂直来证实线面平行，仍需强调直线在平面外,.,思维升华,11/79,跟踪演练,1,如图，在直三棱柱,ADE,BCF,中，平面,ABFE,和平面,ABCD,都是正方形且相互垂直，点,M,为,AB,中点，点,O,为,DF,中点,.,利用向量方法证实：,(1),OM,平面,BCF,；,证实,12/79,证实,方法一,(1),由题意，得,AB,，,AD,，,AE,两两垂直，以点,A,为原点建立如图所表示空间直角坐标系,A,xyz,.,设正方形边长为,1,，则,A,(0,0,0),，,B,(1,0,0),，,C,(1,1,0),，,D,(0,1,0),，,F,(1,0,1),，,棱柱,ADE,BCF,是直三棱柱，,AB,平面,BCF,，,13/79,且,OM,平面,BCF,，,OM,平面,BCF,.,14/79,又,OM,平面,BCF,，,OM,平面,BCF,.,15/79,(2),平面,MDF,平面,EFCD,.,证实,16/79,证实,方法,一,设平面,MDF,与平面,EFCD,一个法向量分别为,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),，,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,).,n,1,n,2,0,，,平面,MDF,平面,EFCD,.,17/79,方法二,由题意及,(1),知，,BF,，,BC,，,BA,两两垂直，,即,OM,CD,，,OM,FC,，,18/79,又,CD,FC,C,，,CD,，,FC,平面,EFCD,，,OM,平面,EFCD,.,又,OM,平面,MDF,，,平面,MDF,平面,EFCD,.,19/79,热点二利用空间向量求空间角,设直线,l,，,m,方向向量分别为,a,(,a,1,，,b,1,，,c,1,),，,b,(,a,2,，,b,2,，,c,2,).,平面,，,法向量分别为,(,a,3,，,b,3,，,c,3,),，,v,(,a,4,，,b,4,，,c,4,)(,以下相同,).,(1),线线夹角,20/79,(2),线面夹角,21/79,例,2,(,泉州质检,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,2,，,AD,PD,4,，,BAD,60,，,ADP,120,，点,E,为,PA,中点,.,(1),求证：,BE,平面,PCD,；,证实,22/79,证实,取,PD,中点,F,，连接,CF,，,EF,.,因为点,E,为,PA,中点，,所以,EF,BC,且,EF,BC,，,所以四边形,BCFE,为平行四边形，,所以,BE,CF,，,又,BE,平面,PCD,，,CF,平面,PCD,，,所以,BE,平面,PCD,.,23/79,(2),若平面,PAD,平面,ABCD,，求直线,BE,与平面,PAC,所成角正弦值,.,解答,24/79,解,在平面,ABCD,中，过点,D,作,DG,AD,，在平面,PAD,中，过点,D,作,DH,AD,.,因为平面,PAD,平面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，,DG,平面,ABCD,，,所以,DG,平面,PAD,，,又,DH,平面,PAD,，,所以,DG,DH,，所以,DA,，,DG,，,DH,两两相互垂直,.,以,D,为原点，,DA,，,DG,，,DH,所在直线分别为,x,轴、,y,轴、,z,轴，建立空间直角坐标系,D,xyz,(,如图,),，,25/79,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,ACP,一个法向量，,26/79,设直线,BE,与平面,PAC,所成角为,，,27/79,(1),利用空间向量坐标运算求空间角普通步骤：,建立恰当空间直角坐标系；,求出相关点坐标；,写出向量坐标；,结合公式进行论证、计算；,转化为几何结论,.,(2),求空间角注意：,两条异面直线所成角,不一定是直线方向向量夹角,，即,cos,|cos,|,；,两平面法向量夹角不一定是所求二面角，有可能为两法向量夹角补角；,直线和平面所成角正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角余弦值绝对值，注意函数名称改变,.,思维升华,28/79,跟踪演练,2,如图，在四面体,ABCD,中，,BA,BC,，,BAD,BCD,90.,(1),证实：,BD,AC,；,证实,29/79,证实,方法一,如图，作,Rt,ABD,斜边,BD,上高,AE,，连接,CE,.,因为,BA,BC,，,BAD,BCD,90,，,所以,Rt,ABD,Rt,CBD,，可得,CE,BD,.,又,AE,CE,E,，,AE,，,CE,平面,AEC,，,所以,BD,平面,AEC,，,又,AC,平面,AEC,，所以,BD,AC,.,方法二,因为,BA,BC,，,BAD,BCD,90,，,所以,Rt,ABD,Rt,CBD,，可得,AD,CD,.,30/79,设,AC,中点为,E,，连接,BE,，,DE,，则,BE,AC,，,DE,AC,，,又,BE,DE,E,，,BE,，,DE,平面,BDE,，,所以,AC,平面,BDE,，,又,BD,平面,BDE,，所以,BD,AC,.,31/79,(2),若,ABD,60,，,BA,2,，四面体,ABCD,体积为,2,，求二面角,B,AC,D,余弦值,.,解答,32/79,解,方法一,在,Rt,ABD,中，因为,BA,2,，,ABD,60,，,因为,BD,平面,AEC,，四面体,ABCD,体积为,2,，,sin,AEC,1,，,AEC,90,，,所以,AE,平面,BCD,.,以,E,为原点，,EB,，,EC,，,EA,所在直线为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,E,xyz,.,33/79,设,m,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),是平面,BAC,一个法向量，,34/79,设,n,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),是平面,DAC,一个法向量，,35/79,方法二,由,(1),知，,BED,为二面角,B,AC,D,平面角，,在,Rt,BCD,中，因为,BC,2,，,ABD,CBD,60,，,设点,A,到平面,BCD,距离为,h,，,在平面,ABD,内过,A,作,AF,BD,，垂足为,F,，,因为,BA,2,，,ABD,60,，,36/79,由点到平面距离定义知，,AF,平面,BCD,.,37/79,存在探索性问题基本特征是要判断在一些确定条件下某一数学对象,(,数值、图形、函数等,),是否存在或某一结论是否成立,.,处理这类问题基本策略是先假设题中数学对象存在,(,或结论成立,),或暂且认可其中一部分结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；不然，给出必定结论,.,热点三利用空间向量求解存在探索性问题,38/79,证实,例,3,(,滨海新区重点学校联考,),在四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，,AB,DC,，,AB,AD,，,DC,AD,1,，,AB,2,，,PAD,45,，,E,是,PA,中点，,F,在线段,AB,上，且满足,0.,(1),求证：,DE,平面,PBC,；,39/79,证实,方法一,取,PB,中点,M,，连接,EM,和,CM,，,且,E,，,M,分别为,PA,，,PB,中点,.,EM,CD,且,EM,CD,，四边形,CDEM,为平行四边形，,DE,CM,，又,CM,平面,PBC,，,DE,平面,PBC,，,DE,平面,BPC,.,40/79,方法二,由题意可得,DA,，,DC,，,DP,两两相互垂直，如图，以,D,为原点，,DA,，,DC,，,DP,所在直线分别为,x,，,y,，,z,轴建立空间直角坐标系,D,xyz,，,设平面,PBC,法向量为,m,(,x,，,y,，,z,),，,41/79,令,y,1,，则,x,1,，,z,1,，,m,(,1,1,1).,又,DE,平面,PBC,，,DE,平面,PBC,.,42/79,解答,(2),求二面角,F,PC,B,余弦值；,43/79,解,设点,F,坐标为,(1,，,t,0),，,设平面,FPC,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,44/79,令,x,1,，则,y,2,，,z,2,，,n,(1,2,2),，,又由图可知，该二面角为锐角，,45/79,(3),在线段,PA,上是否存在点,Q,，使得,FQ,与平面,PFC,所成角余弦值是,，若存在，求出,AQ,长；若不存在，请说明理由,.,解答,46/79,47/79,48/79,空间向量最适合处理这类立体几何中探索性问题，它无需进行复杂作图、论证、推理，只需经过坐标运算进行判断,.,解题时，把要成立结论看成条件，据此列方程或方程组，把,“,是否存在,”,问题转化为,“,点坐标是否有解、是否有要求范围内解,”,等，所认为使问题处理更简单、有效，应善于利用这一方法,.,思维升华,49/79,跟踪演练,3,(,荆州质检,),如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AC,BC,，,AC,BC,AA,1,2,，点,P,为棱,B,1,C,1,中点，点,Q,为线段,A,1,B,上一动点,.,(1),求证：当点,Q,为线段,A,1,B,中点时，,PQ,平面,A,1,BC,；,证实,50/79,证实,连接,AB,1,，,AC,1,，,点,Q,为线段,A,1,B,中点，,A,，,Q,，,B,1,三点共线，,且,Q,为,AB,1,中点，,点,P,为,B,1,C,1,中点，,PQ,AC,1,.,在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AC,BC,，,BC,平面,ACC,1,A,1,，,51/79,又,AC,1,平面,ACC,1,A,1,，,BC,AC,1,.,AC,AA,1,，,四边形,ACC,1,A,1,为正方形，,AC,1,A,1,C,，,又,A,1,C,，,BC,平面,A,1,BC,，,A,1,C,BC,C,，,AC,1,平面,A,1,BC,，,而,PQ,AC,1,，,PQ,平面,A,1,BC,.,52/79,解答,53/79,(,x,，,y,2,，,z,),(2,，,2,2),，,解,由题意可知，,CA,，,CB,，,CC,1,两两垂直，,以,C,为原点，分别以,CA,，,CB,，,CC,1,所在直线为,x,轴、,y,轴、,z,轴建立空间直角坐标系,C,xyz,，,连接,B,1,Q,，,PB,，设,Q,(,x,，,y,，,z,),，,B,(0,2,0),，,A,1,(2,0,2),，,P,(0,1,2),，,B,1,(0,2,2),，,54/79,点,Q,在线段,A,1,B,上运动，,平面,A,1,PQ,法向量即为平面,A,1,PB,法向量，,设平面,A,1,PB,法向量为,n,1,(,x,，,y,，,z,),，,令,y,2,，得,n,1,(1,2,1),，,设平面,B,1,PQ,法向量为,n,2,(,x,，,y,，,z,),，,55/79,取,n,2,(1,，,0,，,),，,56/79,9,2,9,2,0,，,57/79,真题押题精练,58/79,1.(,北京,),如图，在四棱锥,P,ABCD,中，底面,ABCD,为正方形，平面,PAD,平面,ABCD,，点,M,在线段,PB,上，,PD,平面,MAC,，,PA,PD,，,AB,4.,(1),求证：,M,为,PB,中点；,真题体验,证实,59/79,证实,设,AC,，,BD,交于点,E,，连接,ME,，如图所表示,.,因为,PD,平面,MAC,，平面,MAC,平面,PDB,ME,，,所以,PD,ME,.,因为四边形,ABCD,是正方形，,所以,E,为,BD,中点，,所以,M,为,PB,中点,.,60/79,(2),求二面角,B,PD,A,大小；,解答,61/79,解,取,AD,中点,O,，连接,OP,，,OE,.,因为,PA,PD,，所以,OP,AD,，,又因为平面,PAD,平面,ABCD,，,平面,PAD,平面,ABCD,AD,，且,OP,平面,PAD,，,所以,OP,平面,ABCD,.,因为,OE,平面,ABCD,，所以,OP,OE,.,因为四边形,ABCD,是正方形，,所以,OE,AD,，,62/79,如图，建立空间直角坐标系,O,xyz,，,设平面,BDP,法向量为,n,(,x,，,y,，,z,),，,平面,PAD,法向量为,p,(0,1,0),，,63/79,由题意知，二面角,B,PD,A,为锐角，,64/79,(3),求直线,MC,与平面,BDP,所成角正弦值,.,解答,设直线,MC,与平面,BDP,所成角为,，则,65/79,2.(,全国,),如图，边长为,2,正方形,ABCD,所在平面与半圆弧,所在平面垂直，,M,是,上异于,C,，,D,点,.,(1),证实：平面,AMD,平面,BMC,；,证实,66/79,证实,由题设知，平面,CMD,平面,ABCD,，交线为,CD,.,因为,BC,CD,，,BC,平面,ABCD,，所以,BC,平面,CMD,，又,DM,平面,CMD,，,故,BC,DM,.,因为,M,为,上异于,C,，,D,点，且,DC,为直径，,所以,DM,CM,.,又,BC,CM,C,，,BC,，,CM,平面,BMC,，,所以,DM,平面,BMC,.,又,DM,平面,AMD,，故平面,AMD,平面,BMC,.,67/79,(2),当三棱锥,M,ABC,体积最大时，求平面,MAB,与平面,MCD,所成二面角正弦值,.,解答,68/79,解,以,D,为坐标原点，,方向为,x,轴正方向，建立如图所表示空间直角坐标系,D,xyz,.,当三棱锥,M,ABC,体积最大时，,M,为,中点,.,由题设得,D,(0,0,0),，,A,(2,0,0),，,B,(2,2,0),，,C,(0,2,0),，,M,(0,1,1),，,设,n,(,x,，,y,，,z,),是平面,MAB,法向量，则,69/79,可取,n,(1,0,2),，,70/79,押题预测,押题依据,利用空间向量求二面角全方面考查了空间中建系、求法向量、求角等知识，是高考重点和热点,.,证实,押题依据,如图，在几何体,ABCDEF,中，四边形,ABCD,是菱形，,BE,平面,ABCD,，,DF,BE,，,DF,2,BE,2,，,EF,3.,(1),证实：平面,ACF,平面,BEFD,；,71/79,证实,四边形,ABCD,是菱形，,AC,BD,.,BE,平面,ABCD,，,AC,平面,ABCD,，,BE,AC,，,又,BE,BD,B,，,BE,，,BD,平面,BEFD,，,AC,平面,BEFD,.,AC,平面,ACF,，,平面,ACF,平面,BEFD,.,72/79,(2),若二面角,A,EF,C,是直二面角，求,AE,与平面,ABCD,所成角正切值,.,解答,73/79,解,方法一,(,向量法,),设,AC,与,BD,交于点,O,，以点,O,为原点，,建立空间直角坐标系,O,xyz,，如图,.,取,DF,中点,H,，连接,EH,.,四边形,BEHD,为平行四边形，,在,Rt,EHF,中，,FH,1,，,EF,3,，,74/79,设,n,1,(,x,1,，,y,1,，,z,1,),为平面,AEF,法向量，,n,2,(,x,2,，,y,2,，,z,2,),为平面,CEF,法向量,.,75/79,二面角,A,EF,C,是直二面角，,n,1,n,2,0,，得,a,2,，,由题意可得,EAB,为,AE,与平面,ABCD,所成夹角，,AB,2,，,BE,1,，,76/79,方法二,(,几何法,),设,AC,与,BD,交于点,O,.,四边形,ABCD,是菱形，,ADF,CDF,，,ABE,CBE,，,AF,CF,，,AE,CE,，,AEF,CEF,.,过,A,作,AM,EF,，连接,CM,，则,CM,EF,，,则,AMC,为二面角,A,EF,C,平面角,.,设菱形边长为,a,，,BE,1,，,DF,2,，,EF,3,，,DF,BD,，,77/79,二面角,A,EF,C,为直二面角，,AMC,为直角，,在,AEF,中，,AM,EF,，设,ME,x,，则,MF,3,x,，,78/79,解得,a,2.,AE,与平面,ABCD,所成角为,EAB,，,79/79,